精品解析：河北黄骅中学等十校2026届高三下学期一模数学试题

绝密★启用前 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，， 根据补集运算，可得. 2. 在平面直角坐标系中曲线的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】是一个圆的标准方程， 其中圆心坐标为，半径， 圆的周长为． 3. 等比数列中，，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设等比数列的公比为 ， ，， ，即， ，， . 4. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由， . 5. 已知每门大炮击中某目标的概率是0.4，现在n门大炮向此目标各射击一次．如果此目标至少被击中一次的概率超过92%，至少需要大炮的门数是（ ）（参考数据：，） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】可先求出目标一次都不被击中的概率，再根据“目标至少被击中一次的概率超过”列出不等式，最后通过对数运算求解的取值范围，进而确定的最小值. 【详解】已知每门大炮击中目标的概率是0.4，那么每门大炮不击中目标的概率为. 因为门大炮射击是相互独立事件，所以门大炮都不击中目标的概率为.  “目标至少被击中一次”的对立事件是“目标一次都不被击中”，根据对立事件概率之和为，可得目标至少被击中一次的概率为.  已知目标至少被击中一次的概率超过，则可列出不等式，移项可得. 两边同时取以10为底的对数，根据对数函数的单调性可得. 因为，. 将，代入中，可得，解得. 因为为大炮的门数，应为正整数，所以的最小值为.  至少需要大炮的门数是. 故选：A.. 6. 我国通信技术飞速发展，部分领域全球领先．某卫星信号测试中，专家将通信信号抽象为向量，接收端参考信号抽象为向量，定义信号匹配度函数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可得 ， 令，，得，，， 令，得，令，得或， 在和上单调递减，在上单调递增， 又，，，， 所以的最大值为，即的最大值为． 7. 已知函数，则函数的单调递增区间为（ ） A. ， B. ，， C. ， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】求导后可得函数的单调区间，再求出函数定义域及其奇偶性，设，则，求出时的单调性即可得解. 【详解】，则当或时，，单调递减区间为， 当时，，单调递增， 对，有且， 则， 又，故为偶函数，故只需分析时的单调性， 令，则， 当时，，当时，，，故， 在上单调递减，则单调递增； 当时，，，故， 在上单调递减，上单调递增， 则当时，单调递减，时，单调递增； 故当时，单调递增区间为、， 单调递减区间为， 由偶函数性质可知，当时，单调递增区间为， 故函数的单调递增区间为，，. 8. 已知抛物线的焦点为，过点作斜率为的直线交抛物线于第一象限内的， 两点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合相似三角形的性质及中点坐标公式即可求解． 【详解】由抛物线方程可知，点为抛物线准线与轴交点坐标， 过点作准线的垂线，垂足为，如图所示， 则， 由抛物线定义可知，， 又，所以， 所以，即点为线段中点， 设点，则点为， 又点在抛物线上， 所以，即，解得，或（舍）， 所以点，则． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 定义在上的奇函数周期为2，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，因为函数周期为2，所以， 所以，故A正确； 对于B，若，又函数周期为2，则， 所以，所以函数为偶函数，与函数为上的奇函数矛盾，故B错误； 对于C，因为函数为上的奇函数，所以， 所以，所以，故C正确； 对于D，若，又函数周期为2， 所以，所以， 所以对任意，都有， 如为上的奇函数，周期为2，但不满足恒为0，故D错误. 10. 已知数列满足，，且，，则（ ） A. 一定不是等差数列 B. 一定不是递减数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】由题知，， 若， 根据等差中项的性质，可得是等差数列，A错； 由，得， 则是非递减数列， 又时，，得， 若是递减数列，则，与矛盾， 所以一定不是递减数列，BC正确； 由是非递减数列，得， 即， 因为，所以，即，D正确. 11. 空间直角坐标系中，满足条件的点构成一几何体，则该几何体（ ） A. 为正多面体 B. 体积为 C. 外接球体积为 D. 内切球表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意确定构成的几何体为三棱锥即可判断A；利用体积公式求其体积即可判断B；三棱锥外接球即为正方体外接球，半径，得到体积即可判断C，利用等体积法求其内切球半径，得到表面积即可判断D． 【详解】解：如图，在棱长为1的正方体中， 则满足条件的点构成一几何体为三棱锥， 四个面为直角三角形，不是正多面体，故A错误； ，故B正确； 三棱锥的外接球为正方体的外接球，半径， 体积，故C正确； 三棱锥的表面积 ， 所以三棱锥的内切球半径， 表面积，故D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知二项式展开式中的系数为40，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式的通项列出方程求解即可． 【详解】二项式的通项为， 因为二项式展开式中的系数为40， 所以令，解得，即，解得． 13. 函数的图象本质是双曲线，那么该双曲线的离心率是______，焦距是______． 【答案】 ①. ②. 8 【解析】 【分析】双曲线的两条渐近线分别为，，双曲线实轴所在直线为两条渐近线夹角的角平分线，则利用渐近线与实轴的夹角可得出，从而可得离心率，联立原函数与实轴方程，求出两个顶点坐标，然后计算得出，结合离心率求出焦距. 【详解】双曲线的一条渐近线为，倾斜角为，另一条渐近线为，倾斜角为，则两条渐近线的夹角为， 双曲线实轴所在直线为两条渐近线夹角的角平分线，故倾斜角为，即， 设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，渐近线与实轴的夹角为， 则，则双曲线离心率； 联立，解得，或， 所以双曲线的顶点为，， 则，即， 则，即焦距为. 14. 设定义在上的函数有三个不同的零点，，，且，则的值是______． 【答案】16 【解析】 【分析】将函数有三个不同的零点转化为方程有三个不同的实根，可得，令，整理得关于的一元二次方程，设方程的两根为，，由韦达定理得，再由导数研究的单调性和最值，结合方程只有两个实数根，可知，即，，进而可求目标式的值. 【详解】由有三个不同的零点， 有三个不同的实根， 即有三个不同的实根， 令，则， 整理得，设方程的两根为，，所以， 且， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以当时，有最小值，当时，，故， 当时，，故，当时，， 因为方程只有两个根，，且，则， 所以必有一个解，必有两个解，且， 即，， 故. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角， ， 的对边分别为，，，且． （1）证明：； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1）证明如下： ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，； （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式及诱导公式，利用正余弦定理的变形进行角化边，进行化简整理得解； （2）利用三角形面积公式和同角关系式及基本不等式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， ， 当且仅当时，即时，等号成立， . 16. 如图，直四棱柱的底面为直角梯形，，，，三棱锥的体积是四棱柱体积的． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为底面为直角梯形，所以， ，所以， 所以，又， 又因为三棱锥的体积是四棱柱体积的， 所以，解得. 又，， 所以 又，， 所以，所以. 又由直四棱柱，可得平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由已知体积关系可求得，进而可得，结合直棱柱可证结论成立； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法可求得平面与平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， ，令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知函数． （1）求函数的最大值； （2）已知为数列的前项和，证明：． 【答案】（1） （2）证明如下： 由（1）知，当时，，即， 令，则， 即， 所以， 即， 即，得证. 【解析】 【分析】（1）先求导，再根据函数单调性确定函数的最大值； （2）根据（1）建立不等式，再通过累加法可证明不等式. 【小问1详解】 因为，其定义域为，又，且， 令，可得， 令，解得，令，解得， 故在单调递增，在单调递减. 则，即函数的最大值为 【小问2详解】 略 18. 已知椭圆 的中心在原点，坐标轴为对称轴，其中一个焦点为，离心率为．直线 ， 与椭圆 交于不同的两点 ， ，且直线 ， 的斜率之积为． （1）证明：为定值； （2）以椭圆 上一动点为圆心作与直线 ， 均相切的圆，探究圆的面积是否为定值，若是定值，求出圆的面积，若不是定值，说明理由； （3）求四边形面积的最大值． 【答案】（1）证明：由已知：，，， 所以，，故椭圆E的方程为. 设直线OA，OB的方程分别为，， 联立，解得， ， 所以 ， 因为，所以， 所以 故是定值，且为3． （2）圆M的面积是定值，定值为 （3）1 【解析】 【分析】（1）先由条件求出椭圆的标准方程，通过直线OA，OB的方程与椭圆方程联立得出的关系式，计算后由关系化简即证得定值. （2）设出圆心M的坐标，代入椭圆方程，通过圆心M到切线的距离公式以及的值即可得出圆的半径为定值，从而求得圆的面积. （3）将四边形的面积看成和面积之和，再根据基本不等式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，半径为r，，则，即. 设过原点的圆M的切线方程为 ， 所以圆心到切线的距离为，整理得， 因为直线OA，OB是圆M的两条切线，所以是方程的两个根， 所以，所以， 所以圆M的面积为定值. 【小问3详解】 由（2）可知，，所以四边形OAMB的面积为 ， 因为，所以， 当且仅当时取等号，所以， 故四边形OAMB面积的最大值为1. 【点睛】 19. 单循环赛制是指所有参赛队伍（或选手）相互之间都轮流进行比赛，每两支队伍之间只比赛一次，最后按照各队在全部比赛中的得分、胜负场次等成绩指标来排定名次．现有（）支球队进行单循环赛，规定每场比赛获胜队得1分，负的队得0分，且无平局，最后按各队在全部比赛中的积分从高到低排列名次，积分最高者为冠军．并将第支球队的胜场数记为，负场数记为，（）． （1）当时，求单循环赛的总比赛场数，并计算的值； （2）证明：； （3）现支球队分为甲、乙两组，其中甲组球队比乙组球队多5支，甲，乙两组球队混合在一起进行单循环赛，若甲组球队总得分是乙组球队总得分的7倍，请判断冠军是甲组中的球队，还是乙组中的球队，并说明理由． 【答案】（1）总比赛场数为15场， （2）根据单循环赛的规则，每一队都要和对方比赛一场，所以 又因为在一场比赛中的两队一定是一胜一负，故全部比赛结束后胜的总场次数和负的总场次数相等， 得，即. 又. 所以. 又因为，所以 所以. （3）冠军是甲组中的球队，理由如下： 设乙组有球队支，则甲组有球队支，由（2）知所有球队总得分为 . 又因为甲组球队总得分是乙组球队总得分的7倍，所以甲组球队总得分为， 乙组球队总得分为，又乙组球队在乙组内总得分为. 而每场比赛获胜队得1分，另一队得0分，所以乙组的总得分不会少于乙组球队在乙组内总得分， 得. 解得，又为整数，解得只能为6. 所以甲组球队共有11支，乙组球队共6支，所有球队总得分为分， 甲组球队总得分为119分，乙组球队总得分为17分，甲组球队内部总得分为分， 乙组球队内部总得分分，因乙组球队总共得17分，但乙组内部总得分15分， 所以乙组胜甲组的得分为2分，所以乙组球队最高得分不大于 分， 又因为甲组共11支，而，故甲组中至少有一支球队超过7分，所以冠军在甲组球队中. 【解析】 【分析】（1）根据组合计数和胜负守恒进行计算即可. （2）根据代数恒等变形 和平方差公式证明即可. （3）根据乙组的总得分不会少于乙组球队在乙组内总得分列出不等式，解得未知数的值，进而求得结果. 【小问1详解】 当时，根据单循环赛是所有参加比赛的队均能相遇一次，则每支球队都比赛5场， 所以共比赛场. 根据单循环赛的规则和题意，15场中每一场定有一队获胜，故比赛结束后所有队胜的场次和为15， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中曲线的长度为（ ） A. B. C. D. 3. 等比数列中，，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知每门大炮击中某目标的概率是0.4，现在n门大炮向此目标各射击一次．如果此目标至少被击中一次的概率超过92%，至少需要大炮的门数是（ ）（参考数据：，） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 我国通信技术飞速发展，部分领域全球领先．某卫星信号测试中，专家将通信信号抽象为向量，接收端参考信号抽象为向量，定义信号匹配度函数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则函数的单调递增区间为（ ） A. ， B. ，， C. ， D. ，， 8. 已知抛物线的焦点为，过点作斜率为的直线交抛物线于第一象限内的，两点，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 定义在上的奇函数周期为2，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足，，且，，则（ ） A. 一定不是等差数列 B. 一定不是递减数列 C. D. 11. 空间直角坐标系中，满足条件的点构成一几何体，则该几何体（ ） A. 为正多面体 B. 体积为 C. 外接球体积为 D. 内切球表面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知二项式展开式中的系数为40，则实数______． 13. 函数的图象本质是双曲线，那么该双曲线的离心率是______，焦距是______． 14. 设定义在上的函数有三个不同的零点，，，且，则的值是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）证明：； （2）若，求面积的最大值． 16. 如图，直四棱柱的底面为直角梯形，，，，三棱锥的体积是四棱柱体积的． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数． （1）求函数的最大值； （2）已知为数列的前项和，证明：． 18. 已知椭圆 的中心在原点，坐标轴为对称轴，其中一个焦点为，离心率为．直线 ， 与椭圆 交于不同的两点 ， ，且直线 ， 的斜率之积为． （1）证明：为定值； （2）以椭圆 上一动点为圆心作与直线 ， 均相切的圆，探究圆的面积是否为定值，若是定值，求出圆的面积，若不是定值，说明理由； （3）求四边形面积的最大值． 19. 单循环赛制是指所有参赛队伍（或选手）相互之间都轮流进行比赛，每两支队伍之间只比赛一次，最后按照各队在全部比赛中的得分、胜负场次等成绩指标来排定名次．现有（）支球队进行单循环赛，规定每场比赛获胜队得1分，负的队得0分，且无平局，最后按各队在全部比赛中的积分从高到低排列名次，积分最高者为冠军．并将第支球队的胜场数记为，负场数记为，（）． （1）当时，求单循环赛的总比赛场数，并计算的值； （2）证明：； （3）现支球队分为甲、乙两组，其中甲组球队比乙组球队多5支，甲，乙两组球队混合在一起进行单循环赛，若甲组球队总得分是乙组球队总得分的7倍，请判断冠军是甲组中的球队，还是乙组中的球队，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $