上海市格致中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

格致中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期末 2026.1 一、填空题：（本大题共12小题，其中第1-6小题，每题3分，第7-12小题，每题4分，满分42分） 1.已知集合，，若，则______． 2.函数的定义域为______． 3.若，，则______． 4.若幂函数的图像经过点，则的值为______． 5.圆心角为，面积为的扇形的弧长为______． 6.方程的根，，则______． 7.已知，若函数是偶函数，则实数______． 8.已知两个非负实数、满足，则的最小值是______． 9.已知函数的值域为，则实数的取值范围为______． 10.对于函数和，设，，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”．已知，，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是______． 11.定义在上的函数满足：对任意的，且，均有成立，且，则不等式的解集为______． 12.某社区为扩大居民的活动区域，计划将社区内原有的半径为8m的圆形花坛扩建成一个矩形花园．若要求扩建前的圆与扩建后矩形的两邻边和一条对角线都相切（如图所示），则矩形花园占地面积的最小值为______．（结果精确到） 二、选择题：（本大题共4小题，第13-14题，每题3分，第15-16题，每题4分，满分14分） 13.若，则不等式的等号成立的一个充要条件为（ ） A. B. C. D. 14.已知函数是定义在上的奇函数，在上是严格减函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 15.若方程的两根为、，其中、为三角形内角，则实数的取值范围是（ ） A.； B.； C.； D.或． 16.如果“若，则”和“若，则”中有且仅有一个真命题，称与具有“－关系”．已知函数的定义域为，为偶函数，则与下列选项中的具有“关系”的为（ ） A.：对任意都有 B.：对任意都有 C.：对任意都有 D.：对任意都有 三、解答题：（本题共有4大题，满分44分．解题时要有必要的解题步骤） 17.（本题满分6分）已知为实数，且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数． 18.（本题满分6分）已知（m为实数）．若函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围． 19.（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分，满分14分） 人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活．所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离。若二维空间有两个点，，则之间的曼哈顿距离为：．之间的余弦距离为， 其中为之间的余弦相似度． 已知，，，，且，． （1）若，，求之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）求之间的余弦距离； （3）求之间的曼哈顿距离． 20.（本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，满分18分） 已知函数的定义域、值域均为，定义集合． （1）当，，求； （2）当，，求； （3）给出如下两个结论：①存在函数，使得对任意实数均有； ②对任意函数，都存在实数，使得对任意实数均有．判断这两个结论是否正确，并说明理由． 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12. 11.定义在上的函数满足：对任意的，且，均有成立，且，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】由，可得, 令，则在上是严格增函数， 由，得，又，所以，解得． 12.某社区为扩大居民的活动区域，计划将社区内原有的半径为8m的圆形花坛扩建成一个矩形花园．若要求扩建前的圆与扩建后矩形的两邻边和一条对角线都相切（如图所示），则矩形花园占地面积的最小值为______．（结果精确到） 【答案】 【解析】设矩形的长与宽分别为和，则有， 故 平方整理得 所以 而，解得 二、选择题 13.C 14.A 15.C 16.C 16.如果“若，则”和“若，则”中有且仅有一个真命题，称与具有“－关系”．已知函数的定义域为，为偶函数，则与下列选项中的具有“关系”的为（ ） A.：对任意都有 B.：对任意都有 C.：对任意都有 D.：对任意都有 【答案】C 【解析】对于为假命题，也为假命题，故错误； 对于为真命题，且， 所以也为真命题，故错误； 对于为假命题， 且，所以为真命题，符合题意； 对于为真命题，也为真命题，故错误．故选：． 三、解答题 17.提示：反证法，前两式相加基本不等式，再平方即可 18.单调性定义，参变分离恒成立 19.（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分，满分14分） 人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活．所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离。若二维空间有两个点，，则之间的曼哈顿距离为：．之间的余弦距离为， 其中为之间的余弦相似度． 已知，，，，且，． （1）若，，求之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）求之间的余弦距离； （3）求之间的曼哈顿距离． 【答案】（1）之间的曼哈顿距离为4，余弦距离为 （2） （3） 【解析】（1）已知，根据曼哈顿距离的定义，， 可得：先计算， 根据余弦相似度的定义 可得 再根据余弦距离的定义，可得： 因此，之间的曼哈顿距离为4，余弦距离为 （2）已知）， 且. 根据余弦相似度的定义可得 因为，所以 . 则， 又因为 所以 而 根据余弦距离的定义，可得： 因此，之间的余弦距离为 （3）根据曼哈顿距离的定义. 由 则. 因此，之间的曼哈顿距离为. 20.（本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，满分18分） 已知函数的定义域、值域均为，定义集合． （1）当，，求； （2）当，，求； （3）给出如下两个结论：①存在函数，使得对任意实数均有； ②对任意函数，都存在实数，使得对任意实数均有．判断这两个结论是否正确，并说明理由． 【答案】（1） （2）时；当时，；当时， （3）①正确；②错误． 【解析】（1），故， （2）当时，，而 故 所以当时，，当时， 同理，当时， 即 令，有 故时，，当时， 综上知时；当时，；当时， （3）对于①，假设在上单调递增函数， 对于任意实数， 因为，则，所以，故①正确； 对于②，设，当时，此时取， 则不满足 当时，，取，则， 因为，所以，所以,此时，不满足； 当时，， 取，则，不满足, 综上，不存在实数，使得对任意均有，故②错误． 学科网（北京）股份有限公司 $