精品解析：宁夏回族自治区银川市兴庆区银川北塔中学2025-2026学年第二学期第一次学业评估九年级数学试卷

银川北塔中学2025-2026学年第二学期第一次学业评估 九年级数学试卷 （总分120分时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，若移走一个小正方体后，该几何体的左视图和主视图均不变，则可移走的小正方体的编号为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 C. 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 D. 甲乙两射击运动员训练成绩的方差分别为，那么选择甲参加比赛更稳妥一些 6. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（　　） A. 1.0厘米/分 B. 0.8厘米/分 C. 1.2厘米/分 D. 1.4厘米/分 8. 如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点．则下列结论：①；②；③；④方程没有实数根；⑤若点和在该图像上，则；⑥若为任意实数，则有．其中错误的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 一元二次方程的根是__________． 10. 因式分解：______． 11. 式子有意义，则的取值范围是____________ 12. 某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦•青春梦”演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是_____． 13. 如图，菱形的边长为，，是以点为圆心，长为半径的弧，是以点为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为______． 14. 如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上且BC：CA＝1：2，双曲线y＝（x＞0）经过点C，则k＝_____． 15. 如图，点A，B，C，D在数轴上，点D表示的数是1，C是线段的中点，线段，点C到原点的距离等于线段的长，则点B表示的数是 ________ 16. 如图，矩形的顶点，，与轴负半轴的夹角为，若矩形绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第秒时，矩形的对角线交点的坐标为______． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）解不等式组：． 18. 先化简，再求值：，其中，满足． 19. 已知：如图1，线段a，b． 求作：矩形ABCD，使得，． 作法：如图2． 1．在直线上截取． 2．过点B作直线，在直线m上截取． 3．分别以点A和点C为圆心，b，a的长为半径画弧，两弧的交点为D． (点D与点C在直线的同侧) 4．连接． 则四边形为所求的矩形． 根据上面设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，在图2中补全图形(保留作图痕迹)； （2）完成下面的证明： 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形(___________)．(填推理的依据) ∵直线， ∴___________， ∴四边形ABCD是矩形(___________)．(填推理的依据)． 20. 定义：若一个三位数的十位数字的倍等于百位数字与个位数字之和，则这个三位数叫做“倍和数”．例如三位数，因为，所以它是“倍和数”． 【理解定义】 （1）三位数是否为“倍和数”？ 【建模推理】 （2）设一个“倍和数”的百位、十位、个位数字分别为，，，则，，满足的关系式为：______； （3）任意一个“倍和数”都能被整除吗？为什么？ 21. 某社区志愿者团队计划参加“社区公益集市活动”，制作了简约版和创意版两种类型的手工钥匙扣进行售卖．每套简约版的成本比每套创意版的成本低8元，7套简约版的成本与5套创意版的成本共148元． （1）求出每套简约版和每套创意版手工钥匙扣的成本价； （2）现决定将简约版、创意版手工钥匙扣的销售单价分别定为15元和25元．如果共售出120套，且简约版钥匙扣不少于30套，那么总利润最高是多少元？ 22. 如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点．三个格点都在圆上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中作图（保留作图痕迹、不写作法）． （1）在图1中作出这个圆的一条直径，这么做的依据是______； （2）在图2中作格点，使得与相切． 23. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． （1）求和的值； （2）连接，，求的面积； （3）当时，请直接写出的取值范围； 24. 课本再现 推论 直径所对的圆周角是________． （1）补全课本再现中横线上的内容． 知识应用 （2）如图，内接于，是的直径的延长线上一点，． ①求证：是的切线； ②过圆心作的平行线交的延长线于点，若，求的长． 25. 如图①是一个校园长廊，其外轮廓可以近似看成由抛物线的一部分和矩形的两条边组成，如图②，点在抛物线上，四边形为矩形，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知米，米，抛物线的顶点距地面的竖直高度为6米． （1）求抛物线的函数表达式； （2）为达到最佳观赏效果，需要对花墙进行修剪，工人师傅借助梯子工作，点在抛物线上，为了增加稳定性使点与点重合，已知工人师傅利用工具能够修剪到的最大竖直高度是米，请你判断工人师傅借助梯子能否修剪到抛物线部分的所有花墙． 26. 综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在中，，P是边上一点，过点P作于D，于E，过点A作于F，连结，由图形面积分割法得： ，则 + ； 实践应用：如图2，是等边三角形，，点G是边上一点．连结，将线段绕点C逆时针旋转得，连结交于P，过点P作于D，于E，当时，求的值； 拓展延伸：如图3，已知是半圆O的直径，，是弦，，P是上一点，，垂足为D，，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川北塔中学2025-2026学年第二学期第一次学业评估 九年级数学试卷 （总分120分时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数的概念计算即可得到结果． 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 故的倒数为． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据运算法则逐一计算判断即可，本题考查了积的乘方，算术平方根，整式的乘除，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 故A不合题意． ∵， ∴B不合题意． ∵， ∴C不合题意． ∵， ∴D合题意． 故选：D． 3. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作AD⊥BC于D，利用勾股定理求出AB的长，再根据公式计算即可． 【详解】解：作AD⊥BC于D， 由图可知：AD=3，BD=3， 在Rt△ABD中，， ∴ =， 故选：B． 【点睛】此题考查求角的余弦值，勾股定理求边长，正确构建直角三角形并熟记余弦值公式是解题的关键． 4. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，若移走一个小正方体后，该几何体的左视图和主视图均不变，则可移走的小正方体的编号为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图为2列，第1列有2个，第2列有1个，主视图为3列，第1列为1个，第2列为2个，第3列为1个，进行判断即可. 【详解】解：观察可知：左视图为2列，第1列有2个，第2列有1个，主视图为3列，第1列为1个，第2列为2个，第3列为1个， 移走①，左视图发生改变，移走②，左视图和主视图均不变，移走③，左视图和主视图都发生改变，移走④主视图发生改变. 故可移走②号小正方体. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 C. 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 D. 甲乙两射击运动员训练成绩的方差分别为，那么选择甲参加比赛更稳妥一些 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据轴对称图形定义、同圆或等圆中圆心角弧弦的关系、三角形中线的性质、方差的意义，逐一判断各选项正误即可． 【详解】解：对于选项A，平行四边形不一定是轴对称图形，A错误． 对于选项B，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，B错误． 对于选项C，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，C正确． 对于选项D，方差越小数据波动越小，成绩越稳定，又，乙的成绩更稳定，选择乙参加比赛更稳妥， D错误． 6. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为元，根据“用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个”列方程即可． 【详解】解：设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为元， 由题意可得：， 故选：A． 【点睛】本题考查分式方程的应用，正确理解题意是关键． 7. 如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（　　） A. 1.0厘米/分 B. 0.8厘米/分 C. 1.2厘米/分 D. 1.4厘米/分 【答案】A 【解析】 【分析】设“图上”圆的圆心为，连接，过点作于，由垂径定理，即可求得的长，继而由勾股定理求得的长，又由太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，即可求得“图上”太阳升起的速度． 【详解】解：设“图上”圆的圆心为，连接，过点作于，如图所示： 厘米， （厘米）， 厘米， （厘米）， 海平线以下部分的高度（厘米）， 太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟， “图上”太阳升起的速度（厘米/分）， 故选：A． 【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 8. 如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点．则下列结论：①；②；③；④方程没有实数根；⑤若点和在该图像上，则；⑥若为任意实数，则有．其中错误的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由图像可知，该函数图像开口向上，交轴于负半轴，易得，结合点、的坐标，可知其对称轴为，可得，进而可得，即可判断结论①；由可知，即可判断结论②；由图像可知，当时，， 即有，可判断结论③；将方程整理为，由图像可知，该函数图像开口向上，与直线有两个交点，即方程有两个不相等的实数，可判断结论④；由图像可知，函数图像上的点距离直线越远，函数值越大，即可判断结论⑤；当时，取最小值，则有，即有，可判断结论⑥． 【详解】解：由图像可知，该函数图像开口向上，交轴于负半轴， ∴， ∵该函数图像与轴交于点、， ∴其对称轴为， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ∵ ∴，故结论②正确； 由图像可知，当时，， ∴，故结论③错误； 对于方程，整理可得， 由图像可知，该函数图像开口向上，与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数，故结论④错误； ∵该函数图像的对称轴为，且开口向上， ∴函数图像上的点距离直线越远，函数值越大， ∵，，且， ∴，故结论⑤错误； 由该函数图像的对称轴为，且开口向上， 可知当时，取最小值， ∴若为任意实数，则有， 则有，故结论⑥正确． 综上所述，错误的结论有③④⑤，共计3个． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 一元二次方程的根是__________． 【答案】##， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．移项提公因式解题即可． 【详解】解：， 移项得，， 提取公因式得，， ∴， 故答案为：，． 10. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式即可． 【详解】解：． 11. 式子有意义，则的取值范围是____________ 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 【详解】∵式子有意义， ∴且， 解得：且． 故答案为：且． 【点睛】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 12. 某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦•青春梦”演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意，画树状图进行计算，即可得到答案. 【详解】画树状图为： 共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12， ∴恰好选中一男一女的概率是， 故答案为． 【点睛】本题考查概率，解题的关键是熟练掌握树状图法求概率． 13. 如图，菱形的边长为，，是以点为圆心，长为半径的弧，是以点为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先作出辅助线，进而得出两个弓形的面积相等，即可确定阴影部分的面积等于△BCD的面积，计算求解即可. 【详解】如图，连接BD． ∵菱形ABCD中∠A=60°， ∴△ABD和△BCD是边长相等的等边三角形． ∴BD与围成的弓形面积等于CD与围成的弓形面积． ∴阴影部分的面积等于△BCD的面积． 过点D作，于点E， 在Rt△CDE中，CD=4cm，CE==2cm， ∴， ∴△BCD的面积等于（cm2），即阴影部分的面积等于cm2． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，求阴影部分的面积等，将阴影部分的面积转化为求三角形的面积是解题的关键． 14. 如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上且BC：CA＝1：2，双曲线y＝（x＞0）经过点C，则k＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论． 【详解】解：连接OC， ∵点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B， ∴S△OAB＝×6＝3， ∵BC：CA＝1：2， ∴S△OBC＝3×＝1， ∵双曲线y＝（x＞0）经过点C， ∴S△OBC＝|k|＝1， ∴|k|＝2， ∵双曲线y＝（x＞0）在第一象限， ∴k＝2， 故答案为2． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 15. 如图，点A，B，C，D在数轴上，点D表示的数是1，C是线段的中点，线段，点C到原点的距离等于线段的长，则点B表示的数是 ________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，根据题意可知，点表示的数为，，则点表示的数为：，又因为点到原点的距离等于线段的长，则 ， 因此点表示的数为，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】解：∵点表示的数是，是线段的中点，线段， ∴点表示的数为，， ∴点表示的数为， ∵点到原点的距离等于线段的长， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 16. 如图，矩形的顶点，，与轴负半轴的夹角为，若矩形绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第秒时，矩形的对角线交点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理可得点的初始位置为，再根据题意可得次一个循环，从而得出与轴负半轴夹角为，即点的位置与关于轴对称． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 由题意可得：， ∴， ∵与轴负半轴的夹角为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的初始位置为， ∵矩形绕点顺时针旋转，每秒旋转， ∴次一个循环，， ∴第秒与起始位置夹角为， ∵与轴负半轴夹角为， 此时，与轴负半轴夹角为，即点的位置与关于轴对称， 故此时，． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先逐项化简负指数幂、零次幂、三角函数、绝对值，再合并计算即可； （2）先分别求解两个一元一次不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的口诀确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴这个不等式组的解集为． 18. 先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确地把所求的代数式化简是解题的关键． 先利用非负数的性质求得a，b的值，然后代入化简后的代数式求值即可． 【详解】解：∵a，b满足． ∴，解得， 当时， ∴原式． 19. 已知：如图1，线段a，b． 求作：矩形ABCD，使得，． 作法：如图2． 1．在直线上截取． 2．过点B作直线，在直线m上截取． 3．分别以点A和点C为圆心，b，a的长为半径画弧，两弧的交点为D． (点D与点C在直线的同侧) 4．连接． 则四边形为所求的矩形． 根据上面设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，在图2中补全图形(保留作图痕迹)； （2）完成下面的证明： 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形(___________)．(填推理的依据) ∵直线， ∴___________， ∴四边形ABCD是矩形(___________)．(填推理的依据)． 【答案】（1） 补全图形如下： （2） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)． ∵直线， ∴， ∴四边形ABCD是矩形(有一个内角是直角的平行四边形是矩形)． 故答案是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；；有一个内角是直角的平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）按照步骤操作即可； （2）根据矩形的判定定理推导，填空即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查尺规作图，矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 20. 定义：若一个三位数的十位数字的倍等于百位数字与个位数字之和，则这个三位数叫做“倍和数”．例如三位数，因为，所以它是“倍和数”． 【理解定义】 （1）三位数是否为“倍和数”？ 【建模推理】 （2）设一个“倍和数”的百位、十位、个位数字分别为，，，则，，满足的关系式为：______； （3）任意一个“倍和数”都能被整除吗？为什么？ 【答案】（1）不是， （2）； （3） 解：任意一个“倍和数”都能被整除，理由： 设一个“倍和数”的百位、十位、个位数字分别为，，， 所以这个三位数为， 由（）得：，即， 所以 ， 因为是正整数，为非负整数， 所以为非负整数， 所以能被整除， 即任意一个“倍和数”都能被整除． 【解析】 【分析】（）根据“倍和数”即可求解； （）根据“倍和数”即可求解； （）设一个“倍和数”的百位、十位、个位数字分别为，，，所以这个三位数为，由（）得：，即，整理得，从而求解． 【小问1详解】 解：由三位数得： 因为， 所以它不是“倍和数”； 【小问2详解】 解：因为一个“倍和数”的百位、十位、个位数字分别为，，， 所以； 【小问3详解】 略 21. 某社区志愿者团队计划参加“社区公益集市活动”，制作了简约版和创意版两种类型的手工钥匙扣进行售卖．每套简约版的成本比每套创意版的成本低8元，7套简约版的成本与5套创意版的成本共148元． （1）求出每套简约版和每套创意版手工钥匙扣的成本价； （2）现决定将简约版、创意版手工钥匙扣的销售单价分别定为15元和25元．如果共售出120套，且简约版钥匙扣不少于30套，那么总利润最高是多少元？ 【答案】（1）每套简约版手工钥匙扣的成本价为9元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为17元 （2）总利润最高是900元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）设每套简约版手工钥匙扣的成本价为元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设售出套简约版手工钥匙扣，总利润为元，则售出套创意版手工钥匙扣，根据题意得出，再结合一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每套简约版手工钥匙扣的成本价为元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为元， 由题意可得：， 解得：， ∴每套简约版手工钥匙扣的成本价为9元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为17元； 【小问2详解】 解：设售出套简约版手工钥匙扣，总利润为元，则售出套创意版手工钥匙扣， 由题意可得：， 即， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵简约版手工钥匙扣不少于30套， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， 故总利润最高是元． 22. 如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点．三个格点都在圆上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中作图（保留作图痕迹、不写作法）． （1）在图1中作出这个圆的一条直径，这么做的依据是______； （2）在图2中作格点，使得与相切． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， 的圆周角所对的弦为直径 （2） 如图所示，点D即为所求． 【解析】 【分析】（1），因为的圆周角所对的弦是直径，所以先在网格中找与A、B、C构成圆周角的格点，连接对应格点得到直径； （2）因为圆的切线垂直于过切点的半径，由（1）知为直径，结合网格找到满足条件的格点D，使得与垂直即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． （1）求和的值； （2）连接，，求的面积； （3）当时，请直接写出的取值范围； 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点分别代入，中，进行计算即可得； （2）设一次函数与x轴交于点C，与y轴交于点D，联立两函数解析式求出点B的坐标，再求出点C和点D 的坐标，根据列式求解即可； （3）观察函数图象，当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，即可得． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ∴把代入两个解析式得：，， 解得，； 【小问2详解】 解：如图所示，设一次函数与x轴交于点C，与y轴交于点D， 由（1）得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 联立，解得或， ∴点B的坐标为； 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：观察函数图像，当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方， ∴当时，x的取值范围为或． 24. 课本再现 推论 直径所对的圆周角是________． （1）补全课本再现中横线上的内容． 知识应用 （2）如图，内接于，是的直径的延长线上一点，． ①求证：是的切线； ②过圆心作的平行线交的延长线于点，若，求的长． 【答案】（1）直角； （2）①证明：， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 即， ， 是的半径， 是的切线； ②． 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理即可解答； （2）①由等腰三角形的性质与已知条件得出，，由圆周角定理可得，进而得到，即可得出结论； ②根据平行线分线段成比例定理得到，设，则，，在中，根据勾股定理求出，据此即可求解． 【详解】（1）解：直径所对的圆周角是直角； 故答案为：直角； （2）①略 ②解：， ， ，， ， 设，则，， ， 是直角三角形， 在中，， ， 解得，（舍去），或， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键． 25. 如图①是一个校园长廊，其外轮廓可以近似看成由抛物线的一部分和矩形的两条边组成，如图②，点在抛物线上，四边形为矩形，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知米，米，抛物线的顶点距地面的竖直高度为6米． （1）求抛物线的函数表达式； （2）为达到最佳观赏效果，需要对花墙进行修剪，工人师傅借助梯子工作，点在抛物线上，为了增加稳定性使点与点重合，已知工人师傅利用工具能够修剪到的最大竖直高度是米，请你判断工人师傅借助梯子能否修剪到抛物线部分的所有花墙． 【答案】（1） （2）如答图， 设是抛物线上一动点，过点作轴，交于点， 由题可知， 设直线的表达式为， 把代入，则，得， 直线的表达式为，， 设点的坐标为，其中，则， 则， ， 梯子距离抛物线的最大竖直距离为米， ， 工人师傅借助梯子不能修剪到抛物线部分所有花墙． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出函数解析式是解题的关键． （1）由题意得，抛物线的顶点的坐标为，则可设抛物线的函数表达式为，再代入点，即可求解； （2）设点的坐标为，表示出，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线的顶点的坐标为， 则可设抛物线的函数表达式为， 把代入，得， 解得． 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 略 26. 综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在中，，P是边上一点，过点P作于D，于E，过点A作于F，连结，由图形面积分割法得： ，则 + ； 实践应用：如图2，是等边三角形，，点G是边上一点．连结，将线段绕点C逆时针旋转得，连结交于P，过点P作于D，于E，当时，求的值； 拓展延伸：如图3，已知是半圆O的直径，，是弦，，P是上一点，，垂足为D，，，，求的值． 【答案】探究发现：，，；实践应用：；拓展延伸：24 【解析】 【分析】本题考查了图形面积的分割与组合，三角形面积公式的应用，等边三角形、圆的相关性质及勾股定理． 探究发现：通过三角形的面积关系得出线段关系； 实践应用：结合等边三角形和旋转的性质求出线段长度； 拓展延伸：利用圆的性质和勾股定理求出相关线段长度，进而求出三角形面积之和． 【详解】解：探究发现：∵在中，，P是边上一点，过点P作于D，于E，过点A作于F， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，，； 实践应用：如图，过点C作于点M，过点F作于点N， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵将线段绕点C逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，则， ∴； 拓展延伸：如图，延长、交于点T，过点P作于点S，连接， 设， ∵是半圆O的直径， ∴， ∵，，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $