基本立体图形、立体图形的直观图 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

基本立体图形、立体图形的直观图讲义 基本立体图形、立体图形的直观图讲义 考点目录 基本立体图形 立体图形的直观图 考点一 基本立体图形 【知识点解析】 1.旋转体：一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体包括圆柱、圆锥、圆台、球. ①圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱； ②圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥；（若以直角三角形的斜边为旋转轴，则旋转一周形成两个共底的圆锥形成的组合体） ③圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台； ④球：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体； 2.多面体：由若干个平面多边形围成的几何体，包括棱柱、棱锥、棱台. ①棱柱：上下底面为两个互相平行且全等的多边形，侧面均为平行四边形围成的几何体 ②棱锥：底面为多边形，侧面均为三角形围成的几何体 ③棱台：上下底面为两个互相平行且相似的多边形，侧面均为梯形围成的几何体（棱锥截出） 【例题分析】 例1．（24-25高一下·广东广州·月考）下列说法中，正确的是（   ） A．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 例2．（24-25高一下·福建厦门·月考）下列几何体中不是旋转体的是（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一下·湖南衡阳·月考）下列关于棱锥、棱台的说法正确的有（    ） ①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例4．（24-25高一下·四川成都·月考）具备下列条件的多面体是棱台的是（    ） A．两底面是相似多边形的多面体 B．侧面是梯形的多面体 C．两底面平行的多面体 D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体 【变式训练】 变式1．（2026·陕西榆林·一模）一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式2．（24-25高一下·江苏苏州·月考）将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体，该几何体是（    ） A．一个圆台 B．一个圆柱 C．一个圆柱和一个圆锥的简单组合体 D．一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体 变式3．（24-25高一下·浙江温州·月考）下列命题正确的是（    ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 变式4．（25-26高二上·上海长宁·期末）关于棱柱的说法中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面所围成的多面体是棱柱； B．由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形叫做棱柱； C．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱； D．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余不在这两个面上的棱都相互平行的多面体是棱柱． 考点二 立体图形的直观图 【知识点解析】 一、通用解题思路（两类核心问题，正推画直观图，逆推求原图形） 类型1：用斜二测画法画平面图形的直观图（正推，四步法） 1. 建原系，定关键点 在原平面图形中建立平面直角坐标系，以图形的顶点、交点等为关键点，标注各关键点的坐标（优先让图形的边与坐标轴重合，简化计算）。 1. 建斜系，定轴方向 画斜二测坐标系，使（或135°，按图形摆放选择），轴为水平轴，轴为斜轴。 1. 转坐标，描斜系点 将原图形关键点的坐标按规则转化为斜系坐标： · 坐标不变：原→斜系； · 坐标减半：（纵坐标取原长的）； 按转化后的坐标，在斜系中描出所有对应关键点。 1. 连点成形，去辅助线 按原图形的边的连接顺序，依次连接斜系中的关键点，得到直观图（线段保持平行性），擦除坐标系等辅助线，标注相关边长。 【技巧】原图形中平行于轴的线段，直观图中方向、长度均不变；平行于轴的线段，直观图中平行于轴、长度减半。 类型2：由直观图还原原图形+面积/边长互求（逆推，核心考向，三步法） 1. 建斜系，标直观图关键点坐标 在直观图中还原斜二测坐标系，标注各关键点的斜系坐标。 1. 逆转化，求原图形坐标 按斜二测画法的逆向规则，将斜系坐标转化为原平面直角坐标系坐标： · 坐标不变：原； · 坐标加倍：原（纵坐标恢复为直观图的2倍）； 得到原图形所有关键点的直角坐标。 1. 绘原图/算面积，用核心结论 · 还原原图：按原坐标连点，画出原平面图形； · 面积互求：直接用核心结论，避免逐边计算： ✅ 直观图面积 ✅ 原图形面积 · 边长互求：平行于轴的边长相等，平行于轴的边长原长=直观图长×2，非坐标轴平行的边长需用坐标算距离。 二、高频考向及速解技巧 考向1：画常见图形的直观图（正方形、矩形、三角形、圆等） · 正方形/矩形：边与坐标轴重合，直接按坐标转化，直观图为平行四边形（45°斜边，竖边减半）； · 三角形：取一边在轴，顶点在轴，转化后顶点纵坐标减半，直观图为小三角形； · 圆：斜二测直观图为椭圆（无需精准绘制，仅需掌握面积比例）。 考向2：直观图与原图形的面积互求（最常考） · 速解：无需画图/转化坐标，直接套用面积比例公式，重点记，避免因画图失误算错。 考向3：立体图形的直观图绘制 · 核心：先画底面平面图形的斜二测直观图，再沿轴（与轴垂直，长度不变）画出立体图形的高，连接顶点即可（轴方向线段长度、方向均不变）。 三、注意事项 1. 角度与长度规则唯一：斜系夹角只能是45°或135°，仅轴方向线段长度减半，轴、轴（立体）长度不变，平行性始终保持； 1. 面积公式勿记反：高频易错点，记准直观图面积是原图形的，原图形是直观图的倍； 1. 非轴平行线段处理：不直接变长度，需先找线段端点的坐标，转化后再算直观图/原图形中的线段长度； 1. 立体图绘制要点：斜二测画法仅针对底面平面图形，立体图形的高沿垂直于轴的方向画，长度与原高一致。 【例题分析】 例1．（25-26高三上·青海西宁·月考）已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中 ，则的长度为（    ） A．8 B．4 C．4 D．4 例2．（25-26高二上·贵州遵义·月考）如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一下·河北邢台·月考·多选）如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形其中，则下列说法正确的是 （    ）    A． B． C．四边形为等腰梯形 D．四边形的周长为 例4．（24-25高一下·河南·月考）用斜二测画法画出的直观图如图所示，，内角，，的对边分别为，，，且，，则在中，边上的高为____________． 例5．（24-25高一下·安徽宣城·期末）已知一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为__________. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·广东肇庆·期中）一个梯形的直观图是如图的等腰梯形，且上底为1，下底为3，高为1，则原梯形的面积为（   ） A．2 B．4 C． D． 变式2．（2025·陕西西安·二模·多选）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（   ）    A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 变式3．（24-25高一下·辽宁·期末·多选）关于斜二测画法，下列命题为真命题的有（   ） A．平行关系在直观图与原图中保持不变 B．斜二测画法不会改变边长比例 C．斜二测画法会改变直角关系 D．通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等 变式4．（24-25高一下·天津武清·月考）如图，矩形是水平放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，其中，，则原图形的面积是_______. 变式5．（2026·山东·一模）水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于___________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $基本立体图形、立体图形的直观图讲义 基本立体图形、立体图形的直观图讲义 考点目录 基本立体图形 立体图形的直观图 考点一 基本立体图形 【知识点解析】 1.旋转体：一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体包括圆柱、圆锥、圆台、球. ①圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱； ②圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥；（若以直角三角形的斜边为旋转轴，则旋转一周形成两个共底的圆锥形成的组合体） ③圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台； ④球：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体； 2.多面体：由若干个平面多边形围成的几何体，包括棱柱、棱锥、棱台. ①棱柱：上下底面为两个互相平行且全等的多边形，侧面均为平行四边形围成的几何体 ②棱锥：底面为多边形，侧面均为三角形围成的几何体 ③棱台：上下底面为两个互相平行且相似的多边形，侧面均为梯形围成的几何体（棱锥截出） 【例题分析】 例1．（24-25高一下·广东广州·月考）下列说法中，正确的是（   ） A．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 【答案】A 【详解】对于A选项，由棱锥的定义判断A正确； 对于B选项，只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，所以B错误； 对于C选项，棱柱的底面可为任意平面多边形，所以C错误； 对于D选项，斜棱柱的侧面不是全等的平行四边形，所以D错误. 故选：A. 例2．（24-25高一下·福建厦门·月考）下列几何体中不是旋转体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据旋转体的定义选D 例3．（24-25高一下·湖南衡阳·月考）下列关于棱锥、棱台的说法正确的有（    ） ①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【详解】对于①，由五个面围成的多面体可能是三棱柱,①错误； 对于②，仅有两个面互相平行的五面体可以是三棱柱，②错误； 对于③④，棱台的侧棱延长线必须交于一点，③④错误. 所以下列关于棱锥、棱台的说法正确的有0个. 例4．（24-25高一下·四川成都·月考）具备下列条件的多面体是棱台的是（    ） A．两底面是相似多边形的多面体 B．侧面是梯形的多面体 C．两底面平行的多面体 D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体 【答案】D 【详解】棱台是由棱锥截得的，因此一个几何体要成为棱台应有两个条件： 一是上、下底面平行；二是各侧棱延长后必须交于一点， 选项C只具备一个条件，选项A、B则两条件都不具备，只有D正确． 故选：D 【变式训练】 变式1．（2026·陕西榆林·一模）一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】设圆锥的母线长为，则底面半径为， 侧面积，解得， 则，故圆锥轴截面的周长为． 变式2．（24-25高一下·江苏苏州·月考）将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体，该几何体是（    ） A．一个圆台 B．一个圆柱 C．一个圆柱和一个圆锥的简单组合体 D．一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体 【答案】D 【详解】绕直角梯形较短的底边所在的直线旋转一周，得到的几何体是一个圆柱中挖去一个圆锥. 故选：D 变式3．（24-25高一下·浙江温州·月考）下列命题正确的是（    ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 【答案】D 【详解】对于A、B：上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱． 如图四棱柱， 满足平面平面，平面平面，底面是正方形，且四边形、为矩形， 但是平面不垂直平面，故A、B错误； 对于C：底面是菱形（不是正方形）的直四棱柱，满足每个侧面都是全等矩形，但是不是正四棱柱，故C错误； 对于D：底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直能保证上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面，故是正四棱柱，故D正确． 故选：D. 变式4．（25-26高二上·上海长宁·期末）关于棱柱的说法中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面所围成的多面体是棱柱； B．由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形叫做棱柱； C．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱； D．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余不在这两个面上的棱都相互平行的多面体是棱柱． 【答案】C 【详解】对于A，这是棱柱的严格定义，两个互相平行的面是底面，其余各面为四边形，且相邻四边形的公共边互相平行，符合棱柱的本质特征，故A正确； 对于B，这是棱柱的 “平移生成” 定义，一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形，正是棱柱的形成方式，故B正确； 对于C，这个说法错误，反例：将两个全等的平行四边形按错位方式拼接，使其余各面虽为平行四边形，但整体不是棱柱，因为相邻面的公共边不满足 “互相平行且方向一致” 的要求，故C错误； 对于D，这个说法是正确的，两个平行且全等的平面多边形为底面，其余不在这两个面上的棱都相互平行，满足棱柱的判定条件，故D正确. 故选：C. 考点二 立体图形的直观图 【知识点解析】 一、通用解题思路（两类核心问题，正推画直观图，逆推求原图形） 类型1：用斜二测画法画平面图形的直观图（正推，四步法） 1. 建原系，定关键点 在原平面图形中建立平面直角坐标系，以图形的顶点、交点等为关键点，标注各关键点的坐标（优先让图形的边与坐标轴重合，简化计算）。 1. 建斜系，定轴方向 画斜二测坐标系，使（或135°，按图形摆放选择），轴为水平轴，轴为斜轴。 1. 转坐标，描斜系点 将原图形关键点的坐标按规则转化为斜系坐标： · 坐标不变：原→斜系； · 坐标减半：（纵坐标取原长的）； 按转化后的坐标，在斜系中描出所有对应关键点。 1. 连点成形，去辅助线 按原图形的边的连接顺序，依次连接斜系中的关键点，得到直观图（线段保持平行性），擦除坐标系等辅助线，标注相关边长。 【技巧】原图形中平行于轴的线段，直观图中方向、长度均不变；平行于轴的线段，直观图中平行于轴、长度减半。 类型2：由直观图还原原图形+面积/边长互求（逆推，核心考向，三步法） 1. 建斜系，标直观图关键点坐标 在直观图中还原斜二测坐标系，标注各关键点的斜系坐标。 1. 逆转化，求原图形坐标 按斜二测画法的逆向规则，将斜系坐标转化为原平面直角坐标系坐标： · 坐标不变：原； · 坐标加倍：原（纵坐标恢复为直观图的2倍）； 得到原图形所有关键点的直角坐标。 1. 绘原图/算面积，用核心结论 · 还原原图：按原坐标连点，画出原平面图形； · 面积互求：直接用核心结论，避免逐边计算： ✅ 直观图面积 ✅ 原图形面积 · 边长互求：平行于轴的边长相等，平行于轴的边长原长=直观图长×2，非坐标轴平行的边长需用坐标算距离。 二、高频考向及速解技巧 考向1：画常见图形的直观图（正方形、矩形、三角形、圆等） · 正方形/矩形：边与坐标轴重合，直接按坐标转化，直观图为平行四边形（45°斜边，竖边减半）； · 三角形：取一边在轴，顶点在轴，转化后顶点纵坐标减半，直观图为小三角形； · 圆：斜二测直观图为椭圆（无需精准绘制，仅需掌握面积比例）。 考向2：直观图与原图形的面积互求（最常考） · 速解：无需画图/转化坐标，直接套用面积比例公式，重点记，避免因画图失误算错。 考向3：立体图形的直观图绘制 · 核心：先画底面平面图形的斜二测直观图，再沿轴（与轴垂直，长度不变）画出立体图形的高，连接顶点即可（轴方向线段长度、方向均不变）。 三、注意事项 1. 角度与长度规则唯一：斜系夹角只能是45°或135°，仅轴方向线段长度减半，轴、轴（立体）长度不变，平行性始终保持； 1. 面积公式勿记反：高频易错点，记准直观图面积是原图形的，原图形是直观图的倍； 1. 非轴平行线段处理：不直接变长度，需先找线段端点的坐标，转化后再算直观图/原图形中的线段长度； 1. 立体图绘制要点：斜二测画法仅针对底面平面图形，立体图形的高沿垂直于轴的方向画，长度与原高一致。 【例题分析】 例1．（25-26高三上·青海西宁·月考）已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中 ，则的长度为（    ） A．8 B．4 C．4 D．4 【答案】B 【详解】因为是直角三角形，， 所以， 画出如图所示， ， 所以. 故选：B. 例2．（25-26高二上·贵州遵义·月考）如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在斜二测直观图中，，且， 所以为等腰直角三角形，所以， 且，由斜二测画法可知，在中，， 且，， 故. 故选：C. 例3．（24-25高一下·河北邢台·月考·多选）如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形其中，则下列说法正确的是 （    ）    A． B． C．四边形为等腰梯形 D．四边形的周长为 【答案】BC 【详解】由题意可画出其直观图如下，    其中，故A错误，B正确； 过点分别作，垂足分别为点， 故， ，故， 则四边形为等腰梯形，故C正确； 故四边形的周长为，即D错误. 故选：BC 例4．（24-25高一下·河南·月考）用斜二测画法画出的直观图如图所示，，内角，，的对边分别为，，，且，，则在中，边上的高为____________． 【答案】 【详解】由题意可得，， 在中， 由正弦定理得，解得， 由斜二测画法的性质可得， 在原三角形中，， 则为中边上的高，． 故答案为：. 例5．（24-25高一下·安徽宣城·期末）已知一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为__________. 【答案】 【详解】由题可知，，则， 从而，所以， 还原直观图可得原平面图形，为平行四边形，如图所示， 则， 所以， 所以原平面图形的周长为. 故答案为：. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·广东肇庆·期中）一个梯形的直观图是如图的等腰梯形，且上底为1，下底为3，高为1，则原梯形的面积为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】由题意，且，则， 所以原梯形是上下底分别为，高为的直角梯形，则其面积为. 故选：D 变式2．（2025·陕西西安·二模·多选）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（   ）    A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】BC 【详解】A选项，过点作垂直于轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，A错误；        B选项，由斜二测法可知，B正确； C选项，作出原图形，可知，，，， 故四边形的面积为，C正确；    D选项，过点作于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，D错误． 故选：BC. 变式3．（24-25高一下·辽宁·期末·多选）关于斜二测画法，下列命题为真命题的有（   ） A．平行关系在直观图与原图中保持不变 B．斜二测画法不会改变边长比例 C．斜二测画法会改变直角关系 D．通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等 【答案】AC 【详解】对于选项A，根据斜二测画法的规则，平行关系在直观图与原图中保持不变，故选项A正确； 对于选项B，斜二测画法可能会改变边长比例，故选项B错误； 对于选项C，斜二测画法会改变直角关系，故选项C正确； 对于选项D，直观图的面积是原图面积的，故选项D错误． 故选：AC． 变式4．（24-25高一下·天津武清·月考）如图，矩形是水平放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，其中，，则原图形的面积是_______. 【答案】 【详解】因为直观图为矩形，且,又因为 所以有， 所以直观图面积为， 所以原图形面积. 变式5．（2026·山东·一模）水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于___________． 【答案】4 【详解】由题意，作出直观图对应的原图， 可得， 所以的面积等于. 故答案为：4. 2 学科网（北京）股份有限公司 $