2026年上海市杨浦区中考数学自主练习卷

2026年上海市杨浦区中考数学自主练习卷 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13.   14.     15.   16.   17.   18.   19. 解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组的解集为， 其整数解为，，，，，，．  20. ，．  21. 解：四边形是菱形，， ，，， 在中，由勾股定理得：， ； 如图，过点作于点， 四边形是菱形，，， ，， ， ， 在中，．  22. 解：能，理由如下： 延长交于，如图所示： 则， ， ， 设，则， ， 在中，， ， ， 解得：， ， 答：点到地面的距离的长约为．  23. 略；．  24. 解：设直线的表达式为代入，，得， 解得： 直线的表达式为； 当时，， ， ， 解方程组得 ， 点的坐标为 ．  25. 解：设，， 四边形是矩形， ， ∽， 是边上的高， ，， 四边形是矩形， ， ：：， ，， ， ， 当时，矩形是正方形， ，解得， 故答案为时，矩形是正方形； 矩形的面积为：，， 当，即时，内接矩形有最大面积，最大面积是．  【解析】 1. 解：、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意， 故选：． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含有分母，且不含能开得尽方的因数或因式解答即可． 本题考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 2. 解：原式，所以选项不符合题意； B.原式，所以选项不符合题意； C.原式，所以选项符合题意； D.原式，所以选项不符合题意． 故选：． 根据整式的除法法则对进行判断；根据完全平方公式对、进行判断；根据幂的乘方与积的乘方对进行判断． 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质和乘法公式幂是解决问题的关键．也考查了整式的运算． 3. 解：相似三角形周长的比等于相似比，故A错误，不符合题意； 对于反比例函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小，故B错误，不符合题意； 关于的方程是一元二次方程，故C错误，不符合题意； 顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的图形是菱形，故D正确，符合题意； 故选：． 根据相似三角形的性质、反比例函数的性质、一元二次方程的定义、菱形的判定定理判断求解即可． 此题考查了相似三角形的性质、反比例函数的性质、一元二次方程的定义、菱形的判定等知识，熟记相似三角形的性质、反比例函数的性质、一元二次方程的定义、菱形的判定定理是解题的关键． 4. 解：当抛掷次数是时，“正面向上”的频率是，“正面向上”的概率不一定是，故错误； 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是，故正确； 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为时，出现“正面向上”的次数不一定是次．故正确； 故选：． 利用频率估计概率求解即可． 本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，但是并不是频率值就一定等于概率值，据此求解即可． 5. 解：点为的中点，点为的中点， 为的中位线， ，， 同理可得，， ，， 四边形为平行四边形， 同理可得，，， ， 又， ， 四边形为菱形， ，， ，， ， ， ， ， 四边形是正方形． 故选：． 先根据三角形中位线性质得到，，，，则，，所以可判断四边形为平行四边形，同理可得，则，则可判断四边形为菱形，然后证明，于是可判断四边形是正方形． 本题考查了正方形的判定：熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键．也考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定和矩形的判定． 6. 试题分析：已知两圆的半径，分两种情况：当两圆外切时；当两圆内切时；即可求得两圆的圆心距． 两圆半径分别为和， 当两圆外切时，圆心距为； 当两圆内切时，圆心距为． 故选C． 7. 解：原式 ． 故答案为：． 利用二次根式的性质进行开方，然后再利用绝对值的性质进行计算． 此题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握． 8. 解：原式， 故答案为： 原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 9. 解：用换元法解无理方程， 设， 原方程为， 故答案为：． 设，可得原方程为． 本题考查了无理方程的解法，掌握无理方程的解法是解题的关键． 10. 解：关于的一元二次方程有两个实数根， ，即， 解得． 所以满足的最大整数值为． 故答案为：． 由方程有两个实数根，得，解得，这样就很快得到满足条件的的非负整数值． 本题考查了一元二次方程为常数根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了不等式的特殊解． 11. 解： 千米， 即后甲船比乙船多航行千米， 故答案为：． 根据题目中的数据，可以列出算式，然后计算即可． 本题考查列代数式，解答本题的关键是明确顺水速度船在静水的速度水流速度，逆水速度船在静水的速度水流速度． 12. 解：垂直于直线， ， 点的路径是以的中点为圆心，长为半径的， 连接，如图所示： 直线与两坐标轴交、两点， ， ， ， ， ， 的长， 故答案为： 根据直线与两坐标轴交点坐标的特点可得、两点坐标，由题意可得点的路径是以的中点为圆心，长的一半为半径的，求出的长度即可得出结果． 本题考查了一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、直角三角形的性质、勾股定理、轨迹、弧长公式等知识；判断出点的运动路径是解题的关键． 13. 解：点是的重心， ，点、点分别是、的中点， ，， ， ， ， 在中，，点是的中点， ， ， ， ∽， ， ． 故答案为：． 首先根据重心的性质，可求得，，再根据，，可证得∽，利用相似三角形的性质，即可求解． 本题考查了重心的性质，三角形中线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握重心的性质及相似三角形的性质得到相关三角形的面积是解决本题的关键． 14. 解：由题意可得，金牌数占奖牌总数的百分率是； 图中表示金牌百分率的扇形的圆心角度数是． 故答案为：，． 根据各组所占百分比的和等于可得金牌数占奖牌总数的百分率；用乘以金牌数占奖牌总数的百分率即可求出图中表示金牌百分率的扇形的圆心角度数． 本题考查了扇形统计图．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数单位，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与的比． 15. 解：把点，代入，得： ， 解得：， 二次函数的解析式为， 当时，． 故答案为：． 利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解． 本题主要考查了求二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握用待定系数法求出二次函数的解析式的方法是解题的关键． 16. 【分析】 本题考查平面向量，此题是利用方程思想求得向量的值，难度不大． 根据平面向量的加减法计算法则和方程解题． 【解答】 解： ． 故答案是：． 17. 解：在▱中，是上一点，与的延长线交于点，  ，，，  ∽，∽，  ，，  ，的面积为，  ，，  ，    故答案为：． 结合平行四边形的性质可证明∽，∽，从而得到，，即可求解． 本题主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键要明确：相似三角形的面积比等于相似比的平方． 18. 解：、点， ，，， 连接，，取的中点，即的坐标， 连接， 又分别是、的中点， ， 是定点，，即点的运动轨迹是以点为中心，为半径的圆． ， 点坐标， ， 的取值范围是，即， 即． 故答案为：． 根据分别是、的中点，，是定点，，即点的运动轨迹是以点为中心，为半径的圆，由此解答即可． 本题考查了点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 19. 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，并写出整数解即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20. 解：原式 ； ， 代入原式． 首先用完全平方公式和平方差公式进行整式的乘除法运算，同时计算括号内分式的减法，然后再算分式的除法，最后合并同类项，把的值化简后代入求值即可． 本题考查分式的混合运算，整式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 21. 由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，即可得出结论； 过点作于点，由菱形的面积求出，再由锐角三角函数定义即可得出结论． 本题考查了菱形的性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 22. 延长交于，根据等腰直角三角形的性质得到，根据正切的定义求出，结合图形计算即可． 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 23. 证明：≌， ， ， ∽； ， 即， 又， ∽，    ， ． 24. 设直线的表达式为，将，代入得，，可得一次函数的解析式； 令，代入直线的表达式为，可得点坐标，根据两直线相交可得点坐标，由三角形的面积公式可得结果． 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． 25. 设，，根据矩形的对边平行可得，然后得到与相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，用表示出，当时，矩形是正方形，求出的值； 根据矩形的面积公式求解并整理，再利用二次函数的最值问题进行求解即可． 本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题；根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出矩形长与宽的关系是解题关键． 第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海市杨浦区中考数学自主练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列二次根式，是最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.下面说法正确的是(    ) A. 相似三角形周长的比等于相似比的平方 B. 对于反比例函数，随的增大而减小 C. 关于的方程是一元二次方程 D. 顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的图形是菱形 4.做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如下表所示： 抛掷次数 “正面向上”的次数 “正面向上”的频率 当抛掷次数是时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为时，出现“正面向上”的次数不一定是次其中合理推断的序号是(    ) A. B. C. D. 5.如图，，是四边形的对角线，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点．若，，则四边形是(    ) A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 6.已知两圆相切，它们的半径分别为和，则它们的圆心距为(    ) A. B. C. 或 D. 或 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 7.已知，化简______． 8.因式分解：______． 9.用换元法解无理方程，若设，则原方程可化为整式方程：        ． 10.若关于的方程有实数根，则的最大整数值为      ． 11.两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是，则后甲船比乙船多航行      千米． 12.如图，直线与两坐标轴相交于，两点，点为线段上的动点，连结，过点作垂直于直线，垂足为，当点从点运动到点时，则点经过的路径长为______． 13.如图，在中，，，点是的重心，连接并延长交于点，连接并延长交于点，过点作于点若面积为，则的面积为      ． 14.如图是中国在奥运会中获奖牌扇形统计图，由图可知，金牌数占奖牌总数的百分率是______，图中表示金牌百分率的扇形的圆心角度数约是______精确到 15.二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则的值为      ． 16.如果向量、、满足关系式，那么______用向量、表示． 17.如图，在▱中，是上一点，且，与的延长线交点若的面积为，则▱的面积是            ． 18.如图，在直角坐标系中，已知点、点，的半径为，点是上的动点，点是线段的中点，那么长的取值范围是      ． 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 19.解不等式组，并求出其整数解． 四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分 先化简，再求值：，其中 21.本小题分 如图，在菱形中，对角线，交于点，，． 求的长； 求的值． 22.本小题分 如图，某商场开业之际，为了美化和宣传，该商场在楼上悬挂一块长为的宣传牌，即数学小组的同学要在双休日测量宣传牌的底部点到地面的距离根据所学的相关知识，他们分别在点和点处放置两个测倾仪，它们的高度是，站在点处的同学测得宣传牌底部点的仰角为，站在点处的同学测得宣传牌顶部点的仰角为，依据他们测量的数据能否求出宣传牌底部点到地面的距离的长？若能，请求出；若不能，请说明理由图中点，，，，，，在同一平面内参考数据：，， 23.本小题分 分如图，在中，已知，，≌对应，对应，点在边上，点在边上，交于点． 求证：∽； 若，求的长． 24.本小题分 如图，直线经过，两点，直线的表达式为，且与轴交于点，两直线相交于点． 求直线的表达式． 求的面积． 25.本小题分 在中，是边上的高，，矩形的顶点、分别在、上，、在上． 当______时，矩形是正方形． 求矩形的最大面积． 第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $