专题03 函数与实际问题（复习讲义）（天津专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题03 函数与实际问题 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 一次函数与实际问题（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：行程问题 必备知识 知识1 一次函数的实际问题 命题预测 考点二 二次函数与实际问题（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：二次函数与投球问题 题型二：二次函数与图形问题 必备知识 知识1 二次函数与实际问题 命题预测 命题透视 1. 命题形式：呈现 “新材料、新情境、新问题”的特点，以文字、图表、表格、函数图像为主要载体，聚焦核心素养考查，常融入家国情怀、社会热点（如经济发展、科技应用、民生工程），强调数学建模与应用意识。 2.命题内容 1）一次函数：侧重方案选择、费用优化、行程分析等，是高频考查的基础应用模型。 2）二次函数：以利润最大化、面积/建筑设计、抛物线型工程问题为核心，突出顶点最值与实际意义的结合。 3）分段函数：聚焦阶梯收费（水/电/税）、计费规则（快递、医保）等场景，考查分段讨论与实际问题的适配性。 4）反比例函数：以工程效率、物理规律（压强、杠杆）等为背景，考查反比例关系的实际应用。 5）综合趋势：函数与统计图表、几何图形、社会热点深度融合，强调从实际问题中抽象函数模型、分析函数性质、解决实际问题的能力，是中考命题的核心区域。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 一次函数实际问题（行程问题） T23：从函数图像中获取信息 T23：从函数图像中获取信息 T23：从函数图像中获取信息 T23：从函数图像中获取信息 T23：从函数图像中获取信息 一次函数实际问题 T12：二次函数与图形问题 T12：二次函数与投球问题 T12：二次函数与图形问题 命题预测 函数与实际问题的命题，将以社会热点、传统文化为背景，以文字、图像、表格为载体，重点考查一次函数方案选择、二次函数最值、分段函数计费、行程图像分析及反比例函数应用，突出数学建模与核心素养，压轴题更强调 “函数 + 几何 + 实际情境” 的综合能力。 考点一 一次函数与实际问题 题型一 行程问题 利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤： 1）观察图像，获取有效信息； 2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； 3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题. 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围. 1．（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①②③ (2) 【分析】本题主要考查了函数的图形，数形结合的数学思想，求分段函数的解析式，一次函数和不等式相结合等内容，解题的关键是准确从图形中获取信息． （1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：①小华去书店的速度为， 1分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 50分钟时，小华离家的距离为； 故答案为：； ②小华返回家的速度为 故答案为：； ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，假设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得 ∴； 综上，； （2）解：如图所示，为妈妈的图形， 根据题意可知，小华妈妈的速度为， 所以其直线解析式为， 当时， 令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意； 结合图形，当时，． 2．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为______； ③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①；②0.075；③当时，；当时，；当时， (2) 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据图象作答即可； ②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可； ③分段求解，，可得出，当时，；当时，设一次函数解析式为：，把，代入，用待定系数法求解即可. （2）先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家，则，当两人相遇时有，列一元一次方程求解即可进一步得出答案． 【详解】（1）解：①画社离家，张华从家出发，先匀速骑行了到画社， ∴张华的骑行速度为， ∴张华离家时，张华离家， 张华离家时，还在画社，故此时张华离家还是， 张华离家时，在文化广场，故此时张华离家还是． 故答案为：. ②, 故答案为：． ③当时，张华的匀速骑行速度为， ∴； 当时，； 当时，设一次函数解析式为：， 把，代入，可得出： ， 解得：， ∴， 综上：当时，，当时，，当时，． （2）张华爸爸的速度为：， 设张华爸爸距家，则， 当两人从画社到文化广场的途中两人相遇时，有， 解得：， ∴， 故从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是． 3．（2023·天津·中考真题）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，张强从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/ 1.2 ②填空：张强从体育场到文具店的速度为________； ③当时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当张强离开体育场时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①0.12，1.2，0.6；②0.06；③； (2) 【分析】（1）①根据图象作答即可；②根据图象，由张强从体育场到文具店的距离除以时间求解即可；③当时，直接根据图象写出解析式即可；当时，设y与x的函数解析式为，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）当张强离开体育场时，即时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，可列方程为，求解即可． 【详解】（1）①， 由图填表： 张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/ 0.12 1.2 1.2 0.6 故答案为：0.12，1.2，0.6； ②张强从体育场到文具店的速度为， 故答案为：0.06； 当时， ； 当时，设y与x的函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； 综上，张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为； （2）当张强离开体育场时，即时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍， 当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的， ∴ 解得， 当时，， 所以，他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 4．（2022·天津·中考真题）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓，超市离学生公寓，小琪从学生公寓出发，匀速步行了到阅览室；在阅览室停留后，匀速步行了到超市；在超市停留后，匀速骑行了返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离与离开学生公寓的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开学生公寓的时间/ 5 8 50 87 112 离学生公寓的距离/ 0.5 1.6 (2)填空： ①阅览室到超市的距离为___________； ②小琪从超市返回学生公寓的速度为___________； ③当小琪离学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为___________． (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 【答案】(1)0.8，1.2，2 (2)①0.8；②0.25；③10或116 (3)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）根据题意和函数图象，可以将表格补充完整； （2）根据函数图象中的数据，可以将各个小题中的空补充完整； （3）根据（2）中的结果和函数图象中的数据，可以写出当时，y关于x的函数解析式． 【详解】（1）由图象可得，在前12分钟的速度为：1.2÷12=0.1km/min, 故当x=8时，离学生公寓的距离为8×0.1=0.8； 在时，离学生公寓的距离不变，都是1.2km 故当x=50时，距离不变，都是1.2km； 在时，离学生公寓的距离不变，都是2km， 所以，当x=112时，离学生公寓的距离为2km 故填表为： 离开学生公寓的时间/ 5 8 50 87 112 离学生公寓的距离/ 0.5 0.8 1.2 1.6 2 （2）①阅览室到超市的距离为2-1.2=0.8； ②小琪从超市返回学生公寓的速度为： 2÷（120-112）=0.25； ③分两种情形： 当小琪离开学生公寓，与学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为： 1÷0.1=10； 当小琪返回与学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为： 112+（2-1）÷｛2÷（120-112）｝=112+4=116min； 故答案为：①0.8；②0.25；③10或116 （3）当时，设直线解析式为y=kx， 把（12，1.2）代入得，12k=1.2, 解得，k=0.1 ∴； 当时，； 当时，设直线解析式为， 把（82，1.2），（92，2）代入得， 解得， ∴， 由上可得，当时，y关于x的函数解析式为． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5．（2021·天津·中考真题）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校．李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离与离开学校的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表 离开学校的时间/ 离学校的距离/ （Ⅱ）填空： ①书店到陈列馆的距离为________； ②李华在陈列馆参观学习的时间为_______h； ③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为______； ④当李华离学校的距离为时，他离开学校的时间为_______h． （Ⅲ）当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 【答案】（Ⅰ）10，12，20；（Ⅱ）①8；②3；③28；④或；（Ⅲ）当时，；当时，；当时，． 【分析】（Ⅰ）根据函数图象，利用待定系数法，分段写出函数解析式，根据表格中x，代入相应的解析式，得到y； （Ⅱ）①根据图象进行分析即可； ②根据图象进行分析即可； ③根据时的函数解析式可求； ④分和两种情况讨论，将距离为4km代入相应的解析式求出时间x； （Ⅲ）根据函数图象，利用待定系数法，分段写出函数解析式即可． 【详解】对函数图象进行分析： ①当时，函数关系式为，由图象可知，当x=0.6时，y=12， 则，解得 ∴当时，函数关系式为 ②由图象可知，当时， ③当时，函数关系式为，由图象可知，当x=1时，y=12；当x=1.5时，y=20， 则 ，解得 ∴当时，函数关系式为 ④由图象可知，当时， ⑤当时，函数关系式为，由图象可知，当x=4.5时，y=20；当x=5时，y=6， 则，解得 ∴当时，函数关系式为 ⑥当时，函数关系式为，由图象可知，当x=5时，y=6；当x=5.5时，y=0， 则，解得 ∴当时，函数关系式为 （Ⅰ）∵当时，函数关系式为 ∴当x=0.5时，．故第一空为10． 当时，．故第二空为12． 当时，．故第二空为20． （Ⅱ）①李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆．由图象可知书店到陈列馆的距离； ②李华在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校．由图象可知李华在陈列馆参观学习的时间； ③当时，函数关系式为，所以李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为28； ④当李华离学校的距离为时，或 由上对图象的分析可知： 当时，函数关系式为 令，解得 当时，函数关系式为 令，解得 ∴当李华离学校的距离为时，他离开学校的时间为或． （Ⅲ）由上对图象的分析可知： 当时，； 当时，； 当时，． 【点睛】本题考查函数的图象与实际问题．解题的关键在于读懂函数的图象，分段进行分析． 知识1 一次函数的实际应用 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： 1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； 2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； 3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数解析式的常用方法 1）根据基本的量之间存在的关系列函数解析式； 2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 3.一次函数应用问题的求解思路： 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 1．（2025·天津南开·三模）某县在实施“村村通”工程中，决定在，两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从，两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队各自修筑道路的长度（单位：）与修筑时间（单位：天）之间的函数图象． 请根据相关信息，回答下列问题． (1)填表： 甲工程队修筑道路的时间（单位：天） 2 4 8 甲工程队修筑道路的长度（单位：） 360 (2)填空：①乙工程队提前离开了______（天）； ②乙工程队修筑道路的速度为______（m/天）； ③乙工程队一共修筑道路的长度为______（m）； ④该公路的总长度为______（m）； (3)当时，请直接写出甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式； (4)甲、乙工程队都施工期间，他们修筑道路的长度相差时，修筑道路的时间的值为多少？（直接写出结果） 【答案】(1)180，560； (2)①4；②70；③840；④1800； (3)当时，；当时，； (4)4，12 【分析】考查一次函数的应用及从函数图象获取信息；数形结合得到所在函数解析式上的点及相关函数解析式是解决本题的突破点． （1）由函数图象可以得出，甲前4天共修筑360米，可得前4天每天修筑（米），再求解并填表即可； （2）根据函数图象进行求解即可； （3）当时及当时，分别用待定系数法求得函数解析式； （4）根据题意对临界点的值分别进行计算，再进行判断即可． 【详解】（1）解：由函数图象可以得出，甲前4天共修筑360米， 前4天每天修筑（米）， 当时，， 由函数图象可以得出，甲前8天共修筑560米， 当时，， 填表如下： 甲工程队修筑道路的时间（单位：天） 2 4 8 甲工程队修筑道路的长度（单位：） 180 360 560 故答案为：180，560； （2）解：①由函数图象可以得出，乙工程队提前离开了（天）， 故答案为：4； ②由函数图象可以得出，乙工程队修筑道路的速度为（m/天）， 故答案为：70； ③由函数图象可以得出，乙工程队一共修筑道路的长度为， 故答案为：840； ④由③得出，乙工程队一共修筑道路的长度为， 由函数图象可以得出，甲第4天到第16天每天筑道路的长度为， 甲工程队一共修筑道路的长度为， 该公路的总长度为， 故答案为：1800； （3）解：设当时，，将代入得，解得， 当时，甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式为， 设当时，，将，代入得 ， 解得， 当时，甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式为； （4）解：当时，甲、乙工程队修筑道路的长度相差， 当时，甲、乙工程队修筑道路的长度相差， 的值为4或12． 2．（2025·天津滨海新区·三模）在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升，9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)①填表： 乙智能探空气球的飞行时间/s 1 9 25 30 所在的位置距离地面的高度/m 100 ②______米/秒， ______秒； (2)当时，请直接写出乙智能探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系； (3)甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可） 【答案】(1)①填表见解析②4，15； (2) (3)6秒或秒 【分析】本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）①求出气球乙的速度，结合图象，填表即可；②根据图象计算即可求解； （2）分，和三种情况进行讨论求解即可； （3）利用待定系数法分别求得线段、线段、线段所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，列式计算即可求解详解． 【详解】（1）解：①由图象可知气球乙的速度为：（米/秒）， ∴当时，（米）； 结合函数图象填表如下： 乙智能探空气球的飞行时间/s 1 9 25 30 所在的位置距离地面的高度/m 15 55 100 100 ②由题意得气球甲的速度为（米/秒）， （秒． 故答案为：4，15； （2）解：当时，由（1）可知，气球乙的速度为米/秒， ∴； 由图象知，， 气球乙的速度为（米秒）， ∴气球乙匀速从55米到100米所用时间为（秒）， ∵（秒）， ∴， ∴当时，； 当时，设线段所在直线的函数解析式为， 将，代入得：， 解得， 线段所在直线的函数解析式为； 综上：； （3）解：如图所示： 由题意，， 设直线所在直线的解析式为， ∴，解得 ∴线段所在直线的函数解析式为， 设线段所在直线的函数解析式为， 把，代入，得 ，解得， 线段所在直线的函数解析式为； 线段所在直线的函数解析式为， 当时，由题意得， 解得或（舍去）； 当时，由题意得， 解得（舍去）或， 当时，由题意得， 解得（舍去）或（舍去）， 综上，甲，乙两个智能探空气球飞行到6秒或秒时，它们之间的竖直高度的差为16米． 考点二 二次函数与实际问题 题型一 二次函数与投球问题 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 题型二 二次函数与图形问题 求最大面积类问题可以利用二次函数的图像和性质进行解答，也就是把图形面积的最值问题转化为二次函数的最值问题，依据图形的面积公式列出函数解析式. 在求解几何图形的最大面积时，应注意自变量的取值范围，一定要注意题目中隐含的每一个几何量的取值范围，一般有以下几种情况: 边长，周长，面积大于0，三角形中任意两边之和大于第三边. 1．（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③． 【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为， ①当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴，故①正确； ②当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故②错误； ③当点M在上时， ∵的面积为， ∴， 解得：（舍去）， ∴当时，的面积为； 当点M在上时， ∵，， ∴，即， 此时， 解得：， ∴当时，的面积为； ∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 故选：C 2．（2023·天津·中考真题）如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得 ， 其中，即， ①的长不可以为，原说法错误； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； ②当时，解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 知识1 二次函数与实际问题 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 1．（2025·天津和平·一模）如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论：①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12．其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象和性质，观察图2，得出当时，函数值最大，根据题意确定a的值，并可求出二次函数解析式，即可做出正确判断． 【详解】解：由图2可知，函数图象最高点为，经过原点， 设二次函数解析式为， 代入，得： 解得， ∴， 由此判断：①矩形最大面积是4平方米，说法错误； ②二次函数解析式为，说法正确； ③矩形面积最大时，，说法错误； ④当时，矩形面积取最大值， ∴， ∴，说法正确． 所以，说法正确的是②④，共2个， 故选：B． 2．（2025·天津滨海新区·三模）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，可设与之间的函数关系式为，再把将、代入，联立方程组，并解出，得出与之间的函数关系式，即可判断选项①；再根据一次函数的性质，得出当时，月销售量为千克，然后算出月销售利润，即可判断选项②；设月销售利润为，根据月销售利润等于每千克的利润乘以数量，得出，再根据题意，得出月销售量不超过千克，再根据一次函数，得出售价，然后代入，计算即可判断选项③；再根据二次函数的性质，即可判断选项④，综合即可得出答案． 【详解】解：设y与x之间的函数关系式为, 把代入到中得：， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为,故①正确； 当时，，则此时利润为元，故②正确； 设月销售利润为元， ∴， ∵每月购进这种海鲜的总进价不超过元， ∴（千克），即月销售量不超过千克， ∴当时，即， 解得：， ∴（元），故③错误； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，即最高利润为元，故④正确． ∴正确的有3个， 故选：C。 3．（2025·天津红桥·三模）冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论： ①蔬菜大棚内当天的温度可以是； ②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为； ③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意得，，故当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，进而逐个判断可以得解．解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意得，， 当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，故②错误． ，且当时，， 蔬菜大棚内当天的温度可以是，故①正确． 令， ． 或． 的图象开口向下， 蔬菜大棚内当天的温度不低于的时长为：小时，故③正确． 综上，正确的有①③，共2个． 故选：C． 4．（2025·天津河西·二模）某运动员踢出的足球的飞行路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为； ②足球被踢出时落地； ③足球被踢出时，距离地面的高度是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键，根据表格可得抛物线的对称轴为直线，过点，则设抛物线的解析式为，待定系数法求得解析式，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由题意，抛物线的对称轴为直线 ∴当和时， 设抛物线的解析式为，把代入得， ∴， ∴足球距离地面的最大高度为，故①错误， ∵时，， ∴足球被踢出时落地，故②正确， ∵时，，故③错误， ∴正确的有②，共1个 故选：B． 5．（2025·天津河北·二模）如图，某喷泉从喷头喷出的水珠，在空中走过一段曲线，落入水面，在这段曲线的各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足．有下列结论：①水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为；②水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为；③水珠在空中两次到达到竖直高度．其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把代入解析式求出的值可判定①；求出抛物线的顶点坐标可判定②；求出喷头的坐标可判定③，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为，故①正确； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为，故②正确； 当时，， ∴喷头的坐标为， ∴水珠在空中只有一次到达到竖直高度，故③错误； 综上，正确结论的个数是个， 故选：． 6．（2025·天津南开·二模）如图，正三角形的边长为1，是线段上一点，过作边的垂线，垂足为点． 有下列结论： ①当点在线段上时，的长可以为； ②当点为线段中点时，的面积达到最大值，最大值为； ③点在线段上有两个位置满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理、解直角三角形和二次函数的性质，根据等边三角形的性质的，①若的长为，则可求、、和的长，进一步求得，结合点D的位置判断AD是否在其范围内即可；②设的长度为x，则的长度为，，即的面积，结合二次函数的性质即可知当时，的面积有最大值为，故②错误；③若的面积为，求得x即可． 【详解】解：∵正三角形的边长为1， ∴， ①若的长为，则的长为，的长为，的长为，的长为， 那么，， ∵是线段上一点， ∴ ， ∵， ∴的长可以为，故①正确； ②设的长度为x，则的长度为， ∵， ∴， ∴的面积， ∵是线段上一点， ∴ ∴当时，的面积有最大值为：，故②错误； ③若的面积为，则，解得（负值已舍），故③错误； 故选：B． 7．（2025·天津滨海新区·二模）有一斜坡，斜坡上点处有一棵树，．如图建立平面直角坐标系，从点处抛出一个小球，恰好经过树的顶端，落地点为．小球距离水平地面的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①这棵树的高度； ②小球运动的最大高度为； ③小球运动时的高度低于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，相似三角形的判定和性质等知识，求出函数解析式是关键．求出函数解析式，延长交于点B，则轴于点E，作于点D，证明，则，得到，，求出，即可得到，即可判断①正确；由，，抛物线开口向下，即可判断②正确； 当时，，当时，，，即可判断③正确． 【详解】解：把代入得到， ， 解得，， ∴， 延长交于点B，则轴于点E，作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴点和点的横坐标为， 当时，， ∴， ∴ 故①正确； ∵，，抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为， 即小球运动的最大高度为； 故②正确； 当时，， 当时，， ∵ ∴小球运动时的高度低于运动时的高度． 故③正确； 综上可知，正确结论为①②③， 故选：D 8．（2025·天津河西·一模）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系是．有下列结论：①这名男生铅球推出的水平距离为；②铅球到达最高点时的高度为；③当铅球的高度为，推出的水平距离为或．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确． 【详解】解：将代入， 得， 解得，， ∴这名男生铅球推出的水平距离为， 故①正确，符合题意； ∵， ∴铅球到达最高点时的高度为， 故②错误，不符合题意； 当时，， 解得，， 故③错误，不符合题意； 故选：B． 9．（2025·天津红桥·二模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，由题意可得，，即得，可得，得到，即可判断①；设，则，可得，利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③，进而即可求解． 【详解】解：①∵四边形是矩形，分别为边的中点， ∴，， ∵篱笆的长度是， ∴， ∴， ∵的长不超过， ∴， ∴， ∴的长可以是，故①正确； ②设，则， ∴， 当时，解得，， ∵， ∴， ∴的长为，故②错误； ③∵， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当，即的长为时，矩形菜园的面积最大，故③正确； 综上，正确结论有个， 故选：． 10．（2025·天津西青·一模）一个小球从地面上一点处以一定的方向弹出，落在斜坡上的点处，小球的飞行路线可以用二次函数表示，斜坡所在直线可以用表示，它们的图象如图所示，当小球飞行的水平距离为时，其飞行高度达到最大值（不考虑空气阻力等因素）． 有下列结论： ①，； ②小球在斜坡上的降落点距地面的高度为； ③若小球飞行高度与飞行时间满足关系式，则． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； ①根据对称轴可得，当时，则，联立求解即可； ②联立，即可求解； ③将式子整理成，可得，即可求解； 【详解】解：①当小球飞行的水平距离为时，其飞行高度达到最大值， ； 因为对称轴为； 则； ， 解得：， 则； ②联立， 解得：； 小球在斜坡上的降落点距地面的高度为，不满足题意； ③若小球飞行高度与飞行时间满足关系式， ， 则， 则或（舍去）； 综上所述，正确的有①③，有两个； 故选：C 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数与实际问题 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 一次函数与实际问题（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：行程问题 必备知识 知识1 一次函数的实际问题 命题预测 考点二 二次函数与实际问题（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：二次函数与投球问题 题型二：二次函数与图形问题 必备知识 知识1 二次函数与实际问题 命题预测 命题透视 1. 命题形式：呈现 “新材料、新情境、新问题”的特点，以文字、图表、表格、函数图像为主要载体，聚焦核心素养考查，常融入家国情怀、社会热点（如经济发展、科技应用、民生工程），强调数学建模与应用意识。 2.命题内容 1）一次函数：侧重方案选择、费用优化、行程分析等，是高频考查的基础应用模型。 2）二次函数：以利润最大化、面积/建筑设计、抛物线型工程问题为核心，突出顶点最值与实际意义的结合。 3）分段函数：聚焦阶梯收费（水/电/税）、计费规则（快递、医保）等场景，考查分段讨论与实际问题的适配性。 4）反比例函数：以工程效率、物理规律（压强、杠杆）等为背景，考查反比例关系的实际应用。 5）综合趋势：函数与统计图表、几何图形、社会热点深度融合，强调从实际问题中抽象函数模型、分析函数性质、解决实际问题的能力，是中考命题的核心区域。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 一次函数实际问题（行程问题） T23：从函数图像中获取信息 T23：从函数图像中获取信息 T23：从函数图像中获取信息 T23：从函数图像中获取信息 T23：从函数图像中获取信息 一次函数实际问题 T12：二次函数与图形问题 T12：二次函数与投球问题 T12：二次函数与图形问题 命题预测 函数与实际问题的命题，将以社会热点、传统文化为背景，以文字、图像、表格为载体，重点考查一次函数方案选择、二次函数最值、分段函数计费、行程图像分析及反比例函数应用，突出数学建模与核心素养，压轴题更强调 “函数 + 几何 + 实际情境” 的综合能力。 考点一 一次函数与实际问题 题型一 行程问题 利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤： 1）观察图像，获取有效信息； 2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； 3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题. 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围. 1．（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 2．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为______； ③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 3．（2023·天津·中考真题）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，张强从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/ 1.2 ②填空：张强从体育场到文具店的速度为________； ③当时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当张强离开体育场时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/ 0.12 1.2 1.2 0.6 4．（2022·天津·中考真题）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓，超市离学生公寓，小琪从学生公寓出发，匀速步行了到阅览室；在阅览室停留后，匀速步行了到超市；在超市停留后，匀速骑行了返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离与离开学生公寓的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开学生公寓的时间/ 5 8 50 87 112 离学生公寓的距离/ 0.5 1.6 (2)填空： ①阅览室到超市的距离为___________； ②小琪从超市返回学生公寓的速度为___________； ③当小琪离学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为___________． (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 离开学生公寓的时间/ 5 8 50 87 112 离学生公寓的距离/ 0.5 0.8 1.2 1.6 2 5．（2021·天津·中考真题）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校．李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离与离开学校的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表 离开学校的时间/ 离学校的距离/ （Ⅱ）填空： ①书店到陈列馆的距离为________； ②李华在陈列馆参观学习的时间为_______h； ③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为______； ④当李华离学校的距离为时，他离开学校的时间为_______h． （Ⅲ）当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 知识1 一次函数的实际应用 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： 1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； 2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； 3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数解析式的常用方法 1）根据基本的量之间存在的关系列函数解析式； 2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 3.一次函数应用问题的求解思路： 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 1．（2025·天津南开·三模）某县在实施“村村通”工程中，决定在，两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从，两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队各自修筑道路的长度（单位：）与修筑时间（单位：天）之间的函数图象． 请根据相关信息，回答下列问题． (1)填表： 甲工程队修筑道路的时间（单位：天） 2 4 8 甲工程队修筑道路的长度（单位：） 360 (2)填空：①乙工程队提前离开了______（天）； ②乙工程队修筑道路的速度为______（m/天）； ③乙工程队一共修筑道路的长度为______（m）； ④该公路的总长度为______（m）； (3)当时，请直接写出甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式； (4)甲、乙工程队都施工期间，他们修筑道路的长度相差时，修筑道路的时间的值为多少？（直接写出结果） 甲工程队修筑道路的时间（单位：天） 2 4 8 甲工程队修筑道路的长度（单位：） 180 360 560 2．（2025·天津滨海新区·三模）在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升，9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)①填表： 乙智能探空气球的飞行时间/s 1 9 25 30 所在的位置距离地面的高度/m 100 ②______米/秒， ______秒； (2)当时，请直接写出乙智能探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系； (3)甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可） 乙智能探空气球的飞行时间/s 1 9 25 30 所在的位置距离地面的高度/m 15 55 100 100 考点二 二次函数与实际问题 题型一 二次函数与投球问题 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二 二次函数与图形问题 求最大面积类问题可以利用二次函数的图像和性质进行解答，也就是把图形面积的最值问题转化为二次函数的最值问题，依据图形的面积公式列出函数解析式. 在求解几何图形的最大面积时，应注意自变量的取值范围，一定要注意题目中隐含的每一个几何量的取值范围，一般有以下几种情况: 边长，周长，面积大于0，三角形中任意两边之和大于第三边. 1．（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2023·天津·中考真题）如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 知识1 二次函数与实际问题 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 1．（2025·天津和平·一模）如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论：①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12．其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·天津滨海新区·三模）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·天津红桥·三模）冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论： ①蔬菜大棚内当天的温度可以是； ②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为； ③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2025·天津河西·二模）某运动员踢出的足球的飞行路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为； ②足球被踢出时落地； ③足球被踢出时，距离地面的高度是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2025·天津河北·二模）如图，某喷泉从喷头喷出的水珠，在空中走过一段曲线，落入水面，在这段曲线的各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足．有下列结论：①水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为；②水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为；③水珠在空中两次到达到竖直高度．其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·天津南开·二模）如图，正三角形的边长为1，是线段上一点，过作边的垂线，垂足为点． 有下列结论： ①当点在线段上时，的长可以为； ②当点为线段中点时，的面积达到最大值，最大值为； ③点在线段上有两个位置满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2025·天津滨海新区·二模）有一斜坡，斜坡上点处有一棵树，．如图建立平面直角坐标系，从点处抛出一个小球，恰好经过树的顶端，落地点为．小球距离水平地面的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①这棵树的高度； ②小球运动的最大高度为； ③小球运动时的高度低于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2025·天津河西·一模）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系是．有下列结论：①这名男生铅球推出的水平距离为；②铅球到达最高点时的高度为；③当铅球的高度为，推出的水平距离为或．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2025·天津红桥·二模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·天津西青·一模）一个小球从地面上一点处以一定的方向弹出，落在斜坡上的点处，小球的飞行路线可以用二次函数表示，斜坡所在直线可以用表示，它们的图象如图所示，当小球飞行的水平距离为时，其飞行高度达到最大值（不考虑空气阻力等因素）． 有下列结论： ①，； ②小球在斜坡上的降落点距地面的高度为； ③若小球飞行高度与飞行时间满足关系式，则． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $