辽宁省阜新市实验中学2024-2025学年九年级下学期限时作业数学试卷

2024-2025学年度9年级（下）数学限时作业 一。选释题（共10小愿） 【.在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如 厨余垃级 可回收物 图，小李量得展台中一边与对角线的夹角∠ACB=15,则这个正多边形的边数 A. Food Waste B.Recyelable 是( 其他垃圾 有害垃极 C,Residual Watt每 D.Hazardous Waste 5,下列各式运算正确的是( A.52-3a2=2 B.= A.10 B.11 C,12 D.13 C,a")1=a9 D,(a-b+1)=-r 2.我国神舟十九号线人飞船身高58,4米。搭绑了四个225米直径的助推器，起飞 6.一抛物线的形状、开口方向与y=二x2-4x+3相同，顶点在(-2,1)。则此抛物 的重量己经达到了钓480000千克，是我国第一型垂直转运火箭，于10月30日4 2 时27分在酒泉卫星发射中心发射成功.其中480000用科孕记数法表示为() 线的解所式为〔) A.48×10 B.4.8×1 C.4.8×10 D.0.48×10 A.y=x-2)241 B.y=1(+2)2-1 2 2 3,如图为个乐高积木示意图。这个几何体的左视图为() C.号r2) D.(2)4.1 ?。下表是几种液体在标准大气压下的沸点： 液体名称 液态氧 液态氢 液态氮 液态氮 沸点/℃ -183 -253 -196 -2689 沸点最低的液体是〈) A液态氧 B.液态氢 C。液态氯 D,液态氯 8如图，在平行四边形CD中，号，∠B4D=45”,以点4为心、D为 C D 半径或交AB于点E,连接CE,若B=6V反，则图中阴影部分的面积是《) 4.垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分癸指引标志图形中，是轴树称圈形又是 D 中心对称图形的是() Q45 B A.20-4m B.20W2-4rC.4m D.20w2-2π 相三数学第1页8页 W三数学需2瓦共B瓦 9.如图1，平行四边形ABCD中，AD>AB,∠ABC为说角.要在对角线BD上找 点N,M,使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲，乙，丙三种方案， 则正确的方案是() 13.如图，抛物线y=2-2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C 42 (6,y)在抛物战上，点D在y轴左橱的抛物线上，且∠DCA=2∠CAB,则点D 内： 的坐标为 取BD中点0，作 fEANLBD于N 作YC分别平分 BN-NO OM-MD CML5D于M ∠BAD.∠BCD,交 :BD于点N,M 2 A,只有甲，乙有是 B.只有甲、丙才是 I4.如图，AB为⊙0的直径，C,D为⊙O上的两点，若∠AD=50°，则∠C的 C.只有乙，丙才是 D.甲，乙、丙都是 度数为 0.我国明代数学家程大位编撰的《算法统察》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿 子一条常。素比竿子长一托，析回索子米量竿，却比竿子短一托，问索，竿各长 几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺：若将绳 对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y 尺。根据避意得()（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺） 15.如图，在平行四边形ABCD中，CD=6,∠B4D=60,按以下步课作图：① x-y=5 y-x=5 以点A为圆心，适当的长为半径面凯，交AB于点M,交AD于点M:②分别以 A. 1 1 2x5 2xy-5 点MN为圆心，大于号的长为半径面江。两在∠BD的内部相交于点E, x-y-5 C. D. -y-5 12xy+5 y-2x=5 连接AE非廷长交线段C于点F,由作图的结果可得△AF的厘长 二，填空题（共5小题） 为 1.方程2.3的解为 x-3x I2,如图，已知△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC,C上，DE∥BC,EF ∥B.如果是是，B=15,那么EF=, BC 5 初三数学第3风作8丙 视三数学第4真共B瓦 三。解答圈（共8小题） (1)填空：a= C= 16.①)计第（学+16*(-2)3+(205-牙)0-5a60· (2)该校九年级共有360名学生，若全年拔学生都参加本次测试，请估计竞赛成 绩达到9分及以上的人数： (2)已知实数a满足+2a-8=0.求13×号2a1的值 8+102-102+4a+3 (3)现在准备从甲，乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级意 17。如图，书果宽82m,在该书架上按图示方式摆故数学书和语文书，已知每本数 赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来 学书厚08cm,每本语文书厚12cm. 自乙组的概率 (1)数学书和语文书共0本恰好摆铸该书架，求节架上数学书和语文各多少本： 19.项目式学习 某校综合与实爱活动小组针对货物的销售单价与日销督量开展项目式学习活动， (2)如果帮架上已摆故0木语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 请保参与活动，并与他们共同完成该项目任务. 项目主避：商品销售策略的制定 里动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学 -82cm 数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助地制定这种益智玩具的销售 18。某校为了解九年级学生对消防安全知识草型的情况，随机抽取该校20名九年级 策略。 学生进行测试，并将20名学生分成甲、乙两组，每组各10人。对测试成锁进行 任务一：市场调查 收巢、整理，描述和分析（测试满分为10分）。收集整理的数据成了如下统计 调查附近A,B,C,D,E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销得单价：《元》 甲组学生竞赛成镜统计图 乙组学生竞赛成绩统计图 和日销售量y(个》的情况，记录如表： 人数人 年人数人 玩具因 A B C D E 销售单价x元 61 60 59 58 57 日销售量州个 28 30 32 34 36 任务二：校型建立 7890分数/分 (1)该登智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式 9 10分数/分 图表： 脚 2 为 平均数中位数众数 任务三：问题解决 (2)如果该玩其店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老 甲组 8 8 板想要每天获得200元的利倒，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售 乙组8.3 单价应定为多少元？ 根据以上信息，回答下列问想， 相三数学第5厦芹8页 W三数学用6瓦共B瓦 20。如图是某种云梯车的示意图，云梯OD升起时，OD与底盘O℃夹角为《，液压 杆AB与账盘OC夹角为.已知液压杆AB=3米，∠BE4一0°，当a-37”, B=58”时.（结果精确到0.01米）（参考数据：sin370.60,c0s37°0.80， tan37°0.75，sin58e085,c0s58”e053.tan58°=1.60) D 图 图2 备用图 23.法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程x2+x+e=0根的特征时 发现，此时”韦达定理”可表述为：+x=·b,x妇=心.售此结论，小前对“倍 即 2 根方程”的根的特征的进行了探究， (1)求液压杆顶端B到底盘OC的距离BE的长 定义：如果关于x的一元二次方程2+bte=0(a≠0》有两个实数根（都不为0）， (2)求A0的长. 且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍极方程”，若函数 21.如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是⊙0的直径，F是AD延长线上一点，莲 G的图象与函数G的图象相交于A,B两点，其中一个点的横坐标等于另一点的 接CD,CF,且∠DCF=∠CAD 横坐标的2倍，心称函数G与岳数G互为“倍根函数” (1)求正：CF是⊙0的切线： (1)若(x-2)(2x+)=0是“倍根方程”，求k的值： (2)若⊙0的半径为5，n5=4,求FD的长. (2)一次函数G:y=缸b(>0)与反比例函数G2:y=-互为“倍根函数”， 求k和方潮足的数量关系： (3)已知ax2地x色a+业0(a≠0)是“倍根方程，点P(红，p)是函数 9a 2x品D图象上一点且号<<会当>0时，%的最大位 和最小值的差是3。求：的慎 22,如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=a(0°<a<45°)，将线段CA 绕点C侧顺时针旋转90°得到线段CD,过点D作DE⊥BC,垂足为E, (I)如图I,求证：△ABC≌△CED: (2)如图2，∠ACD的平分线与AB的延长线相交于点F,联结DF,DF的延长 线与CB的廷长线相交于点P,证明：PC=PD: (3)在(2)的条件下，联结AP.当c= 时△ACP是等根三角形， 相三数学第7厦芹8页 W三数学第B氧共B瓦 参考答案与试题解一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D C C D B D A 一．选择题（共10小题） 1．在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，则这个正多边形的边数是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【解答】解：∵AB＝CB，∠ACB＝15°， ∴∠ABC＝180°﹣15°﹣15°＝150°， 设这个正多边形为正n边形，则 解得n＝12， 经检验n＝12是原方程的解， 即这个正多边形是正十二边形， 故选：C． 2．我国神舟十九号载人飞船身高58.4米，捆绑了四个2.25米直径的助推器，起飞的重量已经达到了约480000千克，是我国第一型垂直转运火箭，于10月30日4时27分在酒泉卫星发射中心发射成功．其中480000用科学记数法表示为（　　） A．48×104 B．4.8×104 C．4.8×105 D．0.48×106 【解答】解：480000＝4.8×105， 故选：C． 3．如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：从左面看，可得选项C的图形． 故选：C． 4．垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意 B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 5．下列各式运算正确的是（　　） A．5a2﹣3a2＝2 B．a2⋅a3＝a6 C．（a10）2＝a20 D．x（a﹣b+1）＝ax﹣bx 【解答】解：∵5a2﹣3a2＝2a2≠2，故选项A错误； a2⋅a3＝a5≠a6，故选项B错误； （a10）2＝a20，故选项C正确； x（a﹣b+1）＝ax﹣bx+x≠ax﹣bx，故选项D错误； 故选：C． 6．一抛物线的形状、开口方向与y＝x2﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（　　） A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2﹣1 C．y＝（x+2）2+1 D．y＝（x﹣2）2﹣1 【解答】解：∵抛物线的形状、开口方向与y＝x2﹣4x+3相同， ∴a＝， ∵顶点为（﹣2，1）， ∴抛物线解析式为y＝（x+2）2+1． 故选：C． 7．下表是几种液体在标准大气压下的沸点： 液体名称 液态氧 液态氢 液态氮 液态氦 沸点/℃ ﹣183 ﹣253 ﹣196 ﹣268.9 则沸点最低的液体是（　　） A．液态氧 B．液态氢 C．液态氮 D．液态氦 【解答】解：因为﹣268.9＜﹣253＜﹣196＜﹣183， 所以沸点最低的液体是液态氦． 故选：D． 8．如图，在平行四边形ABCD中，，∠BAD＝45°，以点A为圆心、AD为半径画弧交AB于点E，连接CE，若，则图中阴影部分的面积是（　　） A．20﹣4π B． C．4π D． 【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F， 由条件可知， ∴， ∵， ∴， ∴S阴影＝S▱ABCD﹣S扇形ADE﹣S△EBC， ＝， ＝， 故选：B． 9．如图1，平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（　　） A．只有甲、乙才是 B．只有甲、丙才是 C．只有乙、丙才是 D．甲、乙、丙都是 【解答】解：方案甲中，连接AC，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点， ∴OB＝OD，OA＝OC， ∵BN＝NO，OM＝MD， ∴NO＝OM， ∴四边形ANCM为平行四边形，故方案甲正确； 方案乙中，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABN＝∠CDM， ∵AN⊥BD，CM⊥BD， ∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD， 在△ABN和△CDM中， ， ∴△ABN≌△CDM（AAS）， ∴AN＝CM， 又∵AN∥CM， ∴四边形ANCM为平行四边形，故方案乙正确； 方案丙中，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABN＝∠CDM， ∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD， ∴∠BAN＝∠DCM， 在△ABN和△CDM中， ， ∴△ABN≌△CDM（ASA）， ∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD， ∴∠ANM＝∠CMN， ∴AN∥CM， ∴四边形ANCM为平行四边形，故方案丙正确； 故选：D． 10．我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（　　）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托＝5尺） A． B． C． D． 【解答】解：∵若用绳去量竿，则绳比竿长5尺， ∴x﹣y＝5； ∵若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺， ∴y﹣x＝5． ∴根据题意得可列出方程组． 故选：A． 二．填空题（共5小题） 11．方程的解为 　x＝9　． 【解答】解：＝， 方程两边都乘x（x﹣3），得2x＝3（x﹣3）， 解得：x＝9， 检验：当x＝9时，x（x﹣3）≠0， 所以x＝9是原分式方程的解， 即原方程的解是x＝9， 故答案为：x＝9． 12．如图，已知△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB．如果，AB＝15，那么EF＝ 　6　． 【解答】解：∵DE∥BC，＝，AB＝15， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝＝， ∴AD＝AB＝×15＝9， ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形BDEF是平行四边形， ∴EF＝BD＝AB﹣AD＝15﹣9＝6， 故答案为：6． 13．如图，抛物线y＝x2−x−2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C（6，y）在抛物线上，点D在y轴左侧的抛物线上，且∠DCA＝2∠CAB，则点D的坐标为 　（﹣6，10）　． 【解答】解：延长DC交x轴于点M， ∵∠DCA＝2∠CAB， ∴∠CAB＝∠CMA． ∴CA＝CM． ∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于点A，B， ∴A（﹣2，0），B（4，0）． 过点C作CQ⊥AM于点Q， ∴QM＝AQ＝8． ∴点M坐标为（14，0）． 由点C、M的坐标得，直线DM的解析式为：y＝﹣x+7， 令y＝﹣x+7＝x2﹣x﹣2， 解得x＝﹣6或6（舍去）， ∴x＝﹣6，y＝﹣×（﹣6）+7＝10． ∴点D坐标为（﹣6，10）． 故答案为：（﹣6，10）． 14．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，若∠ABD＝50°，则∠C的度数为 　40°　． 【解答】解：如图，连接AD． 由条件可知∠ADB＝90°．而∠ABD＝50°， ∴∠DAB＝90°﹣50°＝40°． ∴∠C＝∠DAB＝40°． 故答案为：40°． 15．如图，在平行四边形ABCD中，CD＝6，∠BAD＝60°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交AB于点M，交AD于点N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠BAD的内部相交于点E，连接AE并延长交线段BC于点F，由作图的结果可得△ABF的周长为 　　． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝6，BC∥AD， ∴∠BFA＝∠FAD， 根据作图可得，AF平分∠BAD， ∴， ∴∠BAF＝∠BFA＝30°， 如图所示，过点B作BH⊥AF交AF于点H， ∴， ∴， ∴， ∴△ABF的周长为． 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 16．（1）计算：（）﹣1． （2）已知实数a满足a2+2a﹣8＝0，求的值． 【解答】解：（1）原式＝3+16×+1﹣ ＝﹣1． （2）∵a2+2a﹣8＝0， ∴a1＝﹣4，a2＝2． ＝． ①当a＝﹣4时，原式＝， ②当a＝2时，原式＝， ∴原式的值为． 17．如图，书架宽82cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm，每本语文书厚1.2cm． （1）数学书和语文书共80本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文各多少本； （2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 【解答】解：（1）设书架上数学书x本，则语文书（80﹣x）本， ∴0.8x+1.2（80﹣x）＝82， ∴x＝35， ∴80﹣x＝45． 答：书架上数学书35本，语文书45本． （2）设数学书还可以摆m本， 则10×1.2+0.8m≤82， 解得m≤87.5， ∴数学书最多还可以摆87本． 18．某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试，并将20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为10分），收集整理的数据制成了如下统计图表： 平均数 中位数 众数 甲组 a 8 8 乙组 8.3 b c 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：a＝ 　8.3　，b＝ 　8.5　，c＝ 　7　； （2）该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计竞赛成绩达到9分及以上的人数； （3）现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 【解答】解：（1）a＝（7×1+8×6+9×2+10×1）÷10＝8.3． 将乙组的10名学生竞赛成绩数据按照从小到大的顺序排列，排在第5名和第6名的学生成绩数据分别为8和9， ∴b＝（8+9）÷2＝8.5． 由图2可知，乙组学生竞赛成绩的众数为7， ∴c＝7． 故答案为：8.3；8.5；7． （2）360×＝144（名）． ∴估计竞赛成绩达到（9分）及以上的人数约144名． （3）将甲组满分为（10分）的一名学生记为A，乙组满分为（10分）的两名学生分别记为B，C， 列表如下： A B C A （A，B） （A，C） B （B，A） （B，C） C （C，A） （C，B） 共有6种等可能的结果，其中所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果有：（A，B），（A，C），（B，A），（C，A），共4种， ∴所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为． 19．项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价x（元）和日销售量y（个）的情况，记录如表： 玩具店 A B C D E 销售单价x/元 61 60 59 58 57 日销售量y/个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为 　y＝150﹣2x　； 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 【解答】解：（1）由题意可知，该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间为一次函数关系， 设该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝kx+b， 由题意得：， 解得：， ∴该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝150﹣2x， 故答案为：y＝150﹣2x； （2）由题意得：（150﹣2x）（x﹣40）﹣300＝200， 整理得：x2﹣115x+3250＝0， 解得：x1＝65，x2＝50， 当x＝65时，150﹣2x＝20； 当x＝50时，150﹣2x＝50； ∵20＜50，且为了尽快减少库存， ∴x＝50． 答：该益智玩具的销售单价应定为50元． 20．如图是某种云梯车的示意图，云梯OD升起时，OD与底盘OC夹角为α，液压杆AB与底盘OC夹角为β．已知液压杆AB＝3米，∠BEA＝90°，当α＝37°，β＝58°时．（结果精确到0.01米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） （1）求液压杆顶端B到底盘OC的距离BE的长； （2）求AO的长． 【解答】解：（1）液压杆AB与底盘OC夹角为β，液压杆AB＝3米，∠BEA＝90°，当β＝58°时， 在Rt△ABE中，， ∴， ∴BE＝2.55米， 即BE的长为2.55米； （2）在Rt△OBE中，，BE＝2.55米， ∴， ∴OE＝3.4米， ∵， ∴， ∴AE≈1.59米， ∴AO＝OE﹣AE＝3.4﹣1.59＝1.81（米）， 即AO的长为1.81米． 21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，sinB＝，求FD的长． 【解答】（1）证明：连接OC，则OC＝OA， ∴∠OCA＝∠CAD， ∵∠DCF＝∠CAD， ∴∠DCF＝∠OCA， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∴∠OCF＝∠OCD+∠DCF＝∠OCD+∠OCA＝∠ACD＝90°， ∵OC是⊙O的半径，且CF⊥OC， ∴CF是⊙O的切线． （2）解：∵⊙O的半径为5， ∴OA＝OD＝5，AD＝10， ∵∠ACD＝90°，∠ADC＝∠B， ∴＝sin∠ADC＝sinB＝， ∴AC＝AD＝×10＝8， ∴CD＝＝＝6， ∵∠DCF＝∠CAF，∠F＝∠F， ∴△DCF∽△CAF， ∴＝＝＝＝， ∴FC＝FA＝（FD+10），且FC＝FD， ∴（FD+10）＝FD， 解得FD＝， ∴FD的长为． 22．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝α（0°＜α＜45°）．将线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E． （1）如图1，求证：△ABC≌△CED； （2）如图2，∠ACD的平分线与AB的延长线相交于点F，联结DF，DF的延长线与CB的延长线相交于点P，证明：PC＝PD； （3）在（2）的条件下，联结AP，当α＝ 　15°或30°　时△ACP是等腰三角形． 【解答】（1）证明：∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°， ∴∠D+∠DCE＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝∠DEC， ∵线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD， ∴∠ACD＝90°，AC＝CD， ∴∠DCE+∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠D， ∴△ABC≌△CED（AAS）； （2）证明：∵CF是∠ACD的平分线， ∴∠ACF＝∠DCF， 由（1）知，AC＝CD，△ABC≌△CED， ∴∠A＝∠DCE， ∵CF＝CF， ∴△ACF≌△DCF（SAS）， ∴∠A＝∠PDC， ∴∠PDC＝∠DCE， ∴PC＝PD； （3）解：由题意可分：①当△ACP是以AC＝PC的等腰三角形时，则有：AC＝PC＝PD＝CD， ∴△PCD是等边三角形， ∴∠PCD＝60°， ∴∠ACB＝90°﹣∠PCD＝30°＝α； ②当△ACP是以AP＝AC的等腰三角形时，如图所示： ∴∠ACB＝∠APB＝α，CB＝PB， ∴AF垂直平分PC， ∴PF＝CF， ∵CF平分∠ACD， ∴∠ACF＝∠DCF＝45°， ∵AF＝AF， ∴△ACF≌△APF（SSS）， ∴∠ACF＝∠APF＝45°， ∴∠PCF＝∠CPF＝45°﹣α， ∵PC＝PD， ∴， ∴， 解得：α＝15°； ③当AP＝PC时，则∠ACB＝∠CAP＝α（0°＜α＜45°）， ∴∠APC＝180°﹣2α＞90°， ∵∠ABC＝90°，且点P在CB的延长线上， ∴此种情况是不成立的； 综上所述：当α＝15°或30°时，△ACP是等腰三角形； 故答案为：15°或30°． 23．法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程x2+bx+c＝0根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c．借此结论，小麓对“倍根方程”的根的特征的进行了探究． 定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若函数G1的图象与函数G2的图象相交于A，B两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的2倍，则称函数G1与函数G2互为“倍根函数”． （1）若（x﹣2）（2x+k）＝0是“倍根方程”，求k的值； （2）一次函数G1：y＝kx+b（k＞0）与反比例函数互为“倍根函数”，求k和b满足的数量关系； （3）已知是“倍根方程”，点P（xP，yP）是函数图象上一点，且，当a＞0时，yp的最大值和最小值的差是3，求a的值． 【解答】解：（1）（x﹣2）（2x+k）＝0， 解得x＝2或﹣， 由题意得：2×2＝﹣或2＝2×（﹣）， 解得：k＝﹣2或﹣8； （2）联立两个函数表达式得：kx+b＝﹣，设方程的解为m，2m， 则m+2m＝﹣，m×2m＝， 整理得：b2＝27k； （3）设的解为m，2m， 则m+2m＝﹣，m×2m＝， 整理得：b＝2a+2， 则抛物线的表达式为：y＝ax2+bx+， 则抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1﹣， ∵﹣（﹣1﹣）＝＞0， 即点P在对称轴的右侧， ∵a＞0，则y随x增大而增大， 当x＝时，ymax＝a（）2+（2a+2）（）+， 当x＝时，ymin＝a（）2+（2a+2）（）+， ∵yp的最大值和最小值的差是3， 即a（）2+（2a+2）（）+﹣a（）2+（2a+2）（）+＝3， 整理得：（4a﹣2）+2a+2＝3， 解得：a＝． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$