精品解析：2025年内蒙古赤峰市松山区中考模拟数学试题

松山区九年级模拟考试数学试题 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共24分） 1. 数学是研究数量关系和空间形式的科学，小明通过观察生活中某一建筑物将其抽象成立体图形，并运用所学的三视图进行描述，如下图所示（依次为主、左、俯视图），则被抽象的几何体为：（ ） A. B. C. D. 2. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学学科中所发挥的重要价值与意义的高度概括，下图是利用割补法求图形面积的示意图，其直观揭示的公式是：（ ） A. B. C. D. 4. 将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 《哪吒之魔童闹海》自上映以来，在国内外引发观影热潮，据猫眼专业版数据显示，截止2025年4月，累计票房已突破150亿，跻身全球电影票房榜前五，其影响力已超出电影行业的范畴，它的成功证明了中华传统文化在现代社会的强大生命力和吸引力，更增强了我们的文化自信，150亿元用科学记数法表示为（ ）元． A. B. C. D. 6. 爷爷在离家900米的公园锻炼后回家，离开公园20分钟后，爷爷停下来与朋友聊天10分钟，接着又走了15分钟回到家中．下面图形中表示爷爷离家的距离y（米）与爷爷离开公园的时间x（分）之间的函数关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（为常数），当自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为，则的值为（ ） A. 0或4 B. 2或6 C. 0或6 D. 2或4 二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上．每小题3分，共12分） 9. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了___________． 10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 11. 大疆创新科技有限公司是一家全球领先的无人飞行器研发和制造企业，旗下拥有众多型号的无人机产品，广泛应用于航拍、农业、测绘、巡检等多个领域．其中系列属于农业无人机，用于农田监测，作物喷洒等，系列更适合航拍使用．兴趣小组发现，系列某型号无人机的时速是系列某型号无人机时速的2.4倍，系列某型号无人机飞向500米高空比T系列某型号无人机少用了5分钟，如果设T系列某型号无人机的飞行时速为千米/小时，则可列方程为_____． 12. 如图，在平行四边形中，，于点E，F为的中点，连结、，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数共有___________个 三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共6题，满分64分． 13. 计算 （1） （2）化简，求值，其中满足． 14. 赤峰市是红山文化的发祥地，也被誉为中华玉龙之乡，具有代表城市文化名片的赤峰市博物馆是国家一级历史类博物馆，国家4A级旅游景区，其地标位于赤峰市新城区富河街与锦山路交汇处的锡箔河畔．2010年新馆建成，2023年更名为赤峰博物院，其占地面积23亩，馆内设有6个展厅，展览面积4000平方米，截止2019年末共有藏品83223件/套，是一座集收藏、研究、展示为一体的多功能现代化博物馆．赤峰博物馆也因此吸引了大批游客参观．五一小长假期间平均每天入馆人数大约8千人，由龙龙等5名同学组成的学习小组，随机调查了五一假期中某一天入馆参观的部分游客，获得了他们在馆内参观所用时间，并对数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息： a．参观时间的频数分布表如下： 时间（时） 频数（人数） 频率 25 0.050 85 160 0.320 139 0.278 b 0.100 41 0.082 合计 1.000 b．参观时间的频数分布直方图如图： 根据以上图表提供的信息，解答下列问题： （1）这里采用的调查方式是_____； （2）表中_____， _____， _____； （3）并请补全频数分布直方图； （4）请你估算五一假期中平均每天参观时间不低于4小时的游客约有多少人？ 15. 宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面l平行，车轮半径为，，，坐垫与点的距离为. （1）求坐垫到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到，参考数据：，，） 16. 如图，在中，，为的中点，以为直径的分别交，于点，两点，过点作于点． （1）试判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，，求的长． 17. 如图1，在中，，点分别是边的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为． 　 （1）问题发现 ①当时，____________；②当时，___________． （2）拓展探究试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决 绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时，直接写出线段的长． 18. 如图，已知抛物线与轴相交于，两点，交轴于点， （1）求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标． （2）如图，点是抛物线对称轴上的一点，求周长的最小值． （3）如图，是线段上一动点（端点除外），过作，交于点，连接．求面积的最大值，并判断当的面积取最大值时，以、为邻边的平行四边形是否为菱形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松山区九年级模拟考试数学试题 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共24分） 1. 数学是研究数量关系和空间形式的科学，小明通过观察生活中某一建筑物将其抽象成立体图形，并运用所学的三视图进行描述，如下图所示（依次为主、左、俯视图），则被抽象的几何体为：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由三视图还原几何体，分别根据主视图、左视图、俯视图的特征进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：从俯视图得出该几何体应是上面部分为圆锥，故选项不符合题意； 从主视图和左视图得出该几何体应是下面部分为圆柱，故选项不符合题意； 故选：D． 2. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了是实数与数轴，绝对值的意义，实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 由数轴可得，，根据绝对值的意义，实数的加法和乘法法则分别对选项进行判断即可． 【详解】解：A、由数轴可知，故本选项不符合题意； B、由数轴可知，由绝对值的意义知，故本选项不符合题意； C、由数轴可知，而，则，故，故本选项符合题意； D、由数轴可知，而，因此，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. “数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学学科中所发挥的重要价值与意义的高度概括，下图是利用割补法求图形面积的示意图，其直观揭示的公式是：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解决本题的关键．左边大正方形的边长为，面积为，由边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成，根据面积相等即可得出答案． 【详解】解：根据题意，大正方形的边长为，面积为， 由边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成， 所以． 故选：C． 4. 将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，有关三角板中角度的计算． 由平行线的性质可求出，又由三角板中，根据角的和差即可求出． 【详解】解：如图，∵ ∴， ∵在三角板中，， ∴． 故选：B 5. 《哪吒之魔童闹海》自上映以来，在国内外引发观影热潮，据猫眼专业版数据显示，截止2025年4月，累计票房已突破150亿，跻身全球电影票房榜前五，其影响力已超出电影行业的范畴，它的成功证明了中华传统文化在现代社会的强大生命力和吸引力，更增强了我们的文化自信，150亿元用科学记数法表示为（ ）元． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：150亿元元元． 故选：D． 6. 爷爷在离家900米的公园锻炼后回家，离开公园20分钟后，爷爷停下来与朋友聊天10分钟，接着又走了15分钟回到家中．下面图形中表示爷爷离家的距离y（米）与爷爷离开公园的时间x（分）之间的函数关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，爷爷在公园回家，则当时，；从公园回家一共用了45分钟，则当时，； 【详解】解：由题意，爷爷在公园回家，则当时，； 从公园回家一共用了分钟，则当时，； 结合选项可知答案B． 故选B． 【点睛】本题考查函数图象；能够从题中获取信息，分析运动时间与距离之间的关系是解题的关键． 7. 如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形的面积，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴，， 点落在阴影部分的概率是 故选：B． 8. 已知二次函数（为常数），当自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为，则的值为（ ） A. 0或4 B. 2或6 C. 0或6 D. 2或4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值．由解析式可知该函数在时取得最大值2，时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大，根据时，函数的最大值为，可分如下两种情况：①若，时，取得最大值；②若，当时，取得最大值，分别列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵，二次函数关于对称，在时取得最大值2， 时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大， ①若，当时，取得最大值， 可得：， 解得：或（舍）； ②若，当时，取得最大值， 可得：， 解得：或（舍）． 综上，的值为0或6， 故选：C． 二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上．每小题3分，共12分） 9. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了___________． 【答案】20 【解析】 【分析】由图象易得P关于V的函数解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设P关于V的函数解析式为，由图象可把点代入得：， ∴P关于V的函数解析式为， ∴当时，则， 当时，则， ∴压强由加压到，则气体体积压缩了； 故答案为20． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键． 10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值． 先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，即得． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则， ∴ ． 故答案为：5． 11. 大疆创新科技有限公司是一家全球领先的无人飞行器研发和制造企业，旗下拥有众多型号的无人机产品，广泛应用于航拍、农业、测绘、巡检等多个领域．其中系列属于农业无人机，用于农田监测，作物喷洒等，系列更适合航拍使用．兴趣小组发现，系列某型号无人机的时速是系列某型号无人机时速的2.4倍，系列某型号无人机飞向500米高空比T系列某型号无人机少用了5分钟，如果设T系列某型号无人机的飞行时速为千米/小时，则可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设T系列某型号无人机的飞行时速为千米/小时，则系列某型号无人机的飞行时速为千米/小时，系列某型号无人机飞向500米高空比T系列某型号无人机少用了5分钟，列出方程． 【详解】解：设T系列某型号无人机的飞行时速为千米/小时，则系列某型号无人机的飞行时速为千米/小时， 依题意得： 故答案为：． 12. 如图，在平行四边形中，，于点E，F为的中点，连结、，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数共有___________个 【答案】4 【解析】 【分析】如图延长交的延长线于，取的中点连接．想办法证明，，四边形是菱形即可解决问题； 【详解】 如图，延长 交的延长线于点，取的中点，连接． ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴故①正确； ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．故②正确． ∵， ∵ ∴ ， ∵， ∴， ，故③正确； ∵ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形判定和性质、平行线的判定和性质、菱形的判定和性质，是一道四边形综合题型，解题关键是熟练掌握四边形和三角形相关知识点． 三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共6题，满分64分． 13. 计算 （1） （2）化简，求值，其中满足． 【答案】（1） （2），1 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，分式的化简求值，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）先根据零指数幂和负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质化简，再算加减即可； （2）先把括号内通分，并把除法转化为乘法，再约分化简，然后把代入计算． 【小问1详解】 【小问2详解】 ， ， 原式． 14. 赤峰市是红山文化的发祥地，也被誉为中华玉龙之乡，具有代表城市文化名片的赤峰市博物馆是国家一级历史类博物馆，国家4A级旅游景区，其地标位于赤峰市新城区富河街与锦山路交汇处的锡箔河畔．2010年新馆建成，2023年更名为赤峰博物院，其占地面积23亩，馆内设有6个展厅，展览面积4000平方米，截止2019年末共有藏品83223件/套，是一座集收藏、研究、展示为一体的多功能现代化博物馆．赤峰博物馆也因此吸引了大批游客参观．五一小长假期间平均每天入馆人数大约8千人，由龙龙等5名同学组成的学习小组，随机调查了五一假期中某一天入馆参观的部分游客，获得了他们在馆内参观所用时间，并对数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息： a．参观时间的频数分布表如下： 时间（时） 频数（人数） 频率 25 0.050 85 160 0.320 139 0.278 b 0.100 41 0.082 合计 1.000 b．参观时间的频数分布直方图如图： 根据以上图表提供的信息，解答下列问题： （1）这里采用的调查方式是_____； （2）表中_____， _____， _____； （3）并请补全频数分布直方图； （4）请你估算五一假期中平均每天参观时间不低于4小时的游客约有多少人？ 【答案】（1）抽样调查 （2）0.17，50，500 （3） 补全直方图如图： （4）人 【解析】 【分析】本题考查统计图表，利用样本估计总体，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键： （1）根据题意，作答即可； （2）根据频数等于总数乘以频率，进行计算即可； （3）根据分布表补全直方图即可； （4）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：这里采用的调查方式是抽样调查， 故答案为：抽样调查； 【小问2详解】 ，，， 故答案为：0.17，50，500； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 五一假期中平均每天参观时间不低于4小时的游客约有（人）． 15. 宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面l平行，车轮半径为，，，坐垫与点的距离为. （1）求坐垫到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1）99.5（2）3.9 【解析】 【分析】（1）作于点，由可得答案； （2）作于点，先根据求得的长度，再根据可得答案 【详解】（1）如图1，过点E作于点， 由题意知、， ∴， 则单车车座到地面的高度为； （2）如图2所示，过点作于点， 由题意知， 则， ∴. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答． 16. 如图，在中，，为的中点，以为直径的分别交，于点，两点，过点作于点． （1）试判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 解：与相切，理由如下： 连接，如图所示： ，为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，根据直角三角形的性质得到，得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，推出，于是得到结论； （2）连接，根据勾股定理得到，根据圆周角定理得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 17. 如图1，在中，，点分别是边的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为． 　 （1）问题发现 ①当时，____________；②当时，___________． （2）拓展探究试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决 绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时，直接写出线段的长． 【答案】（1）①；②； （2）的大小不变，证明如下 ∵ ∴△ECA∽△DCB （3）BD=或 【解析】 【分析】（1）①根据中点的定义和勾股定理求出BD、AC和AE，从而求出结论； ②画出图形，求出BD和AE即可求出结论； （2）利用相似三角形的判定定理证出△ECA∽△DCB，从而证出结论； （3）根据点E落在AB的延长线上和点E落在AB上分类讨论，分别画出对应的图形，然后求出AE的长，最后根据（2）的结论即可求出结论． 【详解】解：（1）①当时， ∵在中，，点分别是边的中点， ∴BD=CD=，AC== ∴AE=CE= ∴ 故答案为：； ②当时，如下图所示 AE=AC＋CE=，BD=BC＋CD=6 ∴ 故答案为：； （2）略 （3）（i）当点E落在AB的延长线上时，如下图所示 在Rt△BCE中，CE=，BC=4 BE= ∴AE=AB＋BE=10 ∵ ∴BD=； （ii）当点E落在AB上时，如下图所示 在Rt△BCE中，CE=，BC=4 BE= ∴AE=AB－BE=6 ∵ ∴BD=； 综上：BD=或． 【点睛】此题考查的是相似三角形的应用和勾股定理，掌握相似三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键． 18. 如图，已知抛物线与轴相交于，两点，交轴于点， （1）求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标． （2）如图，点是抛物线对称轴上的一点，求周长的最小值． （3）如图，是线段上一动点（端点除外），过作，交于点，连接．求面积的最大值，并判断当的面积取最大值时，以、为邻边的平行四边形是否为菱形． 【答案】（1）抛物线的解析式为：，对称轴是直线，顶点坐标是 （2） （3）以、为邻边的平行四边形不是菱形 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，即可求解； （2）轴对称的性质可知， 从而得到的周长，进而得到当点A、C、M在同一条直线上时可取得最小值，为的长，即当点A、C、M在同一条直线上时，周长的最小，为，即可求解； （3）设，则，可得，，然后根据，可得，过点P作，可得，可得到的面积，然后根据二次函数的性质即可求得面积的最大值，最后再分别计算出的长，由此即可判断以为邻边的平行四边形是否为菱形． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴相交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 【小问2详解】 解：∵点M在对称轴上，A、B关于对称轴对称， ∴， ∴的周长， 如图，当点A、C、M在同一条直线上时可取得最小值，为的长， 即当点A、C、M在同一条直线上时，周长的最小，为， 对于， 当时，， ∴点， ∵，点， ∴， ∴周长的最小值为：． 【小问3详解】 解：设，则， ∵，， ∴，， ， ∴， ，即， 解得：， 如图，过点P作， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 的面积， ， 面积的最大值为3，此时， ∴，， ∴， ∴以、为邻边的平行四边形不是菱形． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，一次函数的图象性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法求函数关系式以及二次函数的图象性质是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $