精品解析：天津市红桥区2025-2026学年高三第二学期阶段性质量检测数学试卷（一）

红桥区2025-2026学年度第二学期阶段性质量检测（一） 高三数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．祝各位考生考试题利！ 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9题，每小题5分，共45分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题知， 所以与的关系为 2. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先验证充分性，即代入判断两直线是否平行；再求解必要性，通过两直线平行的系数关系求出所有满足的值，验证是否为唯一解，从而判断条件关系. 【详解】当时，直线，即；直线， 即，两直线斜率均为0且不重合，故. 若，则，展开得， 整理得，解得或. 当时，，即；， 即，两直线平行且不重合，满足条件. 因此，可推出，但不能仅推出， 故“”是“”的充分不必要条件. 3. 已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若平行于同一直线，则 B. 若垂直于同一直线，则 C. 若不平行，则在内不存在与平行的直线 D. 若不平行，则与不可能垂直于同一平面 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若平行于同一直线，则或与相交，所以A不正确； 对于B，若与垂直于同一直线，则与平行或相交或异面，所以B不正确； 对于C，若不平行，设，在平面内作直线， 因为，所以，即在内存在与平行的直线，所以C不正确； 对于D，若，可得，所以不平行，则与不可能垂直于同一平面，所以D正确. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 又，， 所以． 5. 在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可知顶点在底面的投影为的外心（正三角形的中心），外接球的球心在过该中心且垂直于底面的直线上，通过勾股定理建立方程求解半径. 【详解】如图，设点为底面的投影，因为， 则为正三角形的中心，计算可得， 则平面，连接 在中，： ， 设外接球的球心为，半径为，则在直线上. 设，则， 在中：解得：， 所以，即. 所以三棱锥外接球的半径为. 6. 函数的图象如图所示，则下列结论成立的是 A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：函数在处无意义，由图像看在轴右侧，所以，，由即，即函数的零点，故选C． 考点：函数的图像 7. 已知，若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为. 8. 设抛物线的焦点为，抛物线上一点，满足直线与轴正半轴交于点，且在之间，若，且点到抛物线准线的距离为，则点的纵坐标为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得点为靠近的三等分点，故设，得到，再根据焦半径公式得，再将点的坐标代入抛物线方程即可求得. 【详解】由题知抛物线的焦点，准线为， 设，由可知点为靠近的三等分点， 所以， 因为点到抛物线准线的距离为， 所以，解得， 所以抛物线的方程为，， 将点代入抛物线方程得，解得， 所以点的纵坐标为. 9. 已知函数的图象在轴上的截距为，在轴右侧的第一个最高点的横坐标为，关于该函数有下列四个说法： ①； ②； ③函数在上一定单调递增； ④在轴右侧的第一个最低点的横坐标为． 以上说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先通过已知条件求出三角函数的解析式，再判断题目中函数的性质. 【详解】因为函数的图象在轴上的截距为，所以， 因为，所以，①正确； ， 因为在轴右侧的第一个最高点的横坐标为， 所以，，， 则， 所以函数在上单调递增，③正确； ， 所以在轴右侧的第一个最低点的横坐标为，④正确； ，所以 则 故的最大值为， 因为，所以②错误． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10. 已知是虚数单位，若，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以. 11. 二项式的展开式的常数项___________． 【答案】120 【解析】 【详解】的通项是 令，解得 所以常数项为 12. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 13. 袋中装着标有数字的小球各个，从袋中任取个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的个小球上的最大数字，则取出的个小球上的数字互不相同的概率为___________；随机变量的数学期望为___________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】第一空：利用古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求出结果；第二空先求出的可能取值为，再求出的每个取值的概率，由期望的计算公式，即可求解. 【详解】“取出的个小球上的数字互不相同”记为事件， 则为“取出的个小球上有个数字相同”，∴，则． 又由题意可知的可能取值为， ，， ，． 可得的分布列如表所示， 2 3 4 5 所以. 14. 四边形中，，则实数___________；若是线段上的动点，且，则的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（1）根据和向量的数量积定义式计算. （2）建立平面坐标系，设，用表示出，根据二次函数性质得出最小值． 【详解】 因为，所以， 又因为，所以， 所以， 所以； 过作，垂足为， 所以为直角三角形，， 所以，， 由勾股定理可得，， 以为原点，以，所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示： 由，可知，， 则，设， 由可得：，， 所以，， 所以， 当时，取得最小值. 15. 已知不等式对任意都成立，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】将两侧同时平方，移项整理得，令，，讨论，同负、，两种情况，结合对应二次函数性质求参数范围. 【详解】由对任意都成立， ， 令，， 即且，或者同负， 若、同负，零点相同（不符合）； 若，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：问题化为，进而转化为两个二次函数乘积形式，结合二次函数性质分类讨论求参数范围. 三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 在中，内角所对的边分别是，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理代入计算解方程可得结果； （2）由正弦定理直接计算即可； （3）先由二倍角公式计算得出，再由两角和的正弦公式计算可得结果. 【小问1详解】 由可得， 整理可得，即， 解得； 【小问2详解】 易知， 由可得； 由正弦定理可得； 【小问3详解】 因为，； 所以. 17. 如图，直棱柱中，底面为等腰直角三角形，，是中点，是中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 由于在直棱柱中，则⊥平面， 又由，所以，,两两垂直， 故可以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因为， 所以，即， 令，则，则， 又因为， 所以， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系证明平面的法向量，即可证明； （2）求出平面的法向量，用坐标法求解即可； （3）使用向量法求出到平面的距离，再利用体积公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为， 又， 则，即， 令，则，， 由（1）知平面的法向量为， 设二面角的大小为，由图象可知， 故. 【小问3详解】 由已知平面，所以为直角三角形， 因为，， 所以， 又，平面的法向量为， 则到平面的距离， 故. 18. 已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点围成的三角形面积是1，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于不同两点，与圆相切于点． ①证明：（为坐标原点）； ②设，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）①∵直线与相切， ∴，即． 联立消去得， 设，则， 所以 ， ∴． ②. 【解析】 【分析】（1）根据已知列方程组求得即可求出椭圆的方程； （2）①直线与圆相切得到，再利用直线与椭圆相交利用韦达定理得到即可求证； ②利用结合①可得答案. 【小问1详解】 依题意，解得， ∴椭圆的方程为． 【小问2详解】 ①略 ②直线与椭圆交于不同的两点，∴， ∴， 由①知，∴，即， ∴，又，∴的取值范围为． 19. 在信息传输过程中，为确保信息安全，需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．为生成密钥序列A，现定义一个简单的加密算法，它的作用是在第轮对密钥片段进行一次变换，具体变换规则如下：若为奇数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加1，偶数项的值减少；若为偶数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加 ，偶数项的值减少2．若初始密钥序列，，则加密序列的所有项之和为，已知数列的前项和，且满足． （1）写出，并求出数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）证明：． 【答案】（1），； （2）； （3），， 所以， 所以， 设， 所以， 两式相减得， 设， 则， 两式相减得， ， 所以， 所以， ， 所以. 【解析】 【分析】（1）本小问是两个独立的问题，前一部分是新定义，按新定义求出；后一部分是已知数列的和，求数列的通项，求和与通项的关系求解，是常规考法； （2）先找到题中给出的关系，再分奇偶讨论； （3）先放缩，再求和，最后证明不等式. 【小问1详解】 因为， 所以， ， ， ； 因为，所以，； 时，， ， ，， 所以数列是首项为1，公比为4的等比数列， . 【小问2详解】 经过变换后，奇数项的每一项都增加1，偶数项的每一项都减少，各项之和增加； 经过变换后，奇数项的每一项都增加，偶数项的每一项都减少2，各项之和增加； 所以经过和两轮变换后，各项之和增加， ， 所以， 即为偶数时，； 为奇数时，为偶数，令 ，则， ， ； 综上，. 【小问3详解】 略 20. 已知为正实数，函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明如下： 先证右侧不等式，如下： 由（2）可得，当时，有， 可得，所以， 即， 则有； 即，右侧不等式得证； 左侧不等式证明如下： 构造函数，则在上恒成立； 即在上单调递减，可知， 可得，也即， 可得， 因此， 可得 又因为， 所以， 故，左侧得证； 综上可得，不等式成立. 【解析】 【分析】（1）对函数求导代入，计算出斜率和点坐标即可求得切线方程； （2）求导后对参数进行分类讨论，求得函数单调性根据恒成立，可得出； （3）根据（2）中结论，可得当时，再由对数运算法则以及不等式放缩计算证明即可. 【小问1详解】 易知， 当时，，此时， 又， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 由（1）可知， 若，即时，， 此时函数在区间上单调递增， 因此，符合题意； 若，即， 当时，，函数在区间上单调递减， 此时，不合题意； 综上所述，的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红桥区2025-2026学年度第二学期阶段性质量检测（一） 高三数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．祝各位考生考试题利！ 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9题，每小题5分，共45分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若平行于同一直线，则 B. 若垂直于同一直线，则 C. 若不平行，则在内不存在与平行的直线 D. 若不平行，则与不可能垂直于同一平面 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的半径为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象如图所示，则下列结论成立的是 A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 已知，若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 设抛物线的焦点为，抛物线上一点，满足直线与轴正半轴交于点，且在之间，若，且点到抛物线准线的距离为，则点的纵坐标为（ ） A. 1 B. C. D. 9. 已知函数的图象在轴上的截距为，在轴右侧的第一个最高点的横坐标为，关于该函数有下列四个说法： ①； ②； ③函数在上一定单调递增； ④在轴右侧的第一个最低点的横坐标为． 以上说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10. 已知是虚数单位，若，则___________． 11. 二项式的展开式的常数项___________． 12. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 13. 袋中装着标有数字的小球各个，从袋中任取个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的个小球上的最大数字，则取出的个小球上的数字互不相同的概率为___________；随机变量的数学期望为___________． 14. 四边形中，，则实数___________；若是线段上的动点，且，则的最小值为___________． 15. 已知不等式对任意都成立，则实数的取值范围是______ 三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 在中，内角所对的边分别是，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 如图，直棱柱中，底面为等腰直角三角形，，是中点，是中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 18. 已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点围成的三角形面积是1，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于不同两点，与圆相切于点． ①证明：（为坐标原点）； ②设，求实数的取值范围． 19. 在信息传输过程中，为确保信息安全，需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．为生成密钥序列A，现定义一个简单的加密算法，它的作用是在第轮对密钥片段进行一次变换，具体变换规则如下：若为奇数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加1，偶数项的值减少；若为偶数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加 ，偶数项的值减少2．若初始密钥序列，，则加密序列的所有项之和为，已知数列的前项和，且满足． （1）写出，并求出数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）证明：． 20. 已知为正实数，函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $