精品解析：山东济宁市泗水县龙城初级中学2025-2026学年八年级第二学期第一次定时训练数学试卷

龙城中学2026年第二学期第一次定时训练 数学试卷 一、选择题（每题2分，共24分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. ，， C. ，， D. 3，4，5 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某矩形的长为、宽为，则这个矩形面积的值在（   ） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 5. 1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（ ） A. 2，3，4 B. 5，6，11 C. 6，8，10 D. 7，12，14 6. 《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（ ） A. 步 B. 步 C. 步 D. 步 7. 一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 8. 如图，数轴上点A表示的数为，的直角边落在数轴上，且长为3个单位长度，长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ） A. B. C. D. 9. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则光线从点到点经过的路线长是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 11. 如图，已知中，的垂直平分线分别交于连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，正方形边长为，以为边作第个正方形，再以为边作第个正方形，，按照这样的规律作下去，第个正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 _____． 14. 与最简二次根式能合并，则________． 15. 如图是一台手机支架的示意图，可分别绕点A，B转动，测得，若，垂足为点E，，则点D到的距离为___________． 16. 用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定．如：，则值为______． 17. 如图，点A是射线外一点，连接，若，点A到的距离为，动点P从点B出发沿射线以的速度运动．设运动的时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为_________． 18. 如图，在一个长方形草地上放着一根长方体木块，其中，，该木块较长的边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点处有一只蚂蚁，它从点出发，爬过木块到达点处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是_____． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 20. 第十二届世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行．这是中国大陆第一次举办世界运动会．运动会一切准备工作正在有序进行．运动会本着环保、舒适、温馨的出发点，对运动员休息区进行了精心设计．如图所示，四边形为休闲区域，四周是步道，，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道．经测量． （1）求氢能源环保电动步道的长； （2）求休闲区域四边形的面积． 21. 若两个二次根式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“共轭二次根式”，如，则称与是关于4的“共轭二次根式”． （1）若与是关于6的“共轭二次根式”，求的值． （2）若与是关于4的“共轭二次根式”，求的值． 22. 学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题． 报告 测量风筝的垂直高度． 成员 组长：组员：，， 工具 皮尺等 示意图 方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风筝的同学的身高． 数据 米，米，米，． （1）求此时风筝的垂直高度； （2）若站在点A不动，想把风筝沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置（即米，点C、点F、点D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内），则还需放出风筝线多少米？ 23. 【阅读理解】爱思考的小明同学在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，， ，即， ， ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算： ； （2）计算： ； （3）若，求的值． 24. “雄奇山水，新韵重庆！”为了加强市容市貌建设，环卫部门组织了多台环卫车清理街道，有一台环卫车沿公路由点向点行驶清理道路．已知点为一所学校，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，环卫车工作时周围以内为受噪声影响区域． （1）求的度数； （2）学校会受环卫车产生的噪声影响吗？请画图并计算说明； （3）若环卫车的行驶速度为每分钟40米，则该环卫车产生的噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 25. 如图，，，且，P为上一动点，D为x轴上一点，且． （1）求的长； （2）若，求D点的坐标； （3）作于E，当P点运动时，的长是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙城中学2026年第二学期第一次定时训练 数学试卷 一、选择题（每题2分，共24分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，符合两个条件即为最简二次根式． 【详解】解：∵选项A，的被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意； ∵选项B，，被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意； ∵选项C，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义，∴是最简二次根式，本选项符合题意； ∵选项D，，被开方数含能开得尽方的因数4，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意． 故选：C． 2. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. ，， C. ，， D. 3，4，5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形三边关系，解题的关键在于对勾股定理逆定理的理解． 根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形；同时需先验证三边能否组成三角形（任意两边之和大于第三边）；逐一验证各选项即可． 【详解】A、，，，且，能组成直角三角形，故选项不符合题意； B、，，，且，能组成直角三角形，故选项不符合题意； C、，不能组成三角形，故不能组成直角三角形，故选项符合题意； D、，，，且，能组成直角三角形，故选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次根式的乘除运算法则以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案． 【详解】解：A、，故此选项计算正确，符合题意； B、，故此选项计算错误，不符合题意； C、，故此选项计算错误，不符合题意； D、，故此选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算以及二次根式的性质与化简，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4. 无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某矩形的长为、宽为，则这个矩形面积的值在（   ） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运用，无理数的估算，根据题意利用二次根式乘法求出矩形面积，再由无理数的估算方法估算即可． 【详解】解：若某矩形的长为、宽为， 则其面积为， ， ， 即这个矩形面积的值在3与4之间， 故选：B． 5. 1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（ ） A. 2，3，4 B. 5，6，11 C. 6，8，10 D. 7，12，14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．据勾股定理可得：，然后利用正方形的面积公式可得：以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∴， ∴以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积， ∵，，，， ∴选取的三块正方形纸片的面积可以是5，6，11， 故选：B． 6. 《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（ ） A. 步 B. 步 C. 步 D. 步 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数． 【详解】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了步， 故选：C． 7. 一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】先利用多边形内角和公式与外角和定理求出多边形的边数，再代入对角线条数公式计算，即可得到结果； 【详解】解：设这个多边形的边数为， 多边形内角和公式为，任意多边形的外角和为固定值， 根据题意列方程得， 化简得：， 解得：， 边形对角线条数公式为， 代入，对角线条数． 8. 如图，数轴上点A表示的数为，的直角边落在数轴上，且长为3个单位长度，长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求得的长度，即的长度即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理知：， 所以． 所以点D表示的数为． 故选：B． 9. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴判断出  的正负性及大小关系，进而确定绝对值符号内式子的正负，利用  和  进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴原式 ． 10. 如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则光线从点到点经过的路线长是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标和勾股定理，解题关键是熟练掌握通过添加辅助线解答问题．延长交x轴于点E，过点C作垂直x轴于点F，根据已知条件得到：，，然后根据对顶角的性质得到，再根据全等三角形的判定定理证明，从而得到，，再根据点的坐标求出，从而求出，然后根据勾股定理求出，从而求出答案即可． 【详解】解：如图所示：延长交x轴于点E，过点C作垂直x轴于点F， 由题意可知：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴光线从A点到C点经过的路线长是：， 故选：B． 11. 如图，已知中，的垂直平分线分别交于连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，根据垂直平分线的性质证得AD=BD，由此根据勾股定理求出CD. 【详解】∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴, ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°， ∵DE垂直平分AB， ∴AD=BD， 在Rt△BCD中， , ∴, 解得CD=， 故选：C. 【点睛】此题考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，题中证得△ABC是直角三角形，且∠C=90°是解题的关键，再利用勾股定理求解. 12. 如图，正方形边长为，以为边作第个正方形，再以为边作第个正方形，，按照这样的规律作下去，第个正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，图形类变化规律问题，由已知图形可得第个正方形的边长为，据此即可求解，找出图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， ， ∴第个正方形的边长为， ∴第个正方形的边长为， 故选：． 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 _____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数大于等于零、分式的分母不能为零是解题关键． 根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴，解得：且． 故答案为：且． 14. 与最简二次根式能合并，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．能合并就是同类二次根式，都化成最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可． 【详解】解：，  与最简二次根式能合并， ， 解得： ， 故答案为：  ． 15. 如图是一台手机支架的示意图，可分别绕点A，B转动，测得，若，垂足为点E，，则点D到的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理可得，则此题可解. 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴点D到的距离为. 故答案为：． 16. 用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定．如：，则值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键． 根据定义的新运算可得，然后进行计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得， ， 值为， 故答案为：． 17. 如图，点A是射线外一点，连接，若，点A到的距离为，动点P从点B出发沿射线以的速度运动．设运动的时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，过点作，利用勾股定理先求出，再分当时，当时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：过点作， 点到的距离为， ， ， 根据勾股定理，得， 当时，如图所示： 此时点与点重合，则 根据题意，得， 解得； 当时，如图所示： ，，，， ， 根据勾股定理，得，， ， 解得； 综上所述，当为直角三角形时，t的值为或， 故答案为：或． 18. 如图，在一个长方形草地上放着一根长方体木块，其中，，该木块较长的边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点处有一只蚂蚁，它从点出发，爬过木块到达点处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，两点之间线段最短，将木块表面展开，再根据平面中，两点之间线段最短即可，解题的关键是将侧面展开成长方形，从而用勾股定理求解． 【详解】如图， 由题意可知，将木块展开，， 即展开后长方形的长为米，宽为米， ∴需要走的最短路程是：， 故答案为：． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 第十二届世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行．这是中国大陆第一次举办世界运动会．运动会一切准备工作正在有序进行．运动会本着环保、舒适、温馨的出发点，对运动员休息区进行了精心设计．如图所示，四边形为休闲区域，四周是步道，，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道．经测量． （1）求氢能源环保电动步道的长； （2）求休闲区域四边形的面积． 【答案】（1）15 （2）114 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，理解题意，正确运用勾股定理及其逆定理的计算是关键． （1）在Rt中，运用勾股定理即可求解； （2）运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，三角形面积的计算即可求解． 【小问1详解】 解：在Rt中，， 由勾股定理得：， 答：氢能源环保电动步道AC的长是15； 【小问2详解】 解：， ， ， 是直角三角形，且， 休闲区域的面积． 答：休闲区域的面积为114． 21. 若两个二次根式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“共轭二次根式”，如，则称与是关于4的“共轭二次根式”． （1）若与是关于6的“共轭二次根式”，求的值． （2）若与是关于4的“共轭二次根式”，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，得到，进行计算即可； （2）根据新定义，得到，进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 ， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 22. 学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题． 报告 测量风筝的垂直高度． 成员 组长：组员：，， 工具 皮尺等 示意图 方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风筝的同学的身高． 数据 米，米，米，． （1）求此时风筝的垂直高度； （2）若站在点A不动，想把风筝沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置（即米，点C、点F、点D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内），则还需放出风筝线多少米？ 【答案】（1）13.7米 （2）还需放出风筝线14米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解； （2）由题意得米，根据米，得到米，在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：米， 在中，由勾股定理得（米）， 所以（米）． 【小问2详解】 解：由题意得米， 因为米， 故米， 在中，（米）， 所以（米）， 故还需放出风筝线14米． 23. 【阅读理解】爱思考的小明同学在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，， ，即， ， ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算： ； （2）计算： ； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键； （1）仿照题的方法化简即可； （2）把每项按照题中方法化简，再相加减即可； （3）仿照题中方法求代数式值的方法求解即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为： 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴ 24. “雄奇山水，新韵重庆！”为了加强市容市貌建设，环卫部门组织了多台环卫车清理街道，有一台环卫车沿公路由点向点行驶清理道路．已知点为一所学校，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，环卫车工作时周围以内为受噪声影响区域． （1）求的度数； （2）学校会受环卫车产生的噪声影响吗？请画图并计算说明； （3）若环卫车的行驶速度为每分钟40米，则该环卫车产生的噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 【答案】（1） （2） 学校C会受噪声影响．理由如下： 如图，过点C作于D， ∵， ∴是直角三角形． ∴， ∴， 解得：米． ∵环卫车周围以内为受噪声影响区域， ∴学校C会受噪声影响； （3）环卫车噪声影响该学校持续的时间有分钟． 【解析】 【分析】本题主要考查的是勾股定理在实际生活中的运用，正确作出辅助线、构造出直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理逆定理计算即可； （2）过点C作于D，利用三角形面积得出的长，进而得出学校C是否会受噪声影响； （3）利用勾股定理得出，进而得到的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：如图：当时，在上行驶时，正好影响学校C， ∵， 同理， ∴， ∵环卫车的行驶速度为每分钟40米， ∴（分钟）， ∴环卫车噪声影响该学校持续的时间有分钟． 25. 如图，，，且，P为上一动点，D为x轴上一点，且． （1）求的长； （2）若，求D点的坐标； （3）作于E，当P点运动时，的长是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】（1）6 （2） （3）当点运动时，的值不变化， 【解析】 【分析】（1）根据已知等式，利用非负数的性质求出与的值即可； （2）由度数及，利用等边对等角及内角和定理求出与的度数，利用外角性质得到一对角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，根据求出的长，即可确定出的坐标； （3）当点运动时，的值不变化，，理由为：过作垂直于，由，为斜边的中点，利用勾股定理求出的长，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再由三角形为等腰直角三角形，得到，且，根据，利用等边对等角得到一对角相等，利用外角性质及等式性质得到一对角相等，再由一对直角相等，且，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，求出的长即可． 【小问1详解】 解：， 又，， ，， 解得：， ，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，， ， ， ∵， ∴， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， 则； 【小问3详解】 解：当点运动时，的值不变化，， 理由为：过作， ，为斜边的中点， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ； 【点睛】此题属于三角形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，非负数的性质，外角性质及内角和定理，坐标与图形性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $