精品解析：2026年内蒙古赤峰市松山区中考数学模拟测试（一）

2026年中考模拟测试（一） 数学试题 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题：（本大题8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义逐项判断即可，将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形叫做轴对称图形；将一个图形绕某一点旋转，能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形． 【详解】解：因为图A不是轴对称图形，是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图C是轴对称图形，也是中心对称图形，所以符合题意； 因为图D是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以不符合题意． 3. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数轴上实数的大小比较、绝对值的意义．解题关键是根据数轴确定的范围，再利用有理数的运算法则和绝对值的性质判断各选项．根据数轴可得的范围：，逐个判断选项． 【详解】解：选项A：，错误，在右侧，； 选项B：，错误，是正数，； 选项C：，错误，，因此； 选项D：，正确； ·是到原点的距离， ， ． 故选：D． 4. 下列运算正确的是：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、积的乘方法则逐一判断即可． 【详解】解：选项：与不是同类项，不能合并，错误； 选项：，正确； 选项：，错误； 选项：，错误． 5. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，反比例函数图象上的点满足横纵坐标的乘积等于常数，本题中，只需计算各选项的点的横纵坐标乘积，判断结果是否等于即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴函数图象上的点满足， ∵，，，， ∴反比例函数的图象一定经过的点是． 6. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是：（ ） A. 调查某种西红柿的甜度情况 B. 调查某品牌新能源汽车的耗电情况 C. 调查某市垃圾分类的情况 D. 调查全班观看电影《飞驰人生》的情况 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A中调查西红柿甜度具有破坏性，调查范围大，适合抽样调查； 选项B中调查品牌新能源汽车耗电情况，调查范围大，测试具有损耗性，适合抽样调查； 选项C中调查某市垃圾分类情况，调查范围广，适合抽样调查； 选项D中调查全班观看电影的情况，范围小，个体数量少，适合全面调查． 7. 如图，在菱形中，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，根据菱形的性质，得到，折叠得到垂直平分，进而推出为等腰直角三角形，求出的长，再根据线段的数量关系、和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形，， ∴， ∵折叠， ∴垂直平分， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 8. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可. 【详解】解：由题意可得：方程的两根异号， ∴， 解得， ∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当时，， ∴最小值为，故C不符合题意； 当时，， ∵， ∴此时，故D符合题意； 故选：D 二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分） 9. 不透明袋子中有2个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．本题中摸出红球的概率为红球数量与总球数的比值，据此即可求解． 【详解】解：袋中总球数为，红球有个, 因此摸出红球的概率为 故答案为：． 10. 如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图得到对应边相等．先判定为等边三角形，再利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出，即可计算的度数． 【详解】解：连接,． 由作图可知：，， 是等边三角形， ， 在中，，， ， ． 11. 赤峰市某景区2023年接待游客万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2025年接待游客达到万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据增长率公式计算即可； 【详解】由题意可得：， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 平均增长率为． 12. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键． 三、解答题（本大题共6小题，满分64分．解答需写出文字说明、证明过程和解题步骤） 13. 计算及代数式求值： （1）计算：； （2），求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的化简，负整数指数幂的运算，以及的余弦值求解即可； （2）先表示出，再化简代数式代入求解即可 ． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵，即， ∴． 14. 为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十届全国学生“学宪法讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，开展法治知识竞赛，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，，． 八年级20名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，86，89，96，97，98，98，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 83 众数 84 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生法治知识竞赛的成绩较好？说出你的理由（一条理由即可）． （3）该校七年级有学生500人，八年级有学生520人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 【答案】（1），， （2）七年级学生的法治知识竞赛成绩较好， 理由如下：因为两个年级的平均数相同，但七年级学生的中位数大于八年级，所以七年级学生的法治知识竞赛成绩较好； （3）估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是280人 【解析】 【分析】（1）利用中位数和众数的定义求出a，b的值，再根据扇形统计图和七年级组中的数据即可求出m的值． （2）根据平均数、中位数分析即可得出结果； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级、组的人数为：， 把七年级20名学生竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是84，84， 故中位数， 八年级20名学生的竞赛成绩的众数， ，即， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是280人． 15. 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价． （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【答案】（1）甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； （2）该公司最少需花费元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意正确列式是解题关键． （1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元，根据“2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元”，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买甲种苹果箱，根据“乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数”列不等式，求出的取值范围，设该公司需花费元，得到关于的一次函数，求出最值即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元， 则， 解得：， 答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； 【小问2详解】 解：设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱， 则， 解得：， 设该公司需花费元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值为， 即该公司最少需花费元． 16. 如图，在中，，点在上，以为半径的与相交于点，交于点，过点作的直径，连接，若． （1）求证：与相切于点； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在上， 与相切于点； （2）的长是 【解析】 【分析】（1）连接，证明，即可证明，即可得证； （2）利用勾股定理求出，，证明，得到，求出即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 的长是． 17. 如图，已知抛物线与轴相交于，两点，交轴于点， （1）求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标． （2）若点是抛物线对称轴上的一点，求周长的最小值． （3）如图，是线段上一动点（端点除外），过作，交于点，连接．求面积的最大值 【答案】（1）抛物线的解析式为：，对称轴是直线，顶点坐标是 （2） （3）面积的最大值为3． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，即可求解； （2）轴对称的性质可知，从而得到的周长，进而得到当点A、C、M在同一条直线上时可取得最小值，为的长，即当点A、C、M在同一条直线上时，周长的最小，为，即可求解； （3）设，则，可得，，然后根据，可得，过点P作，可得，可得到的面积，然后根据二次函数的性质即可求得面积的最大值． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴相交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴， ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是； 【小问2详解】 解：∵点M在对称轴上，A、B关于对称轴对称， ∴， ∴的周长， 如图，当点A、C、M在同一条直线上时，可取得最小值，为的长， 即当点A、C、M在同一条直线上时，周长的最小，为， 对于， 当时，， ∴点， ∵，点， ∴， ∴周长的最小值为：； 【小问3详解】 解：设，则， ∵，， ∴，， ， ∴， ，即， 解得：， 如图，过点P作， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 的面积 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为3． 18. 综合与探究 问题情境：在中，，点是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）猜想求解：如图1，若，，求的度数； （2）拓展延伸：如图2，，，过点作，交的延长线于，连接，求证： （3）如图3，在（2）的条件下，点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明； 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接， ，， ， 由旋转知，， ， 即， ， ， ，， ， ， ． ， ， ， ， ，； （3） 解：，理由如下： 连接， 点是的中点，， ， ， ， ，即． 点是的中点，， ， ， 是等腰直角三角形， ∴， 即， ． 【解析】 【分析】（1）先说明是等边三角形，可得，再根据旋转的性质求出，然后根据得出答案； （2）连接，由题意得，，再说明，根据“边角边”说明，可得，进而得出，然后证明，接下来根据“边角边”证明，即可得出答案； （3）连接，根据直角三角形的性质得，再说明，然后根据直角三角形的性质得，即可得出是等腰直角三角形，最后根据勾股定理得出答案． 【小问1详解】 解：，， 是等边三角形， ， 由旋转得， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考模拟测试（一） 数学试题 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题：（本大题8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是：（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是：（ ） A. B. C. D. 5. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 6. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是：（ ） A. 调查某种西红柿的甜度情况 B. 调查某品牌新能源汽车的耗电情况 C. 调查某市垃圾分类的情况 D. 调查全班观看电影《飞驰人生》的情况 7. 如图，在菱形中，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分） 9. 不透明袋子中有2个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是______． 10. 如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为______． 11. 赤峰市某景区2023年接待游客万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2025年接待游客达到万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为：______． 12. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______________． 三、解答题（本大题共6小题，满分64分．解答需写出文字说明、证明过程和解题步骤） 13. 计算及代数式求值： （1）计算：； （2），求代数式的值． 14. 为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十届全国学生“学宪法讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，开展法治知识竞赛，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，，． 八年级20名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，86，89，96，97，98，98，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 83 众数 84 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生法治知识竞赛的成绩较好？说出你的理由（一条理由即可）． （3）该校七年级有学生500人，八年级有学生520人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 15. 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价． （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 16. 如图，在中，，点在上，以为半径的与相交于点，交于点，过点作的直径，连接，若． （1）求证：与相切于点； （2）若，，求的长． 17. 如图，已知抛物线与轴相交于，两点，交轴于点， （1）求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标． （2）若点是抛物线对称轴上的一点，求周长的最小值． （3）如图，是线段上一动点（端点除外），过作，交于点，连接．求面积的最大值 18. 综合与探究 问题情境：在中，，点是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）猜想求解：如图1，若，，求的度数； （2）拓展延伸：如图2，，，过点作，交的延长线于，连接，求证： （3）如图3，在（2）的条件下，点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $