精品解析：2026年山东省东营市广饶县初中学业水平模拟考试 九年级数学试题

二○二六年初中学业水平模拟考试 九年级数学试题 （总分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；本试题共8页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 有理数的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数即可得解，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键． 【详解】解：有理数的相反数是， 故选：D． 2. 下列运算中，正确的是（　　） A. 3a2 +2a2 =5a4 B. a9÷a3=a3 C. D. （﹣3x2）3=﹣27x6 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，二次根式的加法，积的乘方运算，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 3a2 +2a2 =5 a 2，故该选项不正确，不符合题意； B. a9÷a3=a6，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. （﹣3x2）3=﹣27x6，故该选项正确，符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，二次根式的加法，积的乘方运算，正确的计算是解题的关键． 3. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】解：卯的俯视图是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键． 4. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角，先根据平行线的性质求出的度数，再根据角的和差关系和对顶角相等，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选C 5. 阅读可以丰富知识，拓展视野．在世界读书日（4月23日）当天，某校为了解学生的课外阅读，随机调查了40名学生课外阅读册数的情况，现将调查结果绘制成如图．关于学生的读书册数，下列描述正确的是（） A. 极差是6 B. 中位数是5 C. 众数是6 D. 平均数是5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了极差、中位数、众数以及平均数，解题的关键是熟记相关概念并灵活运用．分别计算极差、中位数、众数以及平均数进行判断即可． 【详解】解：A．极差，故选项不符合题意； B．中位数是第20和第21个数的平均数为5，故选项符合题意； C．5出现的次数最多，故众数是5，故选项不符合题意； D．平均数为，故选项不符合题意， 故选：B． 6. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ） A. 13cm B. 16cm C. 17cm D. 26cm 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可． 【详解】解：是的一部分，是的中点，， ，． 设的半径为，则． 在中，， ， ， ， 即的半径为． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数图像上，．若点B坐标为，则k的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数，根据相似求出点A的坐标是解题的关键． 过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，证明，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D， 直角三角板中， ， 轴， ， 直角三角板中， ， ， 又， ， ， 点B坐标为， ，， ，， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图像上， ， 故选：C． 8. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设年平均增长率为x， 可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B 9. 如图1，小球从某一高度由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系可近似看作二次函数，图象如图2所示，根据图象，下列说法中正确的是（ ） A. 小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B. 若，则小球的最大速度为 C. 当小球的速度最大时，弹簧的长度是 D. 当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．利用二次函数的图象和性质以及待定系数法逐项进行判断即可． 【详解】解：A、小球从刚开始接触弹簧速度并未开始减速，该选项错误，故不符合题意， B、由图象，抛物线的对称轴为直线， ∴的对称点为， 假设抛物线的解析式为， 将代入解析式得，， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，函数值最大，最大值为， ∴若，在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为，该选项错误，不符合题意； C、由图象，可知当弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最大，此时弹簧的长度为，该选项正确，符合题意； D、当弹簧的长度为时，被压缩了，即， 由图象可知，二次函数的对称轴是，则与对应的速度相等， ∴时，小球的速度与小球刚接触弹簧时速度不等，该选项错误，故不符合题意． 故选：C． 10. 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ 　 ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，∠EAB、∠GAD与∠BAG的和均为90°，即可证明∠EAB与∠GAD相等；②由题意易得AD=DC，AG=FG，进而可得，∠DAG=∠CAF，然后问题可证；③由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证△HAF∽△FAC，则有，然后根据等量关系可求解；④由②及题意知∠ADG=∠ACF=45°，则问题可求证． 【详解】解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形 ∴∠EAG=∠BAD=90° 又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG ∴∠EAB=∠GAD ∴①正确 ②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形 ∴AD=DC，AG=FG ∴AC=AD，AF=AG ∴， 即 又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC ∴∠DAG=∠CAF ∴ ∴②正确 ③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线 ∴∠AFH=∠ACF=45° 又∵∠FAH=∠CAF ∴△HAF∽△FAC ∴ 即 又∵AF=AE ∴ ∴③正确 ④由②知 又∵四边形ABCD为正方形， AC为对角线 ∴∠ADG=∠ACF=45° ∴DG在正方形另外一条对角线上 ∴DG⊥AC ∴④正确 故选：D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．） 11. 石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将这个数用科学记数法表示为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先把二、三两项分为一组，提取一个负号，再提取公因式即可． 【详解】解：原式 【点睛】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式． 13. 有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、菱形和圆，将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上的图形都既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由等边三角形、平行四边形、菱形、圆中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有菱形、圆，再画出树状图展示所有等可能的结果，进而即可求得答案． 【详解】解：设等边三角形、平行四边形、菱形、圆分别为A，B，C，D， 根据题意画出树状图如下： 一共有12种情况，抽出的两张卡片的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形为C、D共有2种情况， ∴P（既是中心对称图形，又是轴对称图形）＝2÷12＝． 故答案是：． 【点睛】本题考查了列表法和树状图法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，画出树状图，是解题的关键． 14. 如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是________米．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】把半径和圆心角代入弧长公式即可； 【详解】 故填：． 【点睛】本题考查弧长公式的应用，准确记忆公式，并正确代入公式是解题的关键． 15. 若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为_________． 【答案】-2 【解析】 【分析】由题目已知x=1是方程的根，代入方程后求出k的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答题． 【详解】解：将x=1代入一元二次方程有：，k=-1， 方程 即方程的另一个根为x=-2 故本题的答案为-2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系数以及利用因式分解法解一元二次方程，其中利用已知根代入方程求出未知系数是解题的关键． 16. 在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作： 第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②． 根据以上的操作，若，则线段的长是____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，正方形的性质；设，则得，利用勾股定理建立方程即可求得x的值，从而求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴； ∵四边形是正方形，且， ∴，； 设， ∴，； 由折叠性质知：， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为：2． 17. 如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】在取点F，使，连接，，过点F作于H，利用三角形内心的定义可得出，利用证明，得出，则，当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可． 【详解】解：在取点F，使，连接，，过点F作于H， ∵I是的内心， ∴平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当C、P、F三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含的直角三角形是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形的性质得到线段长度，再结合点在直线上的坐标关系，归纳出等腰直角三角形的面积规律，进而求出面积． 【详解】解：如图，分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为点，，， ∵且是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∴， 将的坐标代入得：， 解得：， ∴，， 同理可得：，， ∴，，， ， ∴． 三、解答题：本大题共8小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算和化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，从的范围内选择一个你喜欢的整数作为x的值代入求值． 【答案】（1）6 （2），当时，原式；当时，原式（答对一个即可） 【解析】 【分析】（1）先逐项化简，再算加减即可； （2）先根据分式的运算法则把所给分式化简，再从选一个使原分式有意义的数代入计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ， ∵，且， ∴整数或， ∴当时，原式 当时，原式（答对一个即可）． 20. 横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模型设计水平调查报告 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组： ，，，． 下面给出了部分信息： 其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是_____分，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为______； （）请补全频数分布直方图； （）请估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数； （）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】（），，；（）补图见解析；（）人；（） 【解析】 【分析】（）由组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，进而可求出组学生人数，再根据中位数的定义和频数直方图即可求解； （）根据（）所得组学生人数补全频数分布直方图即可； （）用乘以成绩不低于分的人数占比即可； （）画出树状图，根据树状图解答即可； 本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴本次共抽取了名学生的模具设计成绩， ∴组学生人数为人， ∵成绩由低到高排列，中位数为第和第个数据的平均数， ∴中位数分， 组对应圆心角的度数为， 故答案为：，，； （）补全频数分布直方图如下： （）， 答：估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数为人； （）画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 21. 如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． （1）求证：平分； （2）如果，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得出，结合题意可证，即得出，再根据等边对等角可得出，即得出，即平分； （2）设的半径为r，则，．再根据勾股定理可列出关于r的等式，求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ∵直线与相切于点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即平分； 【小问2详解】 解：设的半径为r，则，． 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为4． 【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，同圆半径相等，平行线的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理等知识．连接常用的辅助线是解题关键． 22. 综合与实践：如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上． 【操作原理】如图2是桔槔的示意图，大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿(小竹竿始终与地面垂直)，小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里． 【已知数据】如图2，水桶在井里时，，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面． 【问题解决】根据以上操作原理和已知数据，解答下面问题： 如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度(结果精确到)．(参考数据：，，) 【答案】点A上升的高度约为0.9米 【解析】 【分析】过点O作于点G，交于点H，运用解直角三角形的知识求出和，再做差即可得解． 【详解】解：如图3，过点O作于点G，交于点H， 由题意得，，，米， ∴， 在中， (米)， ∵，， ∴， ∵， ∴； ∴(米)， ∴ (米)， ∴点A上升的高度约为米． 23. 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【答案】（1）航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元； （2）当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，根据用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的列出方程求解即可； （2）设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，先根据航空模型数量不少于航海模型数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个， 由题意得，， 解得， ， ∵， ∴y随m增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为， 此时有， 答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少． 24. 如图，在中，，D，E，F分别为的中点，连接． 　　 　　 （1）如图1，求证：； （2）如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据中位线定理可得，即可得证； （2）证明，根据（1）的结论即可得； （3）连接，过点作于，证明，可得，勾股定理求得，根据，，可得，进而求得，根据求得，根据（2）的结论，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ，D，E，F分别为的中点， ，， ， ， 小问2详解】 ，理由如下， 连接，如图， ，D，E，F分别为的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 将绕点D顺时针旋转一定角度，得到， ， ， ， ， ， ， 【小问3详解】 如图，连接，过点作于， 中，, ， ， ， ， ， ， ， 中， ， 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质定理，相似三角形的性质与判定，求角的正确，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段BC上一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由． （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）四边形OCPQ是平行四边形，理由见详解；（3）（0，）或（0，1）或（0，-1） 【解析】 【分析】（1）设抛物线，根据待定系数法，即可求解； （2）先求出直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4），得到PQ =，从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论； （3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，推出，从而得，进而求出E（5，4），设F（0，y），分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线， ∴B（4，0），C（0，4）， 设抛物线，把C（0，4）代入得：，解得：a=1， ∴抛物线的解析式为：； （2）∵B（4，0），C（0，4）， ∴直线BC的解析式为：y=-x+4， 设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4）， ∴PQ=-x+4-()==， ∴当x=2时，线段PQ长度最大=4， ∴此时，PQ=CO， 又∵PQ∥CO， ∴四边形OCPQ是平行四边形； （3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N， 由（2）得：Q（2，-2）， ∵D是OC的中点， ∴D（0，2）， ∵QN∥y轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即：， 设E（x，），则，解得：，（舍去）， ∴E（5，4）， 设F（0，y），则， ，， ①当BF=EF时，，解得：， ②当BF=BE时，，解得：或， ③当EF=BE时，，无解， 综上所述：点F的坐标为：（0，）或（0，1）或（0，-1）． ． 【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二○二六年初中学业水平模拟考试 九年级数学试题 （总分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；本试题共8页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 有理数的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（　　） A. 3a2 +2a2 =5a4 B. a9÷a3=a3 C. D. （﹣3x2）3=﹣27x6 3. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 阅读可以丰富知识，拓展视野．在世界读书日（4月23日）当天，某校为了解学生的课外阅读，随机调查了40名学生课外阅读册数的情况，现将调查结果绘制成如图．关于学生的读书册数，下列描述正确的是（） A. 极差是6 B. 中位数是5 C. 众数是6 D. 平均数是5 6. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ） A. 13cm B. 16cm C. 17cm D. 26cm 7. 在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数图像上，．若点B坐标为，则k的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，小球从某一高度由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系可近似看作二次函数，图象如图2所示，根据图象，下列说法中正确的是（ ） A. 小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B. 若，则小球的最大速度为 C. 当小球的速度最大时，弹簧的长度是 D. 当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 10. 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ 　 ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．） 11. 石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将这个数用科学记数法表示为______米． 12. 因式分解：________． 13. 有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、菱形和圆，将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上的图形都既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是__________． 14. 如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是________米．（结果保留） 15. 若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为_________． 16. 在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作： 第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：将图①中矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②． 根据以上的操作，若，则线段的长是____． 17. 如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，，均在直线上．设，，，面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，______． 三、解答题：本大题共8小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算和化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，从的范围内选择一个你喜欢的整数作为x的值代入求值． 20. 横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模型设计水平调查报告 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组： ，，，． 下面给出了部分信息： 其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是_____分，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为______； （）请补全频数分布直方图； （）请估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数； （）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 21. 如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． （1）求证：平分； （2）如果，，求的半径． 22. 综合与实践：如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上． 【操作原理】如图2是桔槔的示意图，大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿(小竹竿始终与地面垂直)，小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里． 【已知数据】如图2，水桶在井里时，，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面． 【问题解决】根据以上操作原理和已知数据，解答下面问题： 如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度(结果精确到)．(参考数据：，，) 23. 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 24. 如图，在中，，D，E，F分别为中点，连接． 　　 　　 （1）如图1，求证：； （2）如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，当时，求的长． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由． （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $