小升初专题训练：规律探索（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学 苏教版

小升初专题训练：规律探索 一、填空题 1．黑珠白珠一共103颗穿成一串，排列如图：○○●○○○●○○○●○○○……，这串珠子中，白珠一共( )颗。 2．相同的小棒按如图所示方式摆图形。 摆第6个图形需要( )根小棒，摆n个需要( )根小棒。76根小棒摆出的图形有( )个这样的六边形。 3．古希腊数学家把有一定规律的一组数1，3，6，10，15，21，叫作三角形数，则第9个三角形数和第8个三角形数的差为( )。 4．有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34…从第3个数开始，每一个数都是它前面2个数的和。那么在前2008 个数中有( )个奇数。 5．如果8支球队采用淘汰赛，决出冠军，一共赛________场． 6．把相同规格的小长方形（黑长方形和白长方形）按规律排列（如图），照此规律，当刚好出现第7个黑长方形时，黑长方形的个数占小长方形总个数的( )。 7．小华用边长1厘米的正方形纸片分别摆出下面的图形，按这样摆下去，第6个图形要用( )个边长1厘米的正方形，它的周长是( )厘米。 8．如下图，若每个小正方体的棱长都是1厘米，第2个图形的表面积是( )平方厘米，第n个图形一共需要( )个小正方体． 9．观察规律填空：1×9＋2＝11，12×9＋3＝111，123×9＋4＝1111，1234×9＋5＝( )，( )×9＋8＝11111111。 二、选择题 10．小卖部规定：每四个空汽水瓶可换一瓶汽水，李磊如果买了九瓶汽水，那么他最多可以喝（    ）瓶汽水。 A．10 B．11 C．12 D．13 11．如下图，用同样的小棒摆图形，照这样摆下去，摆第6幅图需要（     ）根小棒。 A．45 B．54 C．63 D．108 12．联欢会前，王老师按照“3个红气球、2个黄气球、1个绿气球”的顺序把气球挂起来装饰教室，则第17个气球是（     ）． A．红气球 B．黄气球 C．绿气球 D．不能确定 13．已知一个由50个奇数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出这四个数的和，在下列给出的备选答案中，有可能是这四个数的和的是（    ）。 A．114 B．122 C．220 D．84 14．阅览室的书桌摆放如下图，如果长桌单独摆放时，最多可以坐6人；并排摆放两张长桌时，最多可以坐10人；如果像这样摆m张书桌，最多可以坐（    ）人。 A．4m＋1 B．4m＋2 C．5m＋1 D．5m＋2 三、解答题 15．先阅读理解，再解决问题。 在分数四则运算中，有一些奇妙的规律，掌握这些规律，能让我们灵活解决一些实际问题。比如： ，而，所以有； ，而，所以有； ，而，所以有；… (1)根据发现的规律，写出一道这样的等式。 －＝× (2)请你利用这一规律，计算下面算式。 16．观察下列等式与图形的关系，根据规律，回答下列问题： 第1个等式：→ 第2个等式：→ 第3个等式：→ （1）写出第4个等式，并涂出与之对应的图示。 第4个等式：（      ）→ （2）猜一猜，第N个等式是（      ）。 17．仔细观察下面的点子图，根据每个图中点子的排列规律，想一想，可以怎样计算每个图中点子的总个数？请你把下表填写完整。 序号 1 2 3 4 5 … 表示点子数的算式 1 1＋4 … 点子的总个数 1 … 观察表中数据，如果用A表示第n个图形中点子的总个数，A和n之间的关系可以表示成A＝_________。 18．观察下面图与算式的规律并解决问题。              （     ＝     ） （1）根据前三幅图与算式的规律，写出第四幅图下面的等式。 （2）根据以上观察，（    ）。 19． 图形          …… 小棒根数 6 11 16 …… （1）照这样的摆法，摆12个这样的六边形需要多少根小棒？ （2）你能用一个式子表示出小棒的根数吗？ 小棒的根数＝______________。 20．如图，大正方形的边长是8米，把它平均分成两份得到一个长方形①，剩下的再平均分，得到一个正方形②，按照这个方法一直分下去……把图形①至⑤都涂成阴影， c （1）它们的面积和，列式是：（    ）＋（    ）＋（    ）＋（    ）＋（    ）；求和的简便方法是（               ）。 （2）根据此题的简便思路，简便计算下题：256＋128＋64＋32＋16＋8＋4＋2＋1。 第6页，共6页 第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．77 【分析】这是周期问题，把开头的两颗白珠子去掉，剩下的珠子以4颗为1个周期，一共可以分成（103－2）÷4＝25（组）……1（颗）。余1颗是下周期的第一颗，是黑珠；每组有3颗白珠，25组共有75颗，最后加上开头的2颗即可。 【详解】（103－2）÷4＝25（组）……1（颗） 25×3＋2＝77（颗） 【点睛】本题考查周期问题，发现排列规律是解题的关键。 2． 31 5n＋1 15 【分析】根据图示，摆1个图形需要小棒6根，可以写成：5×1＋1；第二个图形需要小棒11根，可以写成：5×2＋1；第三图形需要小棒16根，可以写成：5×3＋1；……；由此可知，当第n个图形需要小棒：（5×n＋1）根；由于有76根小棒，那么用（总的小棒数量－1）÷5即可求出有多少个这样的六边形，据此解答。 【详解】摆1个图形需要小棒： 5×1＋1 ＝5＋1 ＝6（根） 摆2个图形需要小棒： 5×2＋1 ＝10＋1 ＝11（根） 摆3个图形需要小棒： 5×3＋1 ＝15＋1 ＝16（根） 摆n个图形需要小棒： 5×n＋1 ＝（5n＋1）根 当n＝6时： 5×6＋1 ＝30＋1 ＝31（根） （76－1）÷5 ＝75÷5 ＝15（个） 摆第6个图形需要31根小棒，摆n个需要（5n＋1）根小棒。76根小棒摆出的图形有15个这样的六形。 【点睛】本题考查图形的变化规律，注意培养观察能力和总结能力。 3．9 【分析】根据条件第二个比第一个大2，第三个比第二个大3，第四个比第三个大4，依此类推，可以得到：第n个比第n－1个大n。 【详解】由分析可知；当n等于9时，第9个三角形数和第8个三角形数的差为9。 【点睛】此题考查数字的变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题。 4．1339 【分析】首先根据已知条件在数列中找到其规律，其规律为奇数，奇数，偶数的顺序循环重复排列的。每一组循环中有2个奇数和1个偶数。据此即可解答。 【详解】找到其规律，其规律为奇数，奇数，偶数的顺序循环重复排列的 2008÷3＝669……1 669×2＋1 ＝1338＋1 ＝1339（个） 【点睛】此题考查数列中的规律，正确找到数列中奇偶数的排列规律是解题的关键。 5．7 【详解】略 6．/0.25 【分析】观察图形排列规律，可发现是按照“1个黑长方形，n个白长方形”这样的顺序循环排列，其中n依次从1开始递增。当出现第7个黑长方形时，需要先确定此时白长方形的个数。前面6个黑长方形对应的白长方形个数分别是1、2、3、4、5、6个，然后用黑长方形的个数除以此时小长方形（黑长方形与白长方形总和）的总个数，就能得到黑长方形个数占小长方形总个数的比例。 【详解】7÷（7＋1＋2＋3＋4＋5＋6） ＝7÷（8＋2＋3＋4＋5＋6） ＝7÷（10＋3＋4＋5＋6） ＝7÷（13＋4＋5＋6） ＝7÷（17＋5＋6） ＝7÷（22＋6） ＝7÷28 ＝ ＝0.25 黑长方形的个数占小长方形总个数的或0.25。 7． 36 34 【分析】仔细观察给出的图形，并结合图中的层数、正方形的个数和周长，可以发现：正方形的个数＝层数×层数；周长＝6×层数－2；据此解答即可。 【详解】6×6＝36（个） 6×6－2 ＝36－2 ＝34（厘米） 第6个图形要用36个边长1厘米的正方形，它的周长是34厘米。 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键是根据图示发现这组图形的规律，利用规律做题。 8． 18 n2 【详解】略 9． 11111 1234567 【分析】通过分析已给出的式子发现：第一个乘数是从1开始的连续自然数组成的数，位数＝后面的加数－1。加数是几，结果就是几个1组成的数；据此解答。 【详解】根据分析： 1234×9＋5＝11111，1234567×9＋8＝11111111。 10．C 【详解】每四个空瓶换一瓶汽水，可以先换两瓶，加上自己还有1瓶，这是缺一瓶可再换购，先问店家借一瓶，再把后来换购到的还掉。 11．C 【分析】图形是多个三角形组合而成，需要找出新图形小棒的根数，从上向下一层观察，我们发现第2图比第1图多了2个完全不共用小棒的三角形，第3图比第2图多了3个完全不共用小棒的三角形，1个三角形有三根小棒，先求出每图有几个小棒不共用的三角形，再求棒数即可。 【详解】第1图有1个三角形，有1×3＝3根小棒； 第2图有1＋2＝3个小棒不共用的三角形，共有（1＋2）×3＝9根小棒； 第3图有1＋2＋3＝6个小棒不共用的三角形，共有（1＋2＋3）×3＝18根小棒； 第6图有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21个小棒不共用的三角形，共有（1＋2＋3＋4＋5＋6）×3＝63根小棒。 故答案为：C 12．B 【详解】略 13．B 【分析】根据题意可知，设框住的四个数中，第二行中间数为x，则第一行为（x－10）。第二行第1个为（x－2），第二行第3个为（x＋2）。四个数的和为x＋（x－10）＋（x－2）＋（x＋2），化简为（4x－10）；据此依次列方程为4x－10＝114，4x－10＝122，4x－10＝220，4x－10＝84，分别推出每个选项的第二行中间数是否符合即可。 【详解】解：设第二行中间数为x，则第一行为（x－10）。第二行第1个为（x－2），第二行第3个为（x＋2）。 x＋（x－10）＋（x－2）＋（x＋2） ＝x＋x－10＋x－2＋x＋2 ＝4x－10 A．4x－10＝114 解：4x－10＋10＝114＋10 4x＝124 4x÷4＝124÷4 x＝31 31在第4行第1列，不可能为第二行中间数。 B．4x－10＝122 解：4x－10＋10＝122＋10 4x＝132 4x÷4＝132÷4 x＝33 这四个数的和有可能是122。 C．4x－10＝220 解：4x－10＋10＝220＋10 4x＝230 4x÷4＝230÷4 x＝57.5 57.5不是整数；不符合题意； D．4x－10＝84 解：4x－10＋10＝84＋10 4x＝94 4x÷4＝94÷4 x＝23.5 23.5不是整数；不符合题意。 有可能是这四个数的和的是122。 故答案为：B 14．B 【分析】通过观察图形可知，1张桌子可以坐6人，2张桌子可以坐（6＋4）人，3张桌子可以坐（6＋4＋4）人，……多一张桌子多坐4人，以此类推，m张桌子可以坐[6＋4（m－1）]人。据此解答。 【详解】m张桌子可以坐： 6＋4（m－1） ＝6＋4m－4 ＝（2＋4m）人 m张桌子可以坐（2＋4m）人。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。 15．(1) (2) 【分析】（1）观察题目中给出的例子，发现规律：对于连续正整数n和n＋1，＝×，据此写出类似的等式。 （2）利用发现的规律，将每个乘法转化为差的形式，然后通过加减抵消简化计算。 【详解】（1），而，所以有； ，而，所以有； ，而，所以有；… 所以＝×，取n＝5，则： ＝，即（答案不唯一） （2） ＝ ＝ ＝ ＝ 16．（1）4×＝4；见详解 （2）N×＝N 【分析】（1）观察已知的3个等式可发现规律：整数n乘分数的结果等于n减，因此第4个等式是4×＝4，对应图示：将大长方形分成5行4列，涂满4行（表示的4倍，即涂4个 “”对应的区域）。 （2）第N个等式则是N×＝N。 【详解】（1）4×＝4 （2）N×＝N 17． 1＋2×4 1＋3×4 1＋4×4 5 9 13 17 4n－3 【分析】通过观察发现，第一个图的点子数是1，第二个图的点子数是1＋4＝5，第三个图的点子数是1＋2×4＝9，第4个图的点子数是1＋3×4＝13，第五个图的点子数是1＋4×4＝17，由此可知用A表示第n个图形中点子的总个数，A和n之间的关系可以表示成A＝4n－3，据此解答即可。 【详解】如图： 序号 1 2 3 4 5 … 表示点子数的算式 1 1＋4 1＋2×4 1＋3×4 1＋4×4 … 点子的总个数 1 5 9 13 17 … 由分析可得：A＝1＋4（n－1）＝4n－3 【点睛】此题主要考查学生根据图形规律，归纳出规律关系式，然后进行代数解答。 18．（1）62－52＝6＋5 （2）2n＋1 【分析】（1）第一幅图形算式为：22－12＝2＋1；第二幅图形算式为：32－22＝3＋2；第三幅图形算式为：42－32＝4＋3；由此可得：两个相邻数的平方差等于这两个数的和，且第几幅图，减数就是几的平方，由此写出第四幅图形的算式； （2）再根据规律算出（n＋1）2－n2的结果即可。 【详解】（1）第一幅图形算式为：22－12＝2＋1； 第二幅图形算式为：32－22＝3＋2； 第三幅图形算式为：42－32＝4＋3 …… 第四幅图形算式为：62－52＝6＋5 （2）（n＋1）2－n2 ＝n＋1＋n ＝2n＋1 （n＋1）2－n2＝＝2n＋1 【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解答本题的关键。 19．（1）50根；（2）2＋4n（n表示第n个图形） 【分析】观察图形以及其小棒根数可知： 摆第1个图形需要（2＋4×1）根小棒； 摆第2个图形需要（2＋4×2）根小棒； 摆第3个图形需要（2＋4×3）根小棒； 以此类推 …… 摆第12个图形需要（2＋4×12）根小棒； …… 摆第n个图形需要（2＋4n）根小棒。 【详解】（1）2＋4×12 ＝2＋48 ＝50（根） 答：需要50根小棒。 （2）小棒的根数＝2＋4n（n表示第n个图形）（答案不唯一） 用式子表示为小棒的根数＝2＋4n（n表示第n个图形）。 【点睛】本题的关键是要找到图形的小棒根数变化部分的共同点，以此推断出其规律。 20．（1）32；16；8；4；2；64×（＋＋＋＋） （2）511 【分析】（1）根据已知数据，分别求出图形①至⑤的长与宽（或边长），带入长方形、正方形面积公式求出面积，再求和即可；通过计算可知：①的面积是大正方形的面积的一半；②的面积是①的面积的一半；……；⑤的面积是④的面积的一半；由此得出简便方法； （2）根据（1）中简便方法计算即可。 【详解】（1）①的面积：8×4＝32（平方米），是大正方形面积的； ②的面积：4×4＝16（平方米），是大正方形面积的； ③的面积：4×2＝8（平方米），是大正方形面积的； ④的面积：2×2＝4（平方米），是大正方形面积的； ⑤的面积：1×2＝2（平方米），是大正方形面积的； 它们的面积和列式是：32＋16＋8＋4＋2 由分析可知：①的面积是大正方形的面积的一半；②的面积是①的面积的一半；……；⑤的面积是④的面积的一半；据此可得求和的简便方法是：64×（＋＋＋＋） （2）256＋128＋64＋32＋16＋8＋4＋2＋1 ＝256×2×（＋＋＋＋＋＋＋＋） ＝512×（1－） ＝512× ＝511 【点睛】本题主要考查通过实验操作探索规律，解题的关键是找出求和的简便方法。 答案第6页，共10页 答案第5页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $