精品解析：新疆乌鲁木齐第十三中学等校2025-2026学年下学期九年级第一次模拟测试 数 学（问卷）

2025-2026-2初三年级第一次模拟测试 数学（问卷） 注意事项： 1．本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．考试时不能使用计算器． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、座位号填写在指定的位置上． 3．选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在问卷上．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚． 4．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效．在草稿纸、问卷上答题无效． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分）每题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将选项的代号字母填在答卷的相应位置处． 1. 如图，数轴上点P表示的数的相反数是（ ） A. B. -1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求一个数的相反数，数轴，根据数轴得到点P表示的数为，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：点P表示的数为， ∴数轴上点P表示的数的相反数是， 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；B． 3. 如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行判断即可． 【详解】解：由题意，路程缩短的原因是两点之间，线段最短； 故选C． 4. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意； 故选D． 5. 从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（ ）． A. 3个都是正品 B. 至少有1个是次品 C. 3个都是次品 D. 至少有1个是正品 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，掌握好必然事件的概念是解题关键． 根据必然事件的定义，事件必须一定发生.．由于次品只有2个，抽取3个产品时，无论如何抽取，都至少包含1个正品. 【详解】解：∵次品总数为2个， ∴抽取3个产品时，最多只能抽取到2个次品， ∴至少有一个正品， ∴ “至少有1个是正品”是必然事件；选项A和B是随机事件，选项C是不可能事件． 故选：D． 6. 当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 【详解】解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 8. 甲、乙两车分别从两地同时出发，甲车匀速前往地，乙车匀速前往地，到达地立即以另一速度按原路匀速返回到地；设甲、乙两车距地的路程为（千米），乙车行驶的时间为（时），与之间的图象如图所示．则甲车行驶途中，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间为（ ） A. 小时或小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时或小时 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图象、一元一次方程的应用，理解题意，能从图象中获取相关联信息，行程问题的数量关系的运用是解答的关键． 根据题意和函数图象中的数据，可以计算出乙车从A地到达B地的速度，进而可求得乙车到达B地的时间；然后可以先甲车的速度，然后即可计算出乙车到达B地时甲车距A地的路程；根据题意可知，乙车返回时的速度为（千米/时），甲车行驶的时间为小时，设乙车行驶的时间为小时，存在三种情况：乙车返回前，甲乙相遇之前，甲、乙两车相距40千米；乙车返回前，甲乙相遇之后，甲、乙两车相距40千米： 乙车返回后，甲、乙两车相距40千米；然后即可列出相应的方程，再求解即可． 【详解】解：由图象可得，乙车从A地到B地的速度为：（千米/时）， 则乙车到达B地的时间为：（小时）， ∴， 由图象可得，甲车的速度为：（千米/时）， 则乙车到达B地时甲车距A地的路程是（千米）， 乙车返回时的速度为（千米/时）， 甲车行驶的时间为小时， 设乙车行驶的时间为小时， 乙车返回前，甲乙相遇之前，甲、乙两车相距40千米： ， 解得； 乙车返回前，甲乙相遇之后，甲、乙两车相距40千米：， 解得； 乙车返回后，甲、乙两车相距40千米，， 解得：，不符合题意舍去， 综上，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间为1.3小时或1.7小时， 故选：A． 9. 已知抛物线（，，是常数且）的自变量与函数的部分对应值如下表： 其中．以下结论：；若抛物线经过点，则；关于的方程有两个不相等的实数根；；当时，的最小值是，则或．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性可知抛物线的对称轴为，可得：，又因为，可知抛物线开口向上，所以，则有，由表格可知，当时，，所以可知；因为开口向上的抛物线离对称轴越远的点对应的值越大，可得：；整理方程，可得：，因为抛物线有最小值且，所以当时，，又因为，所以当时，，所以方程有个不相等的实数根；当时，方程可化为，此时方程有个不相等的实数根；当时，，此时方程无实数根；因为当时，，当时，，解得：，，所以可得：，又因为，所以可得：，根据和，可得不等式，从而可得：，根据不等式的性质可得：；根据抛物线的对称性可知，若要的最小值是，则有或，从而可得：当的最小值是，时或. 【详解】解：当和时，均有， 点和点关于对称轴对称， 抛物线的对称轴为， 抛物线的对称轴为， ， 抛物线的解析式为， 又当时，， 由表格可知当时，， ， ， ， 抛物线的开口向上， ，，， ， 故正确； 由可知抛物线开口向上，对称轴为， ，， ， 开口向上的抛物线离对称轴越远的点对应的值越大， ，故正确； 抛物线开口向上，对称轴为， 与关于对称轴对称， ， 由可知， ， ， 当时，， 把方程，整理得：， 有个根； 当时，方程为， 方程有个根； 当时，， 则有， 方程无实根，故错误； 时，， 当时，， 当时，， 可得，， ，， ， ， ， 解得：， ，故正确； 当时，， 此时抛物线过点，， 抛物线与交于点，， 时最小值为， 或，与结论不符合，故错误． 综上所述，正确结论为，共个． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、二次方程根的个数判断、不等式的应用，解题的关键是通过表格信息确定抛物线的对称轴、开口方向及系数关系，再结合函数性质逐一分析结论． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）把答案直接填在答题卡的相应位置处． 10. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．该题直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破1.64亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将1.64亿用科学记数法表示应为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：亿. 12. 把英文单词“”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式，解题时要熟练掌握并能根据题意画出树状图是关键． 依据题意，画出树状图，从而可得随机抽取2张共有30种等可能性，其中恰好是字母相同的两张卡片有4种，进而可以计算概率求解． 【详解】根据题意，画出树状图如下： 从中随机抽取2张共有30种等可能性，其中恰好是字母相同的两张卡片有4种， 从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡片的概率为． 故答案为：． 13. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则弧的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算和圆周角定理．根据圆周角的性质，计算出弧所对的圆心角度数，按照弧长公式求出弧长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵． ∴， ∴， ∴弧的长为． 故答案为：． 14. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在正方形和正方形中，，将正方形绕点A旋转，连接，当最大时，则的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理，切线的性质等，三角形相似的判定和性质等知识点，确定的值最大时的位置是解题的关键． 由题意可知，点G的运动轨迹是以A为圆心，为半径的圆，当与相切时，的值最大；当点G在右侧时，如图，过点G作交的延长线于点M，过点G作于点N可得，则可得，再利用勾股定理即可；点G在左侧时，如图，过点G作于点M，过点G作于点N，同理可解． 【详解】解：由题意可知，点G的运动轨迹是以A为圆心，为半径的圆，当与相切时，的值最大； 如图：当点G在右侧时，如图，过点G作交的延长线于点M，过点G作于点N，易证四边形为矩形， ∵在正方形ABCD中， ∴． ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点G在左侧时，如图，过点G作于点M，过点G作于点N， ∵四边形是正方形， ∴四边形为矩形， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 则答案为：或． 二、解答题（本大题共6小题，共90分）解答时应在答题卡的相应位置处写出文字说明、证明过程或演算过程． 16. 计算、化简求值 （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先利用负整数次幂、立方根、绝对值、特殊角的三角函数值化简，然后再运算即可； （2）先按照整式的加减运算法则化简，然后将代入求值即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ； 当时，原式． 17. 解答下列问题 （1）求满足不等式组的所有整数解的和． （2）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． ①以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； ②将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心，并写出点的坐标． 【答案】（1）5 （2）①如图，即为所求； ②如图，即为所求，与是关于点为位似中心的位似图形， 点． 【解析】 【分析】（1）先求出不等式组的解集，进而确定其整数解，求和即可； （2）①根据位似图形的性质，画出即可；②根据平移规则画出，再进行判断即可． 【小问1详解】 解：， 由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为； ∴不等式组的整数解为：，和为； 【小问2详解】 解：①略 ②略 18. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴ （2） 选择条件①，四边形为矩形， 证明：∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 选择条件②，四边形为菱形， 证明：∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形和矩形的判定，熟练掌握各四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行得到，，再由，即可由证明全等； （2）先证明四边形为平行四边形，再根据选择的条件结合菱形和矩形判定证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备10队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期队员 2月10日 2月21日 3月5日 3月14日 3月25日 4月7日 4月17日 4月27日 5月8日 5月20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： （1）分别写出：甲的中位数是__________；乙的中位数是__________． （2）根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； （3）计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； （4）若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 【答案】（1）84， （2）甲、乙两人平均水平相当，乙的成绩比甲更稳定 （3）近五年获奖分数线平均数为，选甲更合适 （4）选甲更合适， ， ∵甲的成绩超过的频数有4个，乙的成绩超过的频数有1个， ∴选甲更合适． 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均数和方差对甲、乙的成绩进行评价即可； （3）先求出五年获奖的平均数，然后根据甲、乙十次测试成绩达到平均成绩的频数多少判断即可； （4）根据甲乙成绩的变化趋势分析即可． 【小问1详解】 解：甲的成绩从小到大排列为73，75，80，81，83，85，90，92，95，96，则中位数为； 乙的成绩从小到大排列为82，82，83，83，84，85，86，86，87，92，则中位数为． 【小问2详解】 解：∵甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是， ∴，， ∴甲、乙两人平均水平相当，乙的成绩比甲更稳定． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：选甲更合适．理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适． 20. 随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】（1）甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 （2）购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【解析】 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． 【小问2详解】 解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 21. 为建设美好社区，某社区在文化活动室墙外安装遮阳篷（如图1所示），便于社区居民休憩，如图2，在侧面示意图中，遮阳篷长为6米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为5米（图中所有的点都在同一平面内）．（参考数据：） （1）求遮阳篷边缘点到墙体的距离； （2）当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长． 【答案】（1）遮阳篷边缘点到墙体的距离为米； （2）阴影的长为米． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度． （1）在中，根据已知数据及的余弦值即可解答； （2）首先，在中，根据，可得，然后，根据，证得四边形是矩形，可得，，接着，在中，根据已知数据及的正弦值可求得的长，最后，可求得的长． 【小问1详解】 解：在中，米，，， ∴（米）． 即遮阳篷边缘点B到墙体的距离为米； 【小问2详解】 解：如图2，过点B作于点G， ∴，， ∴， 在中，米，，， ∴（米）， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵米，米， ∴（米），米， ∴（米）， 即阴影的长为米． 22. 如图，为外接圆的直径，点C为线段上一点（不与D，O重合），点B为的延长线上一点，连接并延长至点M，满足． （1）求证：平分； （2）证明：； （3）若射线与相切于点A，，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵为的直径， ∴，即，， ∵， ∴， ∴，即平分； （2） 证明：连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理求得，再利用，求得，据此即可证明平分； （2）利用半径相等求得，利用三角形的外角性质可证明，推出，可证明，等量代换即可证明结论成立； （3）利用切线的性质结合，证明，设，则，利用，列式计算求得，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵射线与相切于点A， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴设，则， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识．作出合适的辅助线是解题的关键． 23. 综合与实践 如图1，在正方形中，，在上取一点G，使得，以为边作正方形，连接，． 【问题发现】 （1）的值是_______，直线，所夹锐角的度数是________． 【拓展探究】 （2）如图2，正方形绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立?若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在旋转过程中，当点G到直线的距离为时，请直接写出的长． 【答案】（1），； （2）结论仍然成立，理由如下：如图2，连接，连接交于O，延长交于H， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， 而， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴结论仍然成立； （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，连接交于O，延长交于H，通过证明，可得，，即可求解； （2）通过证明，可得，，，，即可求解； （3）分两种情况讨论，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，连接，连接交于O，延长交于H， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：，； （2）略 （3）当点在右侧，过点G作交延长线于点，则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在左侧，过点于点，则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，证明三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-2初三年级第一次模拟测试 数学（问卷） 注意事项： 1．本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．考试时不能使用计算器． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、座位号填写在指定的位置上． 3．选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在问卷上．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚． 4．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效．在草稿纸、问卷上答题无效． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分）每题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将选项的代号字母填在答卷的相应位置处． 1. 如图，数轴上点P表示的数的相反数是（ ） A. B. -1 C. 0 D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（ ）． A. 3个都是正品 B. 至少有1个是次品 C. 3个都是次品 D. 至少有1个是正品 6. 当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 8. 甲、乙两车分别从两地同时出发，甲车匀速前往地，乙车匀速前往地，到达地立即以另一速度按原路匀速返回到地；设甲、乙两车距地的路程为（千米），乙车行驶的时间为（时），与之间的图象如图所示．则甲车行驶途中，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间为（ ） A. 小时或小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时或小时 9. 已知抛物线（，，是常数且）的自变量与函数的部分对应值如下表： 其中．以下结论：；若抛物线经过点，则；关于的方程有两个不相等的实数根；；当时，的最小值是，则或．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）把答案直接填在答题卡的相应位置处． 10. 分解因式：____________． 11. 截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破1.64亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将1.64亿用科学记数法表示应为__________． 12. 把英文单词“”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡的概率是_______． 13. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则弧的长为_______． 14. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 15. 如图，在正方形和正方形中，，将正方形绕点A旋转，连接，当最大时，则的长为________． 二、解答题（本大题共6小题，共90分）解答时应在答题卡的相应位置处写出文字说明、证明过程或演算过程． 16. 计算、化简求值 （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中 17. 解答下列问题 （1）求满足不等式组的所有整数解的和． （2）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． ①以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； ②将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心，并写出点的坐标． 18. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 19. 甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备10队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期队员 2月10日 2月21日 3月5日 3月14日 3月25日 4月7日 4月17日 4月27日 5月8日 5月20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： （1）分别写出：甲的中位数是__________；乙的中位数是__________． （2）根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； （3）计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； （4）若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 20. 随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 21. 为建设美好社区，某社区在文化活动室墙外安装遮阳篷（如图1所示），便于社区居民休憩，如图2，在侧面示意图中，遮阳篷长为6米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为5米（图中所有的点都在同一平面内）．（参考数据：） （1）求遮阳篷边缘点到墙体的距离； （2）当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长． 22. 如图，为外接圆的直径，点C为线段上一点（不与D，O重合），点B为的延长线上一点，连接并延长至点M，满足． （1）求证：平分； （2）证明：； （3）若射线与相切于点A，，，求的值． 23. 综合与实践 如图1，在正方形中，，在上取一点G，使得，以为边作正方形，连接，． 【问题发现】 （1）的值是_______，直线，所夹锐角的度数是________． 【拓展探究】 （2）如图2，正方形绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立?若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在旋转过程中，当点G到直线的距离为时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $