精品解析：河北文安县第一中学2026届高三一模数学试题

数学试题 本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， 所以. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数运算法则及模长公式计算即可得. 【详解】由，则， 则. 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可． 【详解】解：，定义域为， ，解得或， 过和，故CD不符合题意； 又时，， 所以A不符合题意，B符合题意． 4. 已知向量，，向量在上的投影向量的坐标为，在上的投影向量的坐标为，则（ ） A. 20 B. C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，借助投影向量定义计算可得，，解出即可得，再利用模长定义计算即可得. 【详解】设，由向量在上的投影向量的坐标为， 则， 故，即； 由在上的投影向量的坐标为， 则， 故，即； 即有，解得，则， 则. 5. 在中，其所对的边分别为，为边上靠近点A的三等分点，，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，利用等腰三角形的性质得到，再由条件求出，在中建立等式，求解. 【详解】 如图，过点作， 因为，所以是中点，且 又因为为边上靠近点A的三等分点，所以， 又因为，所以， 则，. 又因为，联立， 因为，所以，解得 在中，由余弦定理得 ， 解得，所以 6. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以. 所以. 由，得. 所以. 7. 如图，圆柱（，O分别为上、下底面的圆心）的轴截面是边长为2的正方形，E是下底面圆周上不同于A，D的动点，则点A到平面的最大距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点E作AD的垂线， 垂足为F，求证平面，接着过点F作BC的垂线，垂足为G，连接EG，求证， 设，，结合 求出点A到平面的距离即可分析求解. 【详解】如图，过点E作AD的垂线， 垂足为F，连接AE， 由题意知平面平面，平面，故平面， 过点F作BC的垂线，垂足为G，则，连接EG， 又，平面， 所以平面，所以由得平面， 又平面，所以即， 连接 OE， 设，其中，则由题， 又平面，平面，所以， 所以， 连接 AO，设点A到平面的距离为d， 则由 得即， 所以，所以， 显然当即时点A到平面的距离d取得最大值为. 8. 已知定义域均为R的函数和满足，，函数是偶函数，且，则（ ） A. 16 B. 18 C. 14 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法及偶函数的性质求解. 【详解】由，得，又函数是偶函数， 则，又， 因此，即， 于是，，则， 由及，得，， 由及，得， 则，而，因此， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，且，则的最小值为 D. 若，，且，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】，，又，，故A正确， 令，，故B错误， ，即，，又，，， ，当且仅当时，即等号成立，故C正确， ， 又，，则， 又，，当且仅当，即时等号成立，故D正确. 10. 设函数则下列结论正确的是（ ） A. 至少有一个零点 B. 的零点都可以利用二分法求解 C. 若，则有两个零点 D. 若是的极值点，且存在使得则 【答案】AD 【解析】 【详解】因为，， 当时，由可得至少有两个零点， 当时，由可得至少有一个零点， 至少有一个零点，故A正确， 由函数，得，令， 当，即时，有两个变号零点，分别记作，则在和上单调递增，在上单调递减， 若或，若的某个零点恰好是极值点，则函数在该零点附近不变号，不满足二分法的使用条件，故B错误， 若，则函数有三个零点，故C错误， 若是的极值点，则，故， 由得 ， ，，故D正确. 11. 已知为坐标原点，是椭圆上的两点，且，，垂足为，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. C. D. 面积的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出椭圆离心率判断A；设，利用椭圆方程及同角公式，结合三角形面积公式求解判断BCD. 【详解】对于A，椭圆，即的离心率​，A错误； 对于B，令​，设，由，得， 则，即，同理​，​ 由，得， 当且仅当时取等号，因此，B正确； 对于C，由，得，则 ，C正确； 对于D：的面积 ​， 当且仅当时取等号，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据2，5，7，11，14，16，20，25的第80百分位数为________． 【答案】20 【解析】 【详解】样本数据有8个数，由， 得样本数据的第80百分位数为第7个数20. 13. 已知抛物线的焦点为F，过点的直线与该抛物线交于B，C两点，的面积为1，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据的面积求出点的坐标，从而可求出直线的方程，再与抛物线方程联立，根据韦达定理结合抛物线的焦半径公式即可得解. 【详解】由题意， 不妨设， 由的面积为1，得， 即，所以， 则，所以，即， 所以直线的方程为，即， 联立，消得， 所以， 所以. 14. 已知函数在区间上的最大值为，其中，则函数的值域为________． 【答案】 【解析】 【分析】应用区间长度分类讨论结合余弦函数性质计算求解值域即可. 【详解】因为，所以，， 1)当时，即时，， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，此时； 2)当，即时，函数在区间上单调递减，此时； 3)当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当，即时，； 当，即时，； 4)当，即时，函数在区间上单调递增，此时； 5)当时，即时，， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，此时； 所以； 当时， ， 当时，，， 当时，，， 所以函数的值域为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，分别是双曲线的上、下焦点，双曲线的渐近线方程是，且到双曲线的渐近线的距离是． （1）求双曲线的方程； （2）若过的直线与交于两点，其中在第一象限，关于原点对称的点为，且，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的渐近线设出双曲线方程，再结合点到直线距离公式求解. （2）设出直线的方程，利用韦达定理及数量积的坐标表示列式求解. 【小问1详解】 双曲线的渐近线方程是，即， 设双曲线的方程为，即，点， 由到双曲线的渐近线的距离是，得，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）得，设直线的方程为，， 则， 由消去得，， 则，， ， 而，则 ，则， 所以直线的方程为. 16. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）先对进行求导，再利用导数和单调性的关系求解即可； （2）利用（1）可知单调性分类讨论，再求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 当时，，在上单调递减， 当时，令，，是增函数， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增. 【小问2详解】 当时，由（1）知在上单调递减，不合题意， 当时，恒成立， 当时，由（1）知在上单调递减；在上单调递增， ， 即，解得， 综上，实数m的取值范围为. 17. 某商场推出买商品送购物金（单位：元）活动，顾客在该商场购买一定金额的商品即可参与一次活动．活动方案如下：在一个不透明的箱子中有4个球（除编号外，其他均相同），编号分别为30，30，60，100，每个球被抽中的概率相等，顾客从箱子中随机抽取一个球，若编号为a，则获得2a元购物金． （1）求顾客获得的购物金X的数学期望． （2）若原方案为方案A，该商场又策划了方案B：顾客从原箱子中一次随机抽取两个球，若编号分别为a，b，则获得元购物金． （i）顾客可以从这两个方案中任选一个，若以顾客获得的购物金的数学期望为依据，判断顾客应选择哪个方案? （ii）已知某天有3600位顾客选择方案B，求这3600位顾客中获得购物金超过50元的人数的方差． 【答案】（1）110元； （2）（i）选择方案；（ii）500. 【解析】 【分析】（1）求出的所有可能值及各个值对应的概率，进而求出数学期望. （2）（i）求出选择方案的购物金的数学期望，再比较大小即可；（ii）由（i）求出购物金超过50元的概率，再利用二项分布的方差公式求解. 【小问1详解】 购物金X的可能值为， ， 所以顾客获得的购物金X的数学期望（元）. 【小问2详解】 （i）由对称性不妨令，， 购物金的可能值为， ， 则（元），而， 所以顾客应选择方案. （ii）顾客选择方案B，购物金超过50元的概率， 设获得购物金超过50元的人数为，则， 所以这3600位顾客中获得购物金超过50元的人数的方差. 18. 如图，在正四棱台中，，且． （1）若． （i）求证：平面； （ii）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． （2）若正四棱台的8个顶点均在球M的表面上，求球M体积的最小值． 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）； （2）. 【解析】 【分析】1）（i）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证；（ii）求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法及线面角的向量法求解. （2）由（1）中坐标系，设出球心坐标，利用空间两点间距离公式列式，借助基本不等式求出最小球半径即可. 【小问1详解】 （i）在正四棱台中，连接，过作平面， 则直线必过正方形中心，设正四棱台的高为， 则， ，因此，即，而， 则，又平面，平面， 所以平面. （ii）由（i）得，设平面的法向量， 则，取，得，而平面的法向量， 由二面角为，得， 解得，，又，设平面的法向量， 则，取，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 由正四棱台的8个顶点均在球M的表面上，得球心在直线上， 设，正方形的外接圆半径为，正方形外接圆半径， 点，设球的半径为，则，即， 于是， ，当且仅当，即时取等号，满足， 因此当正四棱台外接球的球心为正方形的中心时，球半径取最小值， 所以球M体积的最小值为. 19. 若数列满足对任意的，都有，则称数列为伪等比数列． （1）若数列为伪等比数列，，求的所有可能取值； （2）证明：对任意的，存在以及一个首项为1的伪等比数列，使得数列的前n项和； （3）若数列为伪等比数列，数列的前n项积，当时，证明：或，． 【答案】（1） （2）证明见详解 （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据定义，分情况讨论取值，求； （2）构造数列，计算前项和，证明存在满足条件的数列； （3）由前项积得，结合定义分析即可. 【小问1详解】 由题意得，，则或；或或；或或或， 的所有可能取值为. 【小问2详解】 当时，，可取数列为，此时， 随后再依次在原数列的最后一项之后增加以下各组数据（每组三项）：， 则当时， ， 当时，也适合上式，故， 所以对任意的，总存在以及一个首项为1的伪等比数列为，使得数列的前n项和. 【小问3详解】 由集合中元素的互异性得， 由题意得从到后一项比前一项的值为或， 设出现了次，则出现了次，从而，其中， 则 ， 从而，即， 整理得，即， 是的整数倍，或， 得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 10 D. 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，向量在上的投影向量的坐标为，在上的投影向量的坐标为，则（ ） A. 20 B. C. 10 D. 5. 在中，其所对的边分别为，为边上靠近点A的三等分点，，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 6. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆柱（，O分别为上、下底面的圆心）的轴截面是边长为2的正方形，E是下底面圆周上不同于A，D的动点，则点A到平面的最大距离是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域均为R的函数和满足，，函数是偶函数，且，则（ ） A. 16 B. 18 C. 14 D. 20 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，且，则的最小值为 D. 若，，且，则 10. 设函数则下列结论正确的是（ ） A. 至少有一个零点 B. 的零点都可以利用二分法求解 C. 若，则有两个零点 D. 若是的极值点，且存在使得则 11. 已知为坐标原点，是椭圆上的两点，且，，垂足为，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. C. D. 面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据2，5，7，11，14，16，20，25的第80百分位数为________． 13. 已知抛物线的焦点为F，过点的直线与该抛物线交于B，C两点，的面积为1，则________． 14. 已知函数在区间上的最大值为，其中，则函数的值域为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，分别是双曲线的上、下焦点，双曲线的渐近线方程是，且到双曲线的渐近线的距离是． （1）求双曲线的方程； （2）若过的直线与交于两点，其中在第一象限，关于原点对称的点为，且，求直线的方程． 16. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 17. 某商场推出买商品送购物金（单位：元）活动，顾客在该商场购买一定金额的商品即可参与一次活动．活动方案如下：在一个不透明的箱子中有4个球（除编号外，其他均相同），编号分别为30，30，60，100，每个球被抽中的概率相等，顾客从箱子中随机抽取一个球，若编号为a，则获得2a元购物金． （1）求顾客获得的购物金X的数学期望． （2）若原方案为方案A，该商场又策划了方案B：顾客从原箱子中一次随机抽取两个球，若编号分别为a，b，则获得元购物金． （i）顾客可以从这两个方案中任选一个，若以顾客获得的购物金的数学期望为依据，判断顾客应选择哪个方案? （ii）已知某天有3600位顾客选择方案B，求这3600位顾客中获得购物金超过50元的人数的方差． 18. 如图，在正四棱台中，，且． （1）若． （i）求证：平面； （ii）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． （2）若正四棱台的8个顶点均在球M的表面上，求球M体积的最小值． 19. 若数列满足对任意的，都有，则称数列为伪等比数列． （1）若数列为伪等比数列，，求的所有可能取值； （2）证明：对任意的，存在以及一个首项为1的伪等比数列，使得数列的前n项和； （3）若数列为伪等比数列，数列的前n项积，当时，证明：或，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $