精品解析：山东省广饶县第一中学2024-2025学年下学期九年级数学一模试卷

2024-2025学年第二学期九年级数学第一次限时作业 （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A 2025 B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. （） B. （） C. （x≥0，y≥0） D. 3. 如图，直线，等腰直角的两个顶点A，B分别落在直线，上，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A. B. C. D. 7. 如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ） A. （1，2） B. （1，1） C. （，） D. （2，1） 8. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AC=12，sinB=，则⊙O的半径为（ ） A. 6.5 B. 7.5 C. 8.5 D. 10 9. 如图，中，，，，点P是斜边AB上任意一点，过点P作，垂足为P，交边或边于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是　　 A. B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD的边CD与正方形CEFG的边CE重合，点O是EG的中点，∠CGE的平分线GH过点D，交BE于H，连接OH、FH、EG与FH交于M，对于下面四个结论： ①GH⊥BE； ②HO∥BG，HO=BG； ③点H不在正方形CGFE的外接圆上； ④△GBE∽△GMF． 其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8小题，其中11--14每小题3分，15--18每小题4分，共28分．） 11. 医学研究中心新发现的一种病毒的切面呈圆形，它的直径为米，这个数值用科学记数法表示为_________ 12. 分解因式：________． 13. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示： 成绩 1.50 1.60 1.65 170 1.75 1.80 人数 2 3 2 3 4 1 则这些运动员成绩的中位数为____________． 14. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 15. 如图，A是双曲线上一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是___________． 16. 如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_____． 17. 如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为__________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形．．直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将，绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为_______ 三、解答题（本大题共7小题，共62分） 19. （1） （2）先化简，再求值：，其中． 20. “中国梦”关系每个人的幸福生活，为展现巴中人追梦的风采，我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题． （1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ； （2）补全条形统计图； （3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与y轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）若P是x轴上一点，且的面积是面积的3倍，求点P的坐标． 22. 如图，是的直径，点A在上，点C在的延长线上，，平分交于点D，连接． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求的长． 23. 我市商场投产一种新型产品，每件制造成本为18元，在试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数．（利润=售价-制造成本） （1）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ （2）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？ 24. 如图，抛物线经过，，三点． （1）求抛物线解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标； （3）动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标． 25. 如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G， （1）求证：EF=EG； （2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由： （3）如图3，将（2）中“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期九年级数学第一次限时作业 （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A． 2. 下列计算正确的是（　　） A. （） B. （） C. （x≥0，y≥0） D. 【答案】D 【解析】 【详解】A．无法化简，故此选项错误； B.，故此选项错误； C．，无法计算，故此选项错误； D．，正确． 故选D． 3. 如图，直线，等腰直角的两个顶点A，B分别落在直线，上，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等． 根据等腰直角三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而可得答案． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4. 司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆心角，圆的等分，根据八个方位将圆形八等分，求出相邻两个方位间所夹的圆心角度数即可． 【详解】解：∵根据八个方位将圆形八等分， ∴邻两个方位间所夹的圆心角度数为：． 故选：B． 5. 若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式组整数解问题，解题的关键是正确求出不等式的解．分别解不等式①和不等式②，结合三个整数解直接求解即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为：， ∵整数解共有个， ∴ 故选：B． 6. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D． 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴，故A正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，故C错误； 过点E作于G，于H， ∵平分，，， ∴ ∴，故D正确； 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 7. 如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ） A. （1，2） B. （1，1） C. （，） D. （2，1） 【答案】B 【解析】 【详解】解：连接CB， ∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2， ∴A为OC的中点， ∵∠OCD＝90°， ∴∠OAB＝90°， ∴AB∥CD， ∴OB＝BD， ∵∠OCD＝90°，CO＝CD， ∴CB⊥OD，OB＝BC＝1， ∴点C的坐标为（1，1）， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 8. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AC=12，sinB=，则⊙O的半径为（ ） A. 6.5 B. 7.5 C. 8.5 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：作直径AD，连结DC，如图， ∵∠D=∠B， ∴sinD=sinB=， ∵AD为直径， ∴∠ACD=90°， 在Rt△ADC中，sinD=， ∴AD==15， ∴OA=AD=7.5， 即⊙O的半径为7.5． 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理和锐角三角函数的定义． 9. 如图，中，，，，点P是斜边AB上任意一点，过点P作，垂足为P，交边或边于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先过点C作CD⊥AB于点D，由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，可求得∠B的度数与AD的长，再分别从当0≤≤12时与当12＜x≤16时，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16， ∴∠B=60°，BC=AB=8， ∴∠BCD=30°， ∴BD=BC=4， ∴AD=AB﹣BD=12． 如图1，当0≤AD≤12时， AP=x，PQ=AP•tan30°=x， ∴y=x•x=x2； 如图2：当12＜x≤16时，BP=AB﹣AP=16﹣x， ∴PQ=BP•tan60°=（16﹣x）， ∴y=x•（16﹣x）=， 该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下， 故选D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，运用分类讨论思想、结合图形进行解题是关键. 10. 如图，正方形ABCD的边CD与正方形CEFG的边CE重合，点O是EG的中点，∠CGE的平分线GH过点D，交BE于H，连接OH、FH、EG与FH交于M，对于下面四个结论： ①GH⊥BE； ②HO∥BG，HO=BG； ③点H不在正方形CGFE的外接圆上； ④△GBE∽△GMF． 其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：（1）如图1， ∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形， ∴BC=CD，CE=CG，∠BCE=∠DCG， 在△BCE和△DCG中， ， ∴△BCE≌△DCG（SAS）， ∴∠BEC=∠BGH， ∵∠BGH+∠CDG=90°，∠CDG=∠HDE， ∴∠BEC+∠HDE=90°， ∴GH⊥BE． 故①正确； （2）∵GH是∠EGC的平分线， ∴∠BGH=∠EGH， 在△BGH和△EGH中， ， ∴△BGH≌△EGH（ASA）， ∴BH=EH， 又∵O是EG的中点， ∴HO是△EBG的中位线， ∴HO∥BG，HO=BG， 故②正确； （3）由（1）得△EHG直角三角形， ∵O为EG的中点， ∴OH=OG=OE， ∴点H在正方形CGFE的外接圆上， 故③错误； （4）如图2，连接CF， 由（3）可得点H在正方形CGFE的外接圆上， ∴∠HFC=∠CGH， ∵∠HFC+∠FMG=90°，∠CGH+∠GBE=90°， ∴∠FMG=∠GBE， 又∵∠EGB=∠FGM=45°， ∴△GBE∽△GMF． 故④正确， 故选C． 考点：四边形综合题． 二、填空题（本大题共8小题，其中11--14每小题3分，15--18每小题4分，共28分．） 11. 医学研究中心新发现的一种病毒的切面呈圆形，它的直径为米，这个数值用科学记数法表示为_________ 【答案】 【解析】 【详解】科学记数法是指将一个数字表示成 a×10 n的形式，其中1≤|a|＜10，n表示整数， =， 故答案为 . 12. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提出公因数3，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 13. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示： 成绩 1.50 1.60 165 1.70 1.75 1.80 人数 2 3 2 3 4 1 则这些运动员成绩的中位数为____________． 【答案】1.70 【解析】 【分析】本题考查了中位数，确定中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，中位数有时不一定是这组数据的数． 根据中位数的定义，结合图表信息解答即可． 【详解】把15名运动员的成绩按照从低到高排列，第8名运动员的成绩是1.70米， 所以中位数是1.70． 故答案为：1.70． 14. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的概念以及二次函数图象与坐标轴交点情况得判别式的范围；解题的关键是掌握二次函数与轴有交点得判别式大于等于0．根据二次函数定义二次项系数非0，与轴有交点，分别求解不等式取公共部分即可． 【详解】依题意得：， 解得，， 解得， 故答案为：且． 15. 如图，A是双曲线上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据点C是OA的中点，根据三角形中线的可得S△ACD = S△OCD, S△ACB = S△OCB,进而可得S△ABD = S△OBD,根据点B在双曲线上，BD⊥ y轴，可得S△OBD=4，进而即可求解． 【详解】点C是OA的中点， ∴S△ACD = S△OCD, S△ACB = S△OCB, ∴S△ACD + S△ACB = S△OCD + S△OCB, ∴S△ABD = S△OBD, 点B在双曲线上，BD⊥ y轴， ∴S△OBD=×8=4, ∴S△ABD =4, 答案为：4. 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 16. 如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得当时，最短，同样也最短，从而不难根据三角形的面积求得其值． 【详解】解：连接，如图： 在中，， ， ∴是直角三角形，且， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵M是的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样也最短， ，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，矩形的判定及性质、直角三角形的性质，解题的关键是能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段． 17. 如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点A作于点H，延长，交于点E，根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，根据等腰三角形性质得出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，根据，得出，即，求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点H，延长，交于点E，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质． 18. 如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形．．直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将，绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为_______ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且， ， 依此规律， ∴每4次循环一周， ， ， ∴点与、、同在一个象限内， 、、的横坐标分别为、、，纵坐标分别为、、 ∴点， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共62分） 19. （1） （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）（2）， 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数以及分式化简求值，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简乘方、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先通分括号内，再运算除法，化简得，把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：（1） ， （2） ， 把代入，得． 20. “中国梦”关系每个人的幸福生活，为展现巴中人追梦的风采，我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题． （1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ； （2）补全条形统计图； （3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）20，72，40；（2）作图见试题解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，根据D级的人数求得D等级扇形圆心角的度数和m的值； （2）求出等级B的人数，补全条形统计图即可； （3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】（1）根据题意得：3÷15%=20（人）， 表示“D等级”的扇形的圆心角为×360°=72°； C级所占的百分比为×100%=40%，故m=40， 故答案20，72，40． （2）故等级B人数为20﹣（3+8+4）=5（人）， 补全统计图，如图所示； （3）列表如下： 男 女 女 男 （女，男） （女，男） 女 （男，女） （女，女） 女 （男，女） （女，女） 所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，则P（恰好是一名男生和一名女生）==． 考点：1．列表法与树状图法；2．扇形统计图；3．条形统计图． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与y轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）若P是x轴上一点，且的面积是面积的3倍，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）-1≤x＜0或x≥2． （3）P（9，0）或（-9，0）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出A，B的坐标即可解决问题． （2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题． （3）根据S△AOB=S△AOC+S△BOC，求出△OAB的面积，设P（m，0），构建方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点A（-1，m），B（n，-3）， ∴-1×m=-6，-3n=-6， 解得m=6，n=2， ∴A（-1，6），B（2，-3）， 把A、B的坐标代入y=kx+b得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为y=-3x+3． 【小问2详解】 解：观察图象，不等式kx+b≤的解集为：-1≤x＜0或x≥2． 【小问3详解】 解：连接OA，OB，由可得C（0，3）， S△AOB=S△AOC+S△BOC= ×3×1+×3×2=， 设P（m，0）， 由题意•|m|•3=， 解得m=±9， ∴P（9，0）或（-9，0）． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用． 22. 如图，是的直径，点A在上，点C在的延长线上，，平分交于点D，连接． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直径对的圆周角是直角，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角为直角得到．根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到．求得．连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是的直径， ． ． ， ． ∵， ． ． ． 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：，， ． ． ∴． ． ． 如图，连接， 平分， ． ． ． 是的直径， ． ． ． 23. 我市商场投产一种新型产品，每件制造成本为18元，在试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数．（利润=售价-制造成本） （1）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ （2）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？ 【答案】（1）售单价定为25元或43元，厂商每月能获得350万元的利润；当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是万元； （2）648万元 【解析】 【分析】（1）设每月的利润为z，根据每月的利润，再把代入即可求出z与x之间的函数解析式，把代入，解这个方程即可，把函数关系式变形为顶点式运用二次函数的性质求出最值； （2）根据销售单价不能高于32元，厂商要获得每月不低于350万元的利润得出销售单价的取值范围，进而解决问题． 本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式以及利用增减性求出最值，第（3）小题关键是确定x的取值范围． 【小问1详解】 解：设每月的利润为z， 依题意， ∴z与x之间的函数解析式为； 把代入得， 解这个方程得，， ∴销售单价定为25元或43元，厂商每月能获得350万元的利润； 则， ∵ ∴当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是万元； 【小问2详解】 解：结合（1）及函数的图象（如图所示）可知， 当时， ∵这种电子产品的销售单价不能高于32元， 得， ∵中的， ∴得中y随x的增大而减小， ∴当时，每月制造成本最低．最低成本是（万元）， ∴制造出这种产品每月最低制造成本需要648万元． 24. 如图，抛物线经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标； （3）动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的解析式，二次函数的面积和线段综合，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所求二次函数的解析式为，再把，，代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，即可求a、b、c，进而可得函数解析式． （2）连接，交对称轴于P，P即为使的值最小，设直线的解析式，把B、C的坐标代入即可求得系数，进而求得解析式，令时，即可求得P的坐标． （3）先分析出四边形ACMB面积，结合是一个定值，故要使四边形ACMB面积最大，则的面积最大，再整理得，结合二次函数的图象性质，得开口向下，当时，有最大值，然后求出点M的纵坐标，即可作答． 【小问1详解】 解：设所求二次函数的解析式为， 把，，代入得 ， 解得， ∴这个二次函数的解析式是：． 【小问2详解】 解：∴， ∴抛物线的对称轴为， 连接，如图所示： 设直线的解析式为， ∴ 解得， ∴直线的解析式为， 当时， ， ∴P点的坐标为； 【小问3详解】 解：过点作轴，分别与轴和交于点，连接，如图所示： 则四边形ACMB面积， ∵是一个定值， ∴要使四边形ACMB面积最大，则的面积最大， 设， 则， ∴． 则 ∵ ∴开口向下，当时，有最大值， ∴即时，四边形ACMB面积最大， 此时把代入， 得， ∴． 25. 如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G， （1）求证：EF=EG； （2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由： （3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）成立．理由见解析 （3）． 【解析】 【分析】(1)由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性质，可利用ASA证得Rt△FED≌Rt△GEB，则问题得证； (2)首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、P，然后利用ASA证得Rt△FEI≌Rt△GEH，则问题得证； (3)首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】解：（1）∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90° ∴∠DEF=∠GEB， 又∵ED=BE ∴Rt△FED≌Rt△GEB（ASA） ∴EF=EG； （2）成立， 证明如下： 如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，则EH=EI，∠HEI=90°， ∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90° ∴∠IEF=∠GEH， ∴Rt△FEI≌Rt△GEH（ASA）， ∴EF=EG； （3）如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，则∠MEN=90°， ∴EM∥AB，EN∥AD， ∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB， ∴， ， ∴即， ∵∠NEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°， ∴∠GEM=∠FEN， ∵∠GME=∠FNE=90°， ∴△GME∽△FNE， ∴， ∴． “点睛”此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$