精品解析：青海海东市平安区第二中学2025-2026学年第二学期第一次学业水平检测八年级数学试卷

2025—2026学年第二学期第一次学业水平检测 八年级数学试卷 一、单选题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的定义． 需依据“形如（），根指数为2且被开方数非负”的特征判断选项． 【详解】解：A选项：的被开方数，式子无意义，不是二次根式； B选项：的根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式； C选项：中，当时，，式子无意义，不一定是二次根式； D选项：的根指数为3，是三次根式，不是二次根式； 故选：B． 2. 下列各组数为勾股数的是（ ） A. 8，15，17 B. 3，5， C. D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】勾股数是满足的三个正整数，只需根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：∵勾股数的定义为：三个正整数，若满足，则这组数是勾股数． 选项A中，均为正整数，且，满足定义，故A是勾股数． 选项B中，不是正整数，不满足勾股数定义，故不是勾股数． 选项C中，不是正整数，不满足勾股数定义，故不是勾股数． 选项D中，不是正整数，不满足勾股数定义，故不是勾股数． 3. 下列二次根式化成最简二次根式以后，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简各选项为最简二次根式，根据其被开方数是否与的被开方数相同即可解答． 【详解】解：A、，被开方数为2，能与合并，不符合题意； B、，被开方数为2，能与合并，不符合题意； C、，被开方数为3，不能与合并，符合题意； D、，被开方数为2，能与合并，不符合题意． 4. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，树干顶部落在与树干底部距离4米处，这棵大树在折断前的高度为（ ）米 A. 8 B. 7 C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意得：折断处到树干底部的长度为3米， 折断处到树干顶部落的长度为（米）， 则这棵大树在折断前的高度为（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 5. 如图所示的一只玻璃杯，高为8厘米，将一根筷子插入其中，伸出杯外最长4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是多少厘米（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】设玻璃杯的内径为  厘米，根据筷子竖直插入杯中时，在杯内长度8厘米，斜插入杯中，底端在杯底边缘，上端靠在对面杯口边缘时，在杯中长度为10厘米．利用勾股定理求出玻璃杯的内径． 【详解】解：由题意可知，筷子竖直插入杯中时，在杯内长度最短，等于杯子高度，为8厘米； 筷子斜插入杯中，底端在杯底边缘，上端靠在对面杯口边缘时，在杯中长度最长，为（厘米）． 设玻璃杯的内径为  厘米， 根据勾股定理得：， 解得 （负值舍去）． 6. 如图，字母b的取值如图所示，化简的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得：，从而可得，，然后根据绝对值的意义，二次根式的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴，， ∴ ． 7. 如图，在中，，，以点B为圆心，为半径画弧交数轴于点A．点O为原点，点A所表示的数为a，则a的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出的长，进而可求出A点表示的数． 【详解】解：∵， ∴． ，， ∴， ， 点表示的数是． 8. 如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到，设，在中结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即． 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9. 当时，二次根式的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义． 将把代入，再化简即可． 【详解】解：把代入得： 原式； 故答案为：． 10. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件．根据分式的分母不为0，分式有意义，被开方数大于或等于0，二次根式有意义，列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意：， 解得：且， 故答案为：且． 11. 写出一个大于2的最简二次根式______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴大于2的最简二次根式可以为， 故答案为：（答案不唯一） 12. 已知，，那么的值为___________． 【答案】24 【解析】 【分析】先将运用完全平方公式变形为，再将，代入并结合平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 当，时， ． 13. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 14. 若是整数，则正整数n的最小值是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，算术平方根，解题关键是根据正整数，确定整数n的最小值即可． 【详解】解：∵，且是整数， ∴正整数n的最小值是3． 故答案为：3 15. 已知一个直角三角形的三边长分别为，，，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得为最长边，即斜边，和为两直角边，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵一个直角三角形的三边长分别为，，， ∴为最长边，即斜边，和为两直角边， 由勾股定理可得：， 整理可得， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴． 16. 以一个正方形的一边为斜边，向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边向外作正方形，然后又以正方形的边向外作直角三角形，依次循环，就得到一棵美丽的“勾股树”．如图是一棵“勾股树”的一部分，已知，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意得，，所以，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 【小问3详解】 解：原式． 【小问4详解】 解：原式 ． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】． 【解析】 【分析】根据非负数的性质先求解，再化简代数式，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴且且， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查的是非负数的性质，算术平方根的非负性的应用，求解代数式的值，整式的加减运算，根据非负数的性质求解是解本题的关键． 19. 在数轴上画出表示的点．（只作图，不用写过程） 【答案】见详解 【解析】 【分析】因为，则首先作出以1和4为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是．再以原点为圆心，以为半径画弧，和数轴的正半轴交于一点即可． 【详解】解：因为，则首先作出以1和4为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是． ． 20. 已知，，为的三边长．化简：． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形三边关系判断根号内式子的正负，再利用二次根式的性质化简，去绝对值后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵，，为的三边长， 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可得， ∴， ∴ ． 21. 如图，一根长的竹竿，斜靠在一竖直的墙上，这时为，杆子的顶端沿墙下滑．求梯子底端外移的距离（的长）？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长度，进而即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， ， ， 在中，， ∴， ． 答：梯子底端外移的距离为． 22. 如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴影部分作为草坪，已知，，．根据规划要求，．，求阴影部分的面积． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理计算出，再根据逆定理判断出，利用作差法求出阴影面积即可． 【详解】解：在直角中，， ∴， ∵， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， ∴． 23. 有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】5米 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，根据题意，四边形是矩形，设，则，，在中，，，代入计算即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中，，， ∴， 解得， 答：绳索的长度米． 24. 如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，于点，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理求出，再由三角形面积求出． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵， ∴的面积=， ∴ 25. 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实可以将其进一步化简：．以上这种化简的过程叫作分母有理化． （1）填空：______；______． （2）化简：． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式即可完成化简， （2）先对每一项进行分母有理化，再通过抵消中间项计算最终结果，正确进行分母有理化是解题的关键． 【小问1详解】 解： ． ． 【小问2详解】 原式 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期第一次学业水平检测 八年级数学试卷 一、单选题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数为勾股数的是（ ） A. 8，15，17 B. 3，5， C. D. ，， 3. 下列二次根式化成最简二次根式以后，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，树干顶部落在与树干底部距离4米处，这棵大树在折断前的高度为（ ）米 A. 8 B. 7 C. 5 D. 3 5. 如图所示的一只玻璃杯，高为8厘米，将一根筷子插入其中，伸出杯外最长4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是多少厘米（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 如图，字母b的取值如图所示，化简的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 3 7. 如图，在中，，，以点B为圆心，为半径画弧交数轴于点A．点O为原点，点A所表示的数为a，则a的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9. 当时，二次根式的值为_________． 10. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 11. 写出一个大于2的最简二次根式______．（写出一个即可） 12. 已知，，那么的值为___________． 13. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 14. 若是整数，则正整数n的最小值是_____． 15. 已知一个直角三角形的三边长分别为，，，的值为______． 16. 以一个正方形的一边为斜边，向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边向外作正方形，然后又以正方形的边向外作直角三角形，依次循环，就得到一棵美丽的“勾股树”．如图是一棵“勾股树”的一部分，已知，，，则______． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 已知，求代数式的值． 19. 在数轴上画出表示的点．（只作图，不用写过程） 20. 已知，，为的三边长．化简：． 21. 如图，一根长的竹竿，斜靠在一竖直的墙上，这时为，杆子的顶端沿墙下滑．求梯子底端外移的距离（的长）？ 22. 如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴影部分作为草坪，已知，，．根据规划要求，．，求阴影部分的面积． 23. 有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 24. 如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，于点，求的长． 25. 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实可以将其进一步化简：．以上这种化简的过程叫作分母有理化． （1）填空：______；______． （2）化简：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $