湖北十堰市第一中学2025-2026学年第二学期3月月考试卷高二数学

十堰一中2025-2026学年第二学期3月月考试卷 高二数学 考试时间：150分钟 命题人：肖文魁 审题人：向华丽 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.下列求导运算正确的是( ) A. B. C. D. 2.若点P在曲线 上，曲线在P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( ) A. B.[0,) C. D. 3.已知函数f(x)=,则 ( ) A. f(x)在(0,2)单调递增 B. f(x)在(0,2)单调递减 C. y= f(x)的图像关于直线x =1对称 D. y = f(x)的图像关于点(1,0)对称 4.已知 则a，b，c的大小关系为( ) A. a>b>c B. a>c>b C. b>a>c D. b>c>a 5.已知函数 有两个极值点，则实数a的取值范围为( ) A.(-∞,2] B.(-∞,2) C.(0,2] D.(0,2) 6.过点A(0,1)且与曲线 相切的直线方程是( A. y=5x+1 B. y=2x+1 C. y=x+1 D. y=-2x+1 7.对任意的 当 时， 恒成立，则实数a的取值范围是( ) A.[3,+∞) B.(3,+∞) C.[9,+∞) D.(9,+∞) 8.已知函数 在区间[-1，1]上的最小值为-3，则实数a的取值范围为( ) A. B.(-∞,9] C. D. 学科网（北京）股份有限公司 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法中，正确的是( A.若对任意 则y=f(x)在I上单调递增 B.函数y=2|x+1|的递减区间是(-∞,-1] C.函数 的单调递增区间为[1，+∞) D. y=2x+2cosx在R上是增函数 10.若 则( ) A. B. m+n=4 C. mn>e D. m>n 11.已知a>0且a≠e,则函数 的图象可能是( ) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.记函数f(x)的导数为f'(x),若 则f'(3)= . 13.已知函数 ,且f(m)=g(n),则|n-m|的最小值为 . 14.已知函数f(x)及其导函数的定义域均为R,且满足,x>0时,.若不等式在[-2,+∞)上恒成立,则a的取值范围是 , 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒. (1)试把方盒的容积V表示为x的函数； (2)x多大时，方盒的容积V最大? 学科网（北京）股份有限公司 16.(15分)已知函数 在x=2处取得极小值0， (1)求a和b的值; (2)对任意 总存在 使得 求实数c的取值范围. 17.(15分)已知函数 的图象在点x=0处的切线为y=bx. (1)求函数f(x)的解析式; (2)设 求证： (3)若 对任意的 恒成立，求实数k的取值范围. 18.(17分)已知函数 (1)若m=1,求f(x)的极值； (2)讨论f(x)的单调性; (3)若对任意x>0,有 恒成立，求整数m的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 19. (17分)已知函数 且a≠0) (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $数学答案 一、单选题（每小题5分，共40分) 2 4 5 6 B C C D B 二、多选题（每小题6分，共18分，全对6分，部分对得部分分，错 选0分)》 9.ABD 10.AC 11.ACD 三、填空题（每小题5分，共15分) 12.5 13.(1+m2) 14.[e2,+oo) 四、解答题（共5小题，77分，解答应写出文字说明。证明过程或演 算步骤) 15.（13分) 解：(1)由题意，正方形铁片边长为α，截去小正方形边长为x,则无盖方盒的底面为正 方形，边长为a-2x,高为x。 容积y的定义城需满足[？，石>0，即0<x<号 容积函数为：Vx)=(a-2x)x,xE(（0,) (2)对V(x)展开并求导：V(x)=(a2-4ax+4x2)x=4x3-4ax2+a2x,V'(x)=12x2- 8ax+a2,令V'(x)=0,因式分解得(6x-a)(2x-a)=0, 解得x=或x=(舍去)。 当xe(0,)时，V"(x)>0,V(x)单调递增： 当x∈（合）时，V'(x)<0,V()单调递减。 故当x=a时，V(x)取得极大值，也是定义域内的最大值，即方盒容积最大。 1 16.(15分) 解：(1)对f(x)=2x3-ax2+12x+b求导得f'(x)=6x2-2ax+12。 电r=2进取得快小值0.形88交台-41×24.0 化简得日8般十84+6=0解得1-9.b-20。 验证：f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2), 当x<1或x>2时，f'(x)>0,f(x)单调递增： 当1<x<2时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 故x=2为极小值点，符合题意。 (2)由(1)得f(x)=2x3-9x2+12x-20,x∈[0,3]，f'(x)=6(x-1)(x-2),分析单调 性： ·x∈[0,1)，f'(x)>0,f(x)递增，f(0)=-20,f(1)=2-9+12-20=-15; 。xE(1,2),f'(x)<0,f(x)递减，f(2)=0: ·x∈(2,3]，f'(x)>0,f(x)递增，f(3)=54-81+36-20=-11。 故f(x)在[0,3]上的值域为[-20，-11]。 对于g(x)=5sin2x+c,x∈[0，π]，则2x∈[0,2π]，sin2x∈[-1,1]，故g(x)的值域为[c- 5,c+5]。 由“对任意x1∈[0,3]，总存在x2∈[0，π]，使得f(x1)=g(x2)”，得f(x)的值域是g(x)值 域的子集， 即酸+三 ,解得-16≤c≤-15。 17.(15分) 解：(1)对f(x)=ex-x2+a求导得f'(x)=ex-2x,函数在x=0处的切线斜率k= f'(0)=e0-0=1,切线方程为y-bx(原题笔误修正为y=bx),故b=1。又切线过点 (0,f(0),f(0)=e°-0+a=1+a,切线过原点(0,0)，故f(0)=0,即1+a=0,得a=-1。 因此函数解析式为f(x)=e×-x2-1。 (2)证明：由(1)得g(x)=f(x)+x2-x=e*-x-1,求导得g'(x)=ex-1,令g'(x)= 0,得x=0。当x<0时，g'(x)<0,g(x)单调递减：当x>0时，g'(x)>0,g(x)单 调递增。故g(x)min=g(0)=e°-0-1=0，因此g(x)≥0。 2 8)由受>k对xE(0+恒成立，即兰>k,令h0)-兰兰x>0,则需 aC)n>k:化简()=兰-x-京求导得：N(网=器-1+京 x2 c-10ex-x2+1=x-10e-x-1 x2 x2 由(2)知，x>0时，ex-x-1>0,令h'(x)=0,得x=1。当0<x<1时，h'(x)<0, h(x)单调递减；当x>1时，'(x)>0,h(x)单调递增。故h(x)min=h(1)=e1-1-1=e 2,因此实数k的取值范围为(-oo,e一2)。 18.(17分) 解：（①）当m=1时，f(x)=lnx-x2-x+1,定义域为(0，+o),求导得f'(x)=是 2x-1=-2x2-x+=-2x-+四。令f'(x)=0,得x=(x=-1舍去，不在定义域内)。当 0<x<时，f'(x)>0,f(x)单调递增：当x>时，f'(x)<0,f(x)单调递减。故f(x)在 x=处取得极大值，极大值为f(=血--+1=}-ln2,无极小值。 (2)f()=nx-mx2+(1-2m)x+1,定义域为(0，+o),求导得f'(x)=是-2mx+(1- 2m）=-2mx2+1-2mx+1==2mx-1)c+1 ①当m≤0时，-2m≥0，则2mx-1<0,又x+1>0,x>0,故f'(x)>0恒成立， f(x)在(0，+oo)上单调递增： ②当m>0时，令f'()=0,得x=2m(x=-1舍去)，当0<x<n时，f'()>0, fx)单调递增：当x>时，f'()<0,f)单调递减。 综上，m≤0时，fx)在(0，+∞)单调递增；m>0时，fx)在(0，品)单调递增，在 (品，+)单调递减。 (3)由f(x)≤0对任意x>0恒成立，即lnx-mx2+(1-2m)x+1≤0，变形得m≥ 芒对任数x>0恒成立，令()=是x>0,则m≥6)加x,求整数m的 x2+2x 最小值。 求导得t'(x)= +1)0x2+2x0-0mx+x+102x+2) c+10x+2)-2(+1)0mx+x+1=c+1)[x+2-2nx-2x-2] (x2+2x)2 x2(x+2)2 x2(x+2)2 =c+1)(-x-2n0 x2(x+2)2 3 因x>0时，x+1>0,x2(x+2)2>0,令u(x)=-x-2nx,x>0,u(x)在(0，+∞)单 调递减，且u(1)=-1<0,u(月)=--2n=2m2->0,由零点存在定理，存在唯一 x,∈（经，1）使得u(xo)=0,即-x0-2xg=0,mx0=-会。 当0<x<xo时，u(x)>0,t'(x)>0,t(x)单调递增；当x>xo时，u(x)<0,t'(x)<0, t(x)单调递减。 故t(x)max=t(xo)= Inxo+xo+1 -2+x0+1 9+1 x0+2 1 x6+2x0 xo(x0+2) xo(x0+2) 20+2=20 因o(1以则去（传，1功 故整数m的最小值为1。 19.(17分) 解：fx)=alx+2x2-(a+1)x+a,定义域为(0，+o),求导得f'(x)=+x-(a+ 1)=2-(a+1r+=-x-a(a+0）。 (1)讨论单调性：令f'(x)=0,得x=1或x=a(a≠0)。 ①当a<0时，x∈(0,1)，f'(x)<0,f(x)单调递减：x∈(1，+o),f'(x)>0,f(x)单调 递增； ②当0<a<1时，xE(0,a),f'(x)>0,f(x)单调递增：xe(a,1),f'(x)<0,f(x)单 调递减：xE(1,+∞)，f'(x)>0,f(x)单调递增： ③当a=1时，f'()=-山≥0恒成立（仅x=1时取等），fx)在(0，+0)上单调递增： ④当a>1时，xE(0,1),f'(x)>0,f(x)单调递增；x∈(1，a),f'(x)<0,f(x)单调递 减；xE(a,+oo),f'(x)>0,f(x)单调递增。 (2)求f(x)有两个零点时a的取值范围：结合(1)的单调性，分情况讨论f(x)的极值与零点 关系，先求极值点的函数值：f(1)=an1+:-(a+1)+a=-2f(a)=alna+ ia2-(a+1)a+a=alna-ia2. ①当a<0时：f(x)在(0,1)递减，(1，+∞)递增，f(1)=-为极小值（最小值）。取x→ 0+时，alnx→+o(a<0,lnx→-o)，2x2-(a+1)x+a→a,故f(x)→+o: 取X) +o时，x2主导，f(x)→+o:由零点存在定理，f(x)在(0,1)和(1，+o)各有一个零点，满足 题意。 ②当0<a<1时：f()在(0，a)递增，(a,1)递减，(1，+∞)递增，f(a)=alna-a2- a(na-),令v(a)=lma-0<a<1,v'(a)=->0(0<a<1)，v(a在(0,1)递 增，故u(@)<v(1=-<0,则f(a)<0:又f(1)=<0,x→+oo时fx)→+0，故 f(x)仅在(1，+∞)有一个零点，不满足。 ③当a=1时：f(x)在(0，+o)递增，f(1)=-,x→+∞时fx)→+o,故f(x)仅有一个 零点，不满足。 ④当a>1时：f(x)在(0,1)递增，(1，)递减，(a,+∞)递增，f(1)=-<0,f(a)= adna-a2=a(ma-),令w(a)=lna-2a>1,w'(a)-日-2令w'(a)=0得a=2, w(a)在(1,2)递增，(2，+o)递减，w(a)max=w(2)=ln2-1<0,故f(a)<0;x→+o时 f(x)→+o,故f(x)仅在(a,+o)有一个零点，不满足。 综上，f(x)有两个零点时，实数a的取值范围为(-oo,0)。 5十堰一中2025-2026学年第二学期3月月考试卷 高二数学 考试时间：150分钟 命题人：肖文魁 审题人：向华丽 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.下列求导运算正确的是() 4(x+=1+是 B.1(x2 +2)sinx]'=2xsinx +(x2 +2)cosx ()= Am(3x+2=32 2.若点P在曲线y=x3-V3x上，曲线在P处的切线的倾斜角为a,则α的取值范围是（) A. B.o,》 C.0 D.0.2)( 3.已知函数f(x)=lnx+ln(2-x),则() A.f(x)在(0,2)单调递增 B.f(x)在(0,2)单调递减 C.yFf(x)的图像关于直线x=1对称 Q.y=f(x)的图像关于点(1,0)对称 4.已知a,=ln,b=,c=e-2,则a,b,c的大小关系为（） A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c .b>c>a 5.已知函数f(x)=x2-4x+alnx有两个极值点，则实数d的取值范周为() A.(-0,2] B.(-0∞，2) C.(0,2] D.(0,2) 6.过点A(0,1)且与曲线f(x)=x3+2x-1相切的直线方程是( A.y=5x+1 B.y=2x+1 C.y=x+1 D.y=-2x+1 7.对任意的x,出e(1,3]当<x2时，名-为一号n>0恒成立，则实数a的取值范围是(） A.[3,+o) B.(3,+o) C.[9,+o) D.(9,+o) 8.已知函数f(x)=ax-(a+3)x3在区间[-1,1]上的最小值为-3，则实数a的取值范围为() A-3+o0) B.(-00,9] c D(9 1 二、多选趣：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法中，正确的是( A.若对任意x1,x2E1,f)-f2>0,则y=fx)在1上单调递增 X1-X2 B.函数y=2x+1的递减区闯是(-oo,-1] C.函数f(x)=2-x2+2x+3的单调递增区间为L,+o) D.y=2x+2coSx在R上是增函数 10.若m+em=n+lnn=4,则() A.nen =e4 B.m+n=4 C.mn>e D.m>n 11.已知a>0且a≠e,则函数f(x)=ex-alnx的图象可能是() 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.记函数fx)的导数为f'(x),若f()=x3+2xf'(1),则f'(3)=一· 13.已知函数f(x)=ex+2x,g(x)=4x,且f(m)=g(n),则n-m的最小值为 14.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,且满足f(x)=f(-x)-2x,x>0时，f'(x)+1>0.若不 等式f(x+lna)>f(x)-lna在[-2，+o)上恒成立，则a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒. (1)试把方盒的容积V表示为x的函数； (2)x多大时，方盒的容积V最大？ 2 16.(15分)已知函数f(x)=2x3-ax2+12x+b在x=2处取得极小值0，g(x)=5sin2x+c. (1)求a和b的值； (2)对任意x1∈[0,3]，总存在x2∈[0，π，使得f(x1)=g(x2),求实数c的取值范围 17.(15分)已知函数f(x)=ex-x2+a,x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx. (1)求函数f(x)的解析式； (2)设g(x)=f(x)+x2-x,求证：g(x)≥0： (3)若四>k对任意的x∈(0，+o)恒成立，求实数k的取值范围， 18.(17分)己知函数f(x)=lnx-mx2+(1-2m)x+1. (1)若m=1,求f(x)的极值： (2)讨论f(x)的单调性； (3)若对任意x>0,有f(x)≤0恒成立，求整数m的最小值， 19.(17分)已知函数f(x)=alnx+二x2-(a+1)x+a(a∈R且a≠0) 2 (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.