精品解析：2026年河南驻马店市上蔡县九年级第一次模拟数学试题

九年级第一次模拟数学 一、单选题（每题3分，共30分） 1. “神舟二十号”载人飞船入轨后，于北京时间2025年4月24日23时49分，成功对接于空间站天和核心舱径向端口，整个对接过程历时约6.5小时．若飞船对接前5秒记为秒，那么飞船对接后10秒应记为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 2. “扶危救困、乐善好施”是中华民族的优良传统．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 由河南博物院、安徽博物院与驻马店市博物馆联合主办的《蔡国六百年—蔡国历史文化专题展》，吸引了全国各地的观众前来参观．据统计，2023年7月至11月份，共有32000余人次游客参观．数据32000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 为了解驻马店市中学生周末在家干家务活的时间，采用全面调查的方式 B. “从一副扑克牌中随机抽取一张，恰好是黑桃”是必然事件 C. 一组数据3，5，7，9，10，13的样本容量是6 D. 在抽样调查中，样本容量越小，对总体的估计就越准确 6. 如图，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在中，是上一点，且，连接，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 图象与轴有一个交点 C. 当时，随的增大而减小 D. 如果点和点均在该函数的图象上，那么 9. 如图，与相切，点为切点，连接交于点，点在上，连接，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 在物理实验课上，同学们利用如图1所示的装置做了关于冰熔化的实验，他们将实验数据记录后，绘制了如图2所示的图象，则下列说法正确的是（　　） A. 实验开始时，冰块的温度为 B. 加热后，冰块开始熔化 C. 冰块熔化后，继续加热，温度计读数增加到 D. 冰块熔化过程持续了 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 写出一个使式子有意义的的值：______． 12. 驻马店是全国知名的文化旅游城市，八年级学生小明和小亮的两个家庭均在2026年“清明”假期去爬山，并约定好于4月5号上午在“嵖岈山、老乐山、金顶山”三个景区中随机选择一个作为游玩目的地，则两个家庭选择同一景区的概率为________． 13. 数学之美无处不在，如图是杨桃的横截面图，其形状呈“五角星”．将其放在平面直角坐标系中，若其横截面端点，两点的坐标分别为，，则点的坐标为________． 14. 如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的面积是________． 15. 矩形的边长为3，的角平分线交边于点（点不与点重合），连接，若的形状为等腰三角形，则边的长为________． 三、解答题 16. 计算和化简： （1）； （2）． 17. 2026年理化生考试前夕，学校为了解九年级学生的理化生实验情况，随机抽取1班、2班各20名同学进行调查，并将其笔试成绩（满分100分）和操作成绩（满分30分）进行整理． ①笔试成绩 成绩/分 等级 优秀 良好 及格 不及格 1班的20名学生的笔试成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100． 2班的20名学生的笔试成绩在“良好”等级的数据是：81，82，84，87，88，89． ②操作成绩 成绩分 等级 优秀 良好 及格 不及格 1班和2班所抽取的学生的笔试成绩和操作成绩统计表 班级 笔试成绩平均数 笔试成绩中位数 笔试成绩众数 操作成绩平均数 1班 85 86 26.2 2班 85 79 25.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）上面图表中________，________，________． （2）根据以上信息，你认为1班和2班哪个班级的学生理化生实验的成绩更好？请说明理由． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 每年的3月14日为国际数学日，为庆祝国际数学日，某校计划到文具店购买数学益智玩具七巧板和数独棋，已知购买3副七巧板和2副数独棋需要80元，购买5副七巧板和4副数独棋需要150元． （1）分别求七巧板和数独棋的单价． （2）若该校计划购买这两种益智玩具共50副，且购买经费不超过800元，则数独棋最多能购买多少副？ 20. 如图，在中，，是三角形的角平分线． （1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留尺规作图痕迹）： ①作线段的垂直平分线，且与相交于点； ②以点为圆心，以长为半径作． （2）在（1）的条件下，求证：是的切线． （3）在（1）的条件下，若，，求的半径． 21. 山上信号钢支架是用于支撑和固定信号设备的重要结构．小明及其学习小组想知道山上信号钢支架的高度，在山脚处测得信号钢支架顶端的仰角为，沿着斜坡从点走到点处测得信号钢支架顶端的仰角为，已知的坡度为，学习小组画出如图所示的示意图，于点，于点，米，图中所有点均在同一平面内，请你根据测量数据作答（在测量的过程中，测量者和工具的高度忽略不计，第（1）问结果保留整数，第（）问结果保留小数点后一位，参考数据：，，） （1）求出山的高度； （2）求出信号钢支架的高度． 22. 已知关于的二次函数，且． … 0 1 … … 4 … （1）若，求该二次函数的解析式和顶点坐标； （2）在（1）的条件下，求出下表中、的值，并在以下平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象； （3）在（2）的条件下，根据图象回答：当时，直接写出的最小值． 23. 【定义阅读】 若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是180°，则称这两个顶角的顶点关于这条底边互为“和谐点”． 【定义理解】 （1）如图1，点与点都在线段的垂直平分线上，且均在直线上侧， ①与的数量关系是_____； ②若，且点与点关于互为“和谐点”，则_____； 【性质操作】 （2）如图2，矩形中，点为边上一点，且，平分，射线交于点．点与点是否关于互为“和谐点”？说明理由； 【思维拓展】 （3）在矩形中，，，点是直线上的动点，点是平面内一点，在点运动过程中，当点与点关于互为“和谐点”，且，，三点共线时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一次模拟数学 一、单选题（每题3分，共30分） 1. “神舟二十号”载人飞船入轨后，于北京时间2025年4月24日23时49分，成功对接于空间站天和核心舱径向端口，整个对接过程历时约6.5小时．若飞船对接前5秒记为秒，那么飞船对接后10秒应记为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了相反意义的量，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：∵飞船对接前5秒记为秒， ∴飞船对接后10秒应记为秒． 故选A． 2. “扶危救困、乐善好施”是中华民族的优良传统．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 3. 由河南博物院、安徽博物院与驻马店市博物馆联合主办的《蔡国六百年—蔡国历史文化专题展》，吸引了全国各地的观众前来参观．据统计，2023年7月至11月份，共有32000余人次游客参观．数据32000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法要求将数表示为的形式，其中，为整数，确定值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据二次根式加法、单项式乘法、同底数幂除法、积的乘方的运算法则计算各选项，再判断结果是否正确即可． 【详解】解：∵ 与 不是同类二次根式，不能合并，∴A选项运算错误； ∵ =，∴B选项运算错误； ∵ ==，∴C选项运算错误； ∵ = = ， ∴D选项运算正确． 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 为了解驻马店市中学生周末在家干家务活的时间，采用全面调查的方式 B. “从一副扑克牌中随机抽取一张，恰好是黑桃”是必然事件 C. 一组数据3，5，7，9，10，13的样本容量是6 D. 在抽样调查中，样本容量越小，对总体的估计就越准确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计相关基础概念，涉及全面调查与抽样调查的选择，事件的分类，样本容量的定义，抽样调查的特点，根据对应知识点逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A，驻马店市中学生人数较多，调查工作量大，适合采用抽样调查，因此A错误； 对于选项B，“从一副扑克牌中随机抽取一张，恰好是黑桃A”可能发生也可能不发生，属于随机事件，不是必然事件，因此B错误； 对于选项C，样本容量是指样本中个体的数目，该组数据共有6个数据，因此样本容量是6，因此C正确； 对于选项D，在抽样调查中，样本容量越大，对总体的估计越准确，样本容量越小估计越不准确，因此D错误． 6. 如图，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过作，得到，推出，即可求出的度数． 【详解】解：如图，过作， ， ， ， ， ， ， ． 7. 如图所示，在中，是上一点，且，连接，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质得出，可证，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 8. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 图象与轴有一个交点 C. 当时，随的增大而减小 D. 如果点和点均在该函数的图象上，那么 【答案】D 【解析】 【分析】先由解析式得到，再结合反比例函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 反比例函数为，， ∴ 反比例函数图象在第二、四象限，A选项错误． ∵ 反比例函数中，恒不为， ∴ 图象与轴没有交点，B选项错误． ∵ 时，反比例函数在每个象限内，随的增大而增大， ∴ 当时，随的增大而增大，C选项错误． ∵ 点，都在第二象限的函数图象上，且， ∴ ，D选项正确． 9. 如图，与相切，点为切点，连接交于点，点在上，连接，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形可知的度数，再根据圆周角与圆心角的关系即可求解． 【详解】解：∵点为切点， ∴， ∵, ∴, ． 10. 在物理实验课上，同学们利用如图1所示的装置做了关于冰熔化的实验，他们将实验数据记录后，绘制了如图2所示的图象，则下列说法正确的是（　　） A. 实验开始时，冰块的温度为 B. 加热后，冰块开始熔化 C. 冰块熔化后，继续加热，温度计读数增加到 D. 冰块熔化过程持续了 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，理解题意，能从图象中获取信息是解答的关键．根据图象中的数据逐项分析求解即可． 【详解】解：由图可知，实验开始时，冰块的温度为，故A选项说法错误，不符合题意； ∵冰在熔化过程中，温度不变， ∴由图象知， 加热后，冰块开始熔化，故B选项说法错误，不符合题意； ∵加热后，冰块完全熔化， ∴冰的整个熔化过程持续了，故D选项说法错误，不符合题意； 由图象知，第到，用时4分钟，温度升高，平均每分钟升高态，那么冰块熔化后，继续加热，温度计读数增加到，故C选项说法正确，符合题意； 故选：C． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 写出一个使式子有意义的的值：______． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，理解并掌握二次根式有意义的条件是解题关键．根据二次根式有意义的条件可得，求解即可获得答案． 【详解】解：若有意义， 则有，解得． 故答案为：2（答案不唯一）． 12. 驻马店是全国知名的文化旅游城市，八年级学生小明和小亮的两个家庭均在2026年“清明”假期去爬山，并约定好于4月5号上午在“嵖岈山、老乐山、金顶山”三个景区中随机选择一个作为游玩目的地，则两个家庭选择同一景区的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先列表法确定所有等可能的结果数，再找出两个家庭选择同一景区的结果数，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：设嵖岈山，老乐山，金顶山三个景区分别为，，， 列表得： 由表格可得，其中两个家庭选择同一景区的结果有，，，共种． 故两个家庭选择同一景区的概率． 13. 数学之美无处不在，如图是杨桃的横截面图，其形状呈“五角星”．将其放在平面直角坐标系中，若其横截面端点，两点的坐标分别为，，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据端点，两点的坐标确定坐标原点的位置和单位长度，建立直角坐标系，即可求解出点的坐标． 【详解】解：∵端点，两点的坐标分别为，， ∴小方格的边长为1个单位长度，且点A在x轴负半轴1个单位，y轴正半轴2个单位， 点C在x轴正半轴3个单位，y轴正半轴1个单位， 由此建立坐标系如图： ∴点B的坐标为． 14. 如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理可知母线的长度，再根据弧长公式可知圆心角，进而可知扇形的面积． 【详解】解：设圆锥的母线为，这个扇形的圆心角， 则， ∵圆锥的底面周长等于扇形的弧长， 则， ∴， 解得：， 则． 15. 矩形的边长为3，的角平分线交边于点（点不与点重合），连接，若的形状为等腰三角形，则边的长为________． 【答案】或6 【解析】 【分析】由矩形的性质可得到，，由角平分线的定义得到，解直角三角形得到，再分三种情况：，和，讨论求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵的角平分线交边于点， ∴， ∴，； 如图所示，当时，则； 如图所示，当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴，此时点E与点C重合，不符合题意， 综上所述，的长为或6． 三、解答题 16. 计算和化简： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值、乘方，再进行加减运算； （2）按照分式的混合运算的运算法则，对分子、分母进行因式分解，将分子分母的公因式约去，同分母分式分母不变分子相减，化简后得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 （2） ． 17. 2026年理化生考试前夕，学校为了解九年级学生的理化生实验情况，随机抽取1班、2班各20名同学进行调查，并将其笔试成绩（满分100分）和操作成绩（满分30分）进行整理． ①笔试成绩 成绩/分 等级 优秀 良好 及格 不及格 1班的20名学生的笔试成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100． 2班的20名学生的笔试成绩在“良好”等级的数据是：81，82，84，87，88，89． ②操作成绩 成绩分 等级 优秀 良好 及格 不及格 1班和2班所抽取的学生的笔试成绩和操作成绩统计表 班级 笔试成绩平均数 笔试成绩中位数 笔试成绩众数 操作成绩平均数 1班 85 86 26.2 2班 85 79 25.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）上面图表中________，________，________． （2）根据以上信息，你认为1班和2班哪个班级的学生理化生实验的成绩更好？请说明理由． 【答案】（1）86，40，87.5； （2）1班更好，理由 两个班笔试成绩的平均数相同，1班操作成绩的平均数（分）高于2班（ 分），说明1班操作整体水平更高，因此1班理化生实验的整体成绩更好． 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． （1）根据表格及题意可直接进行求解； （2）比较平均数、众数、中位数即可得出结论． 【小问1详解】 解：1班20名学生的笔试成绩中86的频数最多，故众数， ，即， 2班“优秀”的人数为：（人）， 将2班笔试成绩按从小到大排列，排在中间的两个数分别是， ∴中位数， 故答案为：86，40，87.5； 【小问2详解】 略 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 （2）或 （3）点的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得解； （2）利用函数图象即可得解； （3）设，分两种情况：当以为边时，当以为对角线时，分别由平行四边形的性质计算即可得解． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数可得， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； 将代入反比例函数得， ∴， ∴， 将，代入一次函数得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可得：不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：设， ∵，，，以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形 ∴当以为边时，由平行四边形的性质可得：或， 解得：或，即或， 当以为对角线时，由平行四边形的性质可得：， 解得：，即， 综上所述，点的坐标为或或． 19. 每年的3月14日为国际数学日，为庆祝国际数学日，某校计划到文具店购买数学益智玩具七巧板和数独棋，已知购买3副七巧板和2副数独棋需要80元，购买5副七巧板和4副数独棋需要150元． （1）分别求七巧板和数独棋的单价． （2）若该校计划购买这两种益智玩具共50副，且购买经费不超过800元，则数独棋最多能购买多少副？ 【答案】（1）七巧板和数独棋的单价分别为10元，25元． （2）数独棋最多能购买20副． 【解析】 【分析】 【小问1详解】 解：设七巧板和数独棋的单价分别为元，元 根据题意得， 解得：， 答：七巧板和数独棋的单价分别为10元，25元． 【小问2详解】 解：设数独棋购买的数量为副， 根据题意得：， 解得， 的最大值为20． 答：数独棋最多能购买20副． 20. 如图，在中，，是三角形的角平分线． （1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留尺规作图痕迹）： ①作线段的垂直平分线，且与相交于点； ②以点为圆心，以长为半径作． （2）在（1）的条件下，求证：是的切线． （3）在（1）的条件下，若，，求的半径． 【答案】（1） 解：如图所示，，圆为所求． （2） 证明：如图，连接， ， ． 是的平分线， ， ， 又， ， ． 又是圆的半径， 是的切线． （3）的半径为6 【解析】 【分析】（1）分别以、为圆心，大于长为半径画弧交于点、，则即为线段的垂直平分线，则与相交于点，以点为圆心，以长为半径作； （2）连接，由和角平分线得到，进而得到，则，最后根据是圆的半径，得到是的切线． （3）根据，得到，则，据此求出圆的半径为6． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意，可知， ∴， ， ． 又， ， 故的半径为6． 21. 山上信号钢支架是用于支撑和固定信号设备的重要结构．小明及其学习小组想知道山上信号钢支架的高度，在山脚处测得信号钢支架顶端的仰角为，沿着斜坡从点走到点处测得信号钢支架顶端的仰角为，已知的坡度为，学习小组画出如图所示的示意图，于点，于点，米，图中所有点均在同一平面内，请你根据测量数据作答（在测量的过程中，测量者和工具的高度忽略不计，第（1）问结果保留整数，第（）问结果保留小数点后一位，参考数据：，，） （1）求出山的高度； （2）求出信号钢支架的高度． 【答案】（1）山的高度为米； （2）信号钢支架的高度约为米． 【解析】 【分析】（）过点作于点，由于点，于点，则四边形为矩形，然后通过坡度定义即可求解； （）设米，在中，，，则，即，则，在中，，则，然后列出方程即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，由于点，于点，如图所示： 则四边形为矩形， ∴，， ∵斜坡的坡度为，且米， ∴， 米， 答：山的高度为米； 【小问2详解】 解：设米， 在中，，， 则，即， ∵， ∴， 在中，，则， ∴， 解得， 答：信号钢支架的高度约为米． 22. 已知关于的二次函数，且． … 0 1 … … 4 … （1）若，求该二次函数的解析式和顶点坐标； （2）在（1）的条件下，求出下表中、的值，并在以下平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象； （3）在（2）的条件下，根据图象回答：当时，直接写出的最小值． 【答案】（1），顶点坐标为； （2），， 图象如图所示， （3）． 【解析】 【分析】（1）把和代入解析式求出解析式，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）根据（1）所求代入求出k、n的值，再画出对应的函数图象即可； （3）根据函数图象得到增减性，进而代入求值即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴当时， ， ∴二次函数的解析式为，且顶点坐标为． 【小问2详解】 解：由（1）得， 当时，， 当时， ， 图象略 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，随的增大而减小， 当时，最小，最小值为． 23. 【定义阅读】 若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是180°，则称这两个顶角的顶点关于这条底边互为“和谐点”． 【定义理解】 （1）如图1，点与点都在线段的垂直平分线上，且均在直线上侧， ①与的数量关系是_____； ②若，且点与点关于互为“和谐点”，则_____； 【性质操作】 （2）如图2，矩形中，点为边上一点，且，平分，射线交于点．点与点是否关于互为“和谐点”？说明理由； 【思维拓展】 （3）在矩形中，，，点是直线上的动点，点是平面内一点，在点运动过程中，当点与点关于互为“和谐点”，且，，三点共线时，请直接写出的长． 【答案】（1）①；②； （2）点与点是关于互为“和谐点”，理由如下： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 又均为等腰三角形，其中， 点与点关于互为“和谐点”； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）①利用线段垂直平分线的性质可得答案； ②根据题中定义可得，再根据线段垂直平分线和等腰三角形的性质求得，，进而可求解； （2）证明得到，进而可得，根据题中定义可得结论； （3）分当点F在的延长线上时，当点F在的延长线上时，当点F在线段上时三种情况，根据题中定义，结合勾股定理和矩形性质分别求解即可． 【详解】解：（1）①∵点与点都在线段的垂直平分线上，且均在直线上侧， ∴； ②点与点关于互为“和谐点”，且， ， 又点与点都在线段的垂直平分线上， ，， ∴，， ∴； （2）略 （3）∵四边形是矩形，，， ∴，，， 当点F在的延长线上时，如图， ∵点与点关于互为“和谐点”， ∴，，， ∴， 在中，， ∴； 当点F在的延长线上时，如图， ∵点与点关于互为“和谐点”， ∴，，， ∴， 在中，， ∴； 当点F在线段上时，不存在，故不存在点与点关于互为“和谐点”，综上，满足条件的的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $