精品解析：辽宁阜新市实验中学2025-2026学年九年级下学期3月限时作业数学试卷

九年级数学限时作业 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，6710亿， 故选：B 2. 在研究数学的过程中有许多优美图形，我们用曲线感受数学的形状，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法分别计算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，该选项正确，符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 4. 将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，点P恰好落在x轴上，则点P的坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移的规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 由点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，知点P坐标为，再根据点P正好落在x轴上知，得出m的值，据此可得答案． 【详解】解：将点向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度得到点P， 则点P坐标为， 由点P正好落在x轴上知， 解得， 则， 点P坐标为， 故选： 5. 将去掉一个正方体后，从左边看到的图形不可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是从左边看图形，解题关键是理解不同角度看立方体会得到不同的图形． 想象去除某一正方体后，从左边看得到的图形，对选项逐个排除即可得解． 【详解】解：选项，去掉上面的小正方体后，从左边看到的图形即为选项； 选项，去掉前面一行的小正方体后，从左边看到的图形即为选项； 选项，去掉后面一行右边的小正方体后，从左边看到的图形即为选项； 选项，无法通过去掉一个正方体，从左边看得到选项． 故选：． 6. 元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，用x分别表示出剩下锦的长度和每尺锦的价格，再根据“总售价长度单价”列方程即可． 【详解】解：∵设这匹锦的长为尺，且这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七， ∴每尺锦的价格为文； ∵先卖掉三尺， ∴剩下的锦长度为尺； ∵剩下的锦总售价为文，总售价长度单价， ∴列方程得． 7. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况， ∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为， 故选：A． 【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键． 8. 如图，，点在上，交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质，得到，根据直角三角形的性质，得，解答即可． 本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 9. 如图， 在矩形中， E、F分别是边的中点， G为边上的一点， 将矩形沿翻折使得点A落在上， 点A对应点为点． 若， 则四边形的面积为（ ） A. 9 B. C. 15 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，连接，根据翻折的性质，可得到是等边三角形，可得到，根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在矩形中，E、F分别是边的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， 由折叠可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴ ，  故选：B． 10. 如图，在中，，分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于E，交于D，连接．若，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的作法和性质，含角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 通过线段垂直平分线的性质得出，通过含角的直角三角形的性质和勾股定理求出相关角的度数和边长，然后得出为等边三角形，即可求解． 【详解】解：通过尺规作图操作可知，直线垂直平分线段， ， ∵，，即， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， 点为斜边上的中点， ∴， ∴为等边三角形， ， 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款100元记作元，那么向商家付款50元记作______． 【答案】元 【解析】 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若二维码收款用“”表示，那么向商家付款就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：若使用二维码收款100元记作元，那么向商家付款50元记作元， 故答案为：元． 12. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环）如表所示： 甲 乙 丙 丁 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择______  ． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差和平均数，掌握相关知识点是解题的关键． 根据平均数比较成绩优劣，再根据方差比较稳定性，即可求解． 【详解】解：甲和乙的平均成绩均为环，高于丙和丁的环，因此应从甲和乙中选择， 乙的方差为，小于甲的方差，因此乙发挥更稳定，故选择乙． 故答案为：乙． 13. 如图是“神舟十四号”载人航天飞船搭载的机械臂，可以在天宫空间站外进行维修作业．如图是处于工作状态的机械臂示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，工作时，机械壁伸展到．则、两点之间的距离为________．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】6.7 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，先作辅助线，在中，求出 ，，然后根据勾股定理求出答案即可． 【详解】过点A作，交的延长线于点D，连接． ∵， ∴． 在中，，，， 解得（m），（m）， ∴（m）． 在中，（m）． 故答案为：6.7． 14. 在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率f（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长l为时，测得振动频率f为，则当振动弦长为时，振动频率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据待定系数法求出k的值，再代入计算即可． 【详解】解：设，当f为240赫兹，长度为米， ∴，即， 当时，． 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，分别为，的中点，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角形中位线定理和勾股定理，熟练掌握菱形对角线互相垂直平分的性质以及中位线定理是解题的关键．先利用菱形对角线的性质求出线段长度，再通过构造中位线得到相关线段的长度，最后用勾股定理计算的长． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点是的中点，， ∴， ∴点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵是中点， ∴，， ∴根据勾股定理，得． 故答案为：． 三、解答题（16题10分，17题18题19题每题8分，20题9分，21题22题10分，23题12分） 16. 计算 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据乘方，负整数指数幂，零指数幂，结合有理数的混合运算法则进行计算即可； （2）先通分计算括号里的，将乘法转换为除法，再进行约分即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 【点睛】本题考查了乘方，负整数指数幂，零指数幂，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 17. 为有效落实好个人防护措施，当好自己健康的第一责任人，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，小明从药店得知，购买2包口罩和3包酒精湿巾，共需19元．购买5包口罩和1包酒精湿巾，共需28元． （1）求每包口罩和每包酒精湿巾的单价； （2）妈妈给了小明50元钱的预算，需要购买此口罩和酒精湿巾共13包，小明最多可以购买口罩多少包？ 【答案】（1）每包口罩的单价为5元，每包酒精湿巾的单价为3元 （2）小明最多可以购买口罩5包 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设每包口罩的单价为x元，每包酒精湿巾的单价为y元，根据购买2包口罩和3包酒精湿巾，共需19元．购买5包口罩和1包酒精湿巾，共需28元建立方程组求解即可； （2）设小明购买口罩m包，则购买酒精湿巾包，根据总购买费用不超过50元建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每包口罩的单价为x元，每包酒精湿巾的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：每包口罩的单价为5元，每包酒精湿巾的单价为3元； 【小问2详解】 解：设小明购买口罩m包，则购买酒精湿巾包， 由题意得，， 解得， ∵m为非负整数， ∴m的最大值为5， 答：小明最多可以购买口罩5包． 18. 学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如下不完整的统计表和统计图． 借阅图书的次数/次 0 1 2 3 4及以上 人数/人 7 13 a 10 3 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1） ， ； （2）该调查统计数据的中位数是 ； （3）若学校共有4000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数． 【答案】（1）17，20； （2）2次； （3）240人． 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，中位数，熟知相关知识是解题的关键． （1）用1次的人数除以其人数占比求出参与调查的人数，进而可求出a、b的值； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）用4000乘以样本中学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：名， ∴这次一共调查了50名学生， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：把这50人一周内借阅图书的次数按照从低到高排列，中位数为第25名和第26名次数的平均数， ∵， ∴第25名和第26名次数都为2次， ∴该调查统计数据的中位数是次； 【小问3详解】 解：名， 答：估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为240名． 19. 【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 刹车后行驶的距离 发现：①开始刹车后行驶的距离(单位：)与刹车后行驶的时间(单位：)之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求关于的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)； （2）若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】（1） （2）会撞到，理由见解析 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）将解析式配方可得当时，汽车停下，进而结合题意判断即可求解． 【小问1详解】 解：设关于的函数解析式为， 将，，代入得，，解得：． 关于的函数解析式为； 【小问2详解】 由（1）得关于的函数解析式为， ， 当时，汽车停下，， ， 该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车． 20. 如图．在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点．点关于直线的对称点为，连接． （1）求证：． （2）设点的坐标为（0，m），当时，线段与线段相交于点，求四边形面积关于的解析式． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质．求得四边形面积关于的二次函数的解析式是解题的关键． （1）先求得，，得到，，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立； （2）由题意得，，根据折叠的性质得，，利用等腰直角三角形的判定和性质求得，再利用梯形的面积公式求得四边形面积关于的二次函数解析式即可． 【小问1详解】 证明：对于直线， 令，则；令，则． ，， ． ， ； 【小问2详解】 解：点的坐标为， ． 点关于直线的对称点为， ． ． ， ， ． ， ， ． ． 21. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接．由直径所对的圆周角等于90度得出，再由三线合一即可证明． （2）连接，先求出，由等边对等角以及三角形内角和定理得出，最后根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 证明；如图，连接． ∵是的直径， ∴，即． 又∵， ∴是边上的中线， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴的长为：． 22. 按要求作答 （1）如图1，在与中，，，，如图2，将图1中的绕着点B逆时针旋转得到，当点D的对应点在线段的延长线时，与相交于点E，连接，若，，求线段的长； （2）如图3，将直角△ABC绕着点A顺时针旋转得到，，点M为线段中点，连接，当点C的对应点在线段的延长线时，连接，的延长线与相交于点N，请回答下列问题： ①求证：点N为中点； ②若，，求出的面积． 【答案】（1） （2）①见解析 ② 【解析】 【分析】（1）先推导出，过点作交于点H，得到四边形为矩形，证，最后在中，由勾股定理即可求出； （2）①连接，过作交于点H，先证明，，，四边形为矩形，最后根据等腰三角形“三线合一”证得点N为中点；②由①可知，，，求得 ，根据勾股定理求出，从而求得，再证，从而求得，最后根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：如图1， 在与中 ， ， ， 如图2， 过点作交于点H， ∴， 旋转得到， ， ∴，，，， ， 四边形为矩形， ，， ∵，， ， ， 即 ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：； 【小问2详解】 解：①连接，过作交于点H， 直角绕着点A顺时针旋转得到， ，，，， ∴，， ， ， 点M为线段中点，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为矩形， ， 又， ， 点N为中点； ②，，， ∴，， 由①可知，，， 又， ， ， ， ， ∵四边形为矩形， ∴， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 的面积为． 23. 定义：在平面直角坐标系中，是自变量的函数，下面构建一个新函数，当时，，当时，，即，将变换后函数称为原函数的变构函数，例如二次函数的变构函数为． （1）求一次函数的变构函数的函数表达式； （2）点在反比例函数，的变构函数图像上，求n的值； （3）函数的解析式，点的坐标分别为，，连接，线段与二次函数的变构函数的图像只有一个公共点时，直接写出a的值或取值范围． 【答案】（1） （2）的值为3或−3 （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据新函数规定进行求解； （2）根据规定求出变构函数，然后分两种情况进行求解； （3）根据题意画出图形，然后分四种情况进行求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数的变构函数为； 【小问2详解】 解：反比例函数的变构函数为， 当时， ， 解得，符合题意； 当时， ， 解得，符合题意； ∴的值为或； 【小问3详解】 解：二次函数的变构函数， 如图， 当经过点时， ，解得； 当经过点时， ，解得； 当顶点在上时，即点在上， ∴； 当与轴交点在上时，即在上， ∴， ∴， ∴线段与二次函数的变构函数的图象只有一个公共点时，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学限时作业 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 在研究数学的过程中有许多优美图形，我们用曲线感受数学的形状，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，点P恰好落在x轴上，则点P的坐标是（    ） A. B. C. D. 5. 将去掉一个正方体后，从左边看到的图形不可能是（ ）． A. B. C. D. 6. 元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，点在上，交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图， 在矩形中， E、F分别是边的中点， G为边上的一点， 将矩形沿翻折使得点A落在上， 点A对应点为点． 若， 则四边形的面积为（ ） A. 9 B. C. 15 D. 10. 如图，在中，，分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于E，交于D，连接．若，，则（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款100元记作元，那么向商家付款50元记作______． 12. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环）如表所示： 甲 乙 丙 丁 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择______  ． 13. 如图是“神舟十四号”载人航天飞船搭载的机械臂，可以在天宫空间站外进行维修作业．如图是处于工作状态的机械臂示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，工作时，机械壁伸展到．则、两点之间的距离为________．（结果精确到，参考数据：，，，） 14. 在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率f（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长l为时，测得振动频率f为，则当振动弦长为时，振动频率为__________． 15. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，分别为，的中点，连接，则的长为________． 三、解答题（16题10分，17题18题19题每题8分，20题9分，21题22题10分，23题12分） 16. 计算 （1）； （2） 17. 为有效落实好个人防护措施，当好自己健康的第一责任人，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，小明从药店得知，购买2包口罩和3包酒精湿巾，共需19元．购买5包口罩和1包酒精湿巾，共需28元． （1）求每包口罩和每包酒精湿巾的单价； （2）妈妈给了小明50元钱的预算，需要购买此口罩和酒精湿巾共13包，小明最多可以购买口罩多少包？ 18. 学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如下不完整的统计表和统计图． 借阅图书的次数/次 0 1 2 3 4及以上 人数/人 7 13 a 10 3 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1） ， ； （2）该调查统计数据的中位数是 ； （3）若学校共有4000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数． 19. 【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 刹车后行驶的距离 发现：①开始刹车后行驶的距离(单位：)与刹车后行驶的时间(单位：)之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求关于的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)； （2）若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 20. 如图．在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点．点关于直线的对称点为，连接． （1）求证：． （2）设点的坐标为（0，m），当时，线段与线段相交于点，求四边形面积关于的解析式． 21. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 按要求作答 （1）如图1，在与中，，，，如图2，将图1中的绕着点B逆时针旋转得到，当点D的对应点在线段的延长线时，与相交于点E，连接，若，，求线段的长； （2）如图3，将直角△ABC绕着点A顺时针旋转得到，，点M为线段中点，连接，当点C的对应点在线段的延长线时，连接，的延长线与相交于点N，请回答下列问题： ①求证：点N为中点； ②若，，求出的面积． 23. 定义：在平面直角坐标系中，是自变量的函数，下面构建一个新函数，当时，，当时，，即，将变换后函数称为原函数的变构函数，例如二次函数的变构函数为． （1）求一次函数的变构函数的函数表达式； （2）点在反比例函数，的变构函数图像上，求n的值； （3）函数的解析式，点的坐标分别为，，连接，线段与二次函数的变构函数的图像只有一个公共点时，直接写出a的值或取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $