精品解析：天津市西青道中学2025—2026学年度第二学期八年级数学第一次学月测试

人教版2025—2026学年度第二学期八年级数学第一次学月测试 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( ) A. ，， B. 4，5，6 C. 5，12，14 D. ，， 2. 如图，点在数轴上表示的数为，过点作数轴的垂线段，且，以原点为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，对角线，交于点，点是的中点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，、为对角线，，边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 7. 如图，中，，于点D，点E是的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 8. 如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕CE的长为（ ） A. 2 B. C. D. 6 9. 如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E，F分别是，的中点，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD的对角线BD＝4，点P是对角线BD上的一个动点，点E在AB上且AE＝1，则△PAE周长的最小值为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 41 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，在中，于点D，，，，则是________三角形． 12. 如图，在四边形中，，要使得四边形是平行四边形，应添加的条件是________．（只填写一个条件，不使用图形以外的字母或线段）． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，分别以点A、B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交AB于点D，连接CD，则CD的长是_______． 14. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径为______． 15. 如图，是的中位线，点在上，且，连接并延长交延长线于点．若，则线段的长为______． 16. 如图，已知，中，，，点、分别在边、上运动，的形状大小始终保持不变．在运动的过程中，点C到点O的最大距离为_____． 三、解答题 17. 已知Rt△ABC中，，，求：上的中线和高的长 18. 如图，在中，点、分别在边和上，且． （1）求证：． （2）求证：四边形是平行四边形． 19. 如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 20. 如图，四边形，、、，连接，且． （1）求的长； （2）若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2025—2026学年度第二学期八年级数学第一次学月测试 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( ) A. ，， B. 4，5，6 C. 5，12，14 D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、∵（）2+（）2=（）2，∴该三角形是直角三角形，故此选项符合题意； B、∵42+52≠62，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵52+122≠142，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵（32）2+（42）2≠（52）2，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 2. 如图，点在数轴上表示的数为，过点作数轴的垂线段，且，以原点为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，数轴与实数，根据勾股定理计算即可，掌握勾股定理，数轴与实数的关系是解题的关键． 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数是， 故选：． 3. 如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积，勾股定理的逆定理，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∴（负值已舍去）， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：A． 4. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先根据勾股定理解得，再根据勾股定理解，即可得出答案，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：依题意知，，， 在中，， ∵，， 在中，， 故选：B． 5. 如图，中，对角线，交于点，点是的中点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理得出EO的长． 【详解】解：∵在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ∴点O是AC的中点， 又∵点E是BC的中点， ∴EO是△ABC的中位线， ∴EO=AB=3． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理，正确得出EO是△ABC的中位线是解题关键． 6. 如图，中，、为对角线，，边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得出阴影部分的面积为平行四边形面积的一半，再由平行四边形的面积得出答案即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ，又， ， 同理：，， ， ． 故先C． 【点睛】本题考查了平行四边形的面积和性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质：对角线互相平分． 7. 如图，中，，于点D，点E是的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质得出是的中点，结合是的中点，利用三角形中位线定理可得，再根据线段的和差关系求出的长即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴为的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8. 如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕CE的长为（ ） A. 2 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质及题意，可求得,根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求得 【详解】四边形是矩形 点O是矩形ABCD的中心 折叠 ,, ∴OE是AC的垂直平分线， 在中 即 故选C 【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，根据折叠求得是解题的关键． 9. 如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E，F分别是，的中点，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位线定理和已知，易证明是等腰三角形． 【详解】解：∵在四边形中，P是对角线的中点，E，F分别是，的中点， ∴，分别是与的中位线， ∴，， ∵， ∴， 故是等腰三角形． ∵， ∴． 10. 如图，正方形ABCD的对角线BD＝4，点P是对角线BD上的一个动点，点E在AB上且AE＝1，则△PAE周长的最小值为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 41 【答案】C 【解析】 【分析】连接AC、CE，CE交BD于P，根据正方形的性质可得出此时AP+PE的值最小，利用勾股定理求出CE长，即可求出答案． 【详解】解：连接AC、CE，CE交BD于P，连接AP， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OC，AC⊥BD， 即A和C关于BD对称， ∴AP=CP， 即AP+PE=CE，此时AP+PE的值最小， 所以此时△PAE周长的值最小， ∵正方形ABCD的对角线BD＝4，AE=1， ∴AD=AB，∠BAD=∠ABC=90°， ∵AD2+AB2=BD2=32， ∴AD=AB=4， ∴BE= AB –AE=4-1=3， 由勾股定理得：CE==5， ∴△PAE的周长的最小值是AP+PE+AE=CE+AE=5+1=6． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质，能找出符合的P点的位置是解此题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，在中，于点D，，，，则是________三角形． 【答案】直角 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 先利用勾股定理计算出，，然后利用勾股定理的逆定理可证明为直角三角形． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴为直角三角形． 故答案为：直角． 12. 如图，在四边形中，，要使得四边形是平行四边形，应添加的条件是________．（只填写一个条件，不使用图形以外的字母或线段）． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形； 故答案为（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，分别以点A、B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交AB于点D，连接CD，则CD的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB，再由线段垂直平分线的性质及直角三角形斜边中线的性质求CD即可； 【详解】解：∵∠ACB=90°，BC=1，AC=2， ∴ 根据题意，DE垂直平分AB， ∴AD=BD ∴D是AB的中点， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 14. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径为______． 【答案】 【解析】 【分析】将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度； 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处， ∴（），（）， 在中，（）． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键 15. 如图，是的中位线，点在上，且，连接并延长交延长线于点．若，则线段的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 先由三角形中位线的性质得出，，再证明，得到，即可由求解． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12． 16. 如图，已知，中，，，点、分别在边、上运动，的形状大小始终保持不变．在运动的过程中，点C到点O的最大距离为_____． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，解题关键是灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定动点的几何特征． 作于，连接，如图，根据等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，再根据直角三角形斜边上的中线性质得到，接着根据三角形三边的关系得到（当且仅当、、共线时取等号），从而求出的最大值即可． 【详解】解：作于，连接，如图， ，， ， 在中，， ， ， （当且仅当、、共线时取等号）， 的最大值为， 即点到点的最大距离为14． 故答案为：14． 三、解答题 17. 已知Rt△ABC中，，，求：上的中线和高的长 【答案】； 【解析】 【分析】用勾股定理求出的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长；利用面积公式可求出高． 【详解】∵， ∴ ∴ 是上的中线， 是上的高 ∴ 【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形相关定理是解题的关键． 18. 如图，在中，点、分别在边和上，且． （1）求证：． （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定等知识点，能根据性质证出是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，，根据证出； （2）首先根据平行四边形的性质得出，，然后结合得到，即可证明出四边形是平行四边形． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ∴. 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ， 又∵， 四边形是平行四边形． 19. 如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见详解． （2）13 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质知识， （1）根据平行四边形性质和角平分线性质可得，．即可得到，．即可求证结论． （2）过点A作，垂足为H，利用，可计算出的长度，结合（1）即可求出长度． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形． ∴，，． ∴，． ∵是的平分线，是的平分线． ∴，． ∴，． ∴，． ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 过点A作，垂足为H，如图： 由（1）知，且，， ∴， ． ∵， ∴， ∴，． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． 20. 如图，四边形，、、，连接，且． （1）求的长； （2）若，求的长． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】(1)根据，，，利用勾股定理求出； (2)如图，过点作交延长线于，利用勾股定理得到是直角三角形，再证明得到，的长，最后，利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作交延长线于． ∴， 由(1)知，又知， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $