精品解析：2026年湖南长沙市一中教育集团九年级下学期中考一模（期中）数学试题

2026年上学期九年级期中考试 数学试题卷 考试时间：4月2日 10:00-12:00 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分。 一、选择题（本大题共10小题，每小题，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 年是我国成功完成珠穆朗玛峰高程测量六周年．为持续开展高原气候变化研究，我国科考队员再次向世界之巅进发．科考队从海拔米的珠峰大本营出发，如果向上（往峰顶方向）攀登米记作米，那么完成任务后，他们向下（往返回方向）行走米应记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【详解】解：向上攀登米记作米，则向下行走米应记作米． 2. 发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：该建筑主体是一个正六棱柱，其示意图的左视图是 3. 截至2025年12月30日，《疯狂动物城2》的全球总票房约为元，数“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的运算法则与合并同类项法则逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意． 5. 用代数式表示“a的3倍与b的差的一半”为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题按照题目描述的运算顺序，逐步拆解列出代数式，先计算倍数，再计算差，最后计算差的一半即可得到结果． 【详解】解：∵ 的3倍可表示为 ， ∴的3倍与的差可表示为 ， ∴ 上述差的一半可表示为 ， 则用代数式表示“a的3倍与b的差的一半”为． 6. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象过点 B. y随着x的增大而增大 C. 其图象可由的图象向上平移5个单位长度得到 D. 图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】一次函数点与函数图象的关系，增减性，图象平移规律和图象所在象限的判断方法逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．当时，，∴图象不过点，A错误，不符合题意； B．，∴随的增大而减小，B错误，不符合题意； C．的图象向上平移个单位长度得到，不是，C错误，不符合题意； D．，，∴图象经过第一、二、四象限，D正确，符合题意． 7. 如图，直线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 8. 如图，已知是的直径，的弦于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由垂径定理可得，由弧与圆心角之间的关系可得，再由圆周角定理可得答案． 【详解】解：∵是的直径，的弦于点E， ∴， ∴， ∴． 9. 图1是2026年1月份的日历，用图2所示的“九宫格”框住图1中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为．当图2在图1的不同位置时，代数式为定值，则m的值为（ ） A. B. 5 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据日历表示出各字母的值，然后整理代数式，根据定值求出的值即可． 【详解】解：根据题意可得， ，，， ∴ ， ∵代数式为定值， ∴，解得，   故选：C ． 二、填空题（本题共6小题，每小题，共18分） 10. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义时分母不为零得到，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 11. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，然后根据平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 12. 为了解某校学生参与“数学趣味运动周”活动的情况，从该校全校1200名学生中，随机抽取了150名学生进行调查，结果显示有120名学生表示至少参加了三项趣味数学项目．根据这个调查结果，估计该校全体学生中至少参加了三项趣味数学项目的学生有________名． 【答案】960 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体，解题思路为先计算抽取的样本中至少参加三项趣味数学项目学生的频率，再用全校总人数乘以该频率，得到总体的估计值． 【详解】解：由题意得，抽取的名学生中，至少参加三项趣味数学项目学生的频率为：， 因此估计该校全体学生中至少参加三项趣味数学项目的学生人数为：， 故答案为：． 13. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______ 【答案】 【解析】 【分析】圆锥的侧面积(底面半径，母线长)，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为， ∴圆锥的侧面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法，掌握相应公式是解题的关键． 14. 如果多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数是________． 【答案】12 【解析】 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形每个外角都为， ∴该多边形的边数为， 故答案为12． 15. 小明在数学活动课上制作了两张卡片：一张是正方形，其中点O是正方形对角线的交点，另一张是等腰直角三角形，且．他将三角形卡片的一个顶点固定在正方形的顶点B处，然后绕着点B逆时针旋转三角形．当他旋转到某个角度时，发现三角形卡片的另外两个顶点与正方形的一个顶点D恰好三点共线．此时的长度为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况考虑：点Q在线段上；点Q在线段的延长线上；利用正方形的性质、旋转的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，是等腰直角三角形， ∵，将三角形卡片的一个顶点固定在正方形的顶点B处，然后绕着点B逆时针旋转三角形， ∴三角形可视为绕着点B逆时针旋转得到的， 由勾股定理得：， ∴， 由旋转性质得：，； 当点Q在线段上，如图1所示； 则， ∴； 点Q在线段的延长线上，如图2所示； ∵， ∴； 综上，的长为或． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】先分别处理每一项：计算算术平方根、去绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂，完成各项化简后，按照实数的加减运算法则进行合并计算． 【详解】原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，在中，，以点B为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边于点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点G，连接并延长交于点D． （1）求证：平分； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：连接， 由作图知，， 在与中， ， ， 平分． （2） 【解析】 【分析】（1）可根据角平分线的尺规作图知，然后证明与全等进而证明平分． （2）根据条件和（1）中结论可先求出和的度数；然后在和中，利用直角三角形的边角关系求出、的长度，最后根据代入对应数值即可求解． 【详解】（1）略 （2）过点D作交于点H． ， ， 平分， ， 在中，， 在中，， ． 19. 2026年湘超联赛即将开幕，卫冕冠军永州队在去年决赛中勇夺冠军，他们“永不言弃、勇往直前”的“永冲锋”精神，正激励着三湘大地的足球少年．为增强学生足球技能，某中学组织学生进行定点射门训练，规定每人射门3次，现对初三（1）班的学生射中的次数进行统计，绘制成如下两幅统计图，根据图中信息，回答下列问题： （1）初三（1）班总人数为________人，________； （2）射中“1次”对应的扇形圆心角为________； （3）在定点射门射中“3次”的3名男生和1名女生中，抽调两名学生参加学校足球比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到1名女生和1名男生的概率． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据射中0次的人数除以所占百分数求出总人数，用射中3次的人数除以总人数即可求出所占的百分数； （2）用射中“1次”的人数除以总人数即可求出所占的百分数，利用射中“1次”的圆心角度数射中“1次”的百分数计算即可； （3）列表表示出所有等可能的情况，再从中找出抽到1名女生和1名男生的情况数，利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：初三（1）班的学生人数为（人）， 射中3次的比例为，所以； 【小问2详解】 解：扇形统计图中“1次”的比例为， 对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：列表法如下： 男1 男2 男3 女 男1 男1、男2 男1、男3 男1、女 男2 男2、男1 男2、男3 男2、女 男3 男3、男1 男3、男2 男3、女 女 女、男1 女、男2 女、男3 由表可知，共有12种等可能的情况，其中恰好抽到1名女生和1名男生的情况有6种， ， 答：恰好抽到1名女生和1名男生的概率是． 20. 如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点在上，且，连接． （1）求证：； （2）若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ； （2） 解：四边形是菱形．理由如下： 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． 又， ， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，从而得到，可利用证明； （2）先证明四边形是平行四边形，再由，可得，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． （1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ （2）已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和15人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 【答案】（1）甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元 （2）购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大 【解析】 【分析】（1）设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购买甲型机器人台，6台机器人每天服务客人的人数为，根据题意列出不等式组求出的范围，列出一次函数，根据一次函数的性质，求最值即可. 【小问1详解】 解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元， 依题意，得 解得 答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元． 【小问2详解】 解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台． 依题意，得 解得． 设6台机器人每天服务客人的人数为， 则． ， 随的增大而增大， ∴当时，取得最大值 ∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大. 22. 2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为．已知点在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计． （1）求攀登难点N的高度（即的长）； （2）求观察点B的铅直高度（结果保留根号）． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）解，即可得攀登难点N的高度； （2）过点作交于点，交于点，由矩形的判定和性质，可得，，由已知结合等腰三角形的判定可得，设米，可得米，米，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，米，， ∴（米）， 故该攀登难点N的高度为米． 【小问2详解】 解：如图，过点作交于点，交于点， 又， ∴四边形是矩形． ∴，， 设米，则米， ∵在中，， ∴米，米， ∵在中，， ∴， 又米，米， ∴， 解得． 故观察点B的铅直高度为米． 23. 对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y的取值范围为，且满足，则称此函数为“拉伸函数”． 例如：正比例函数，当时，，则，解得，所以函数为“拉伸函数”． （1）①一次函数为“拉伸函数”，则k的值为________； ②若一次函数为“拉伸函数”，则c的值为________． （2）反比例函数，且是“拉伸函数”，且，请求出的值； （3）已知二次函数，当时，是“拉伸函数”，求k的取值范围． 【答案】（1）①2；②3或 （2）2026 （3） 【解析】 【分析】（1）①因为要判断一次函数是“拉伸函数”，所以先根据一次函数的单调性，求出时的取值范围，再代入计算的值． ②因为一次函数的系数的正负会影响单调性，所以分和两种情况，分别求出时的取值范围，再代入求解的值． （2）因为且，先求出此时的取值范围，再根据“拉伸函数”的定义得到等式，结合​，利用完全平方公式求的值． （3）先确定二次函数的对称轴为，因为对称轴位置会影响时函数的最值，所以分对称轴在的左侧、区间内、区间右侧三种情况，分别求出每种情况下的取值范围，再根据“拉伸函数”的定义得到关于的表达式，最后求的取值范围． 【小问1详解】 根据定义：，其中是的最大值，是的最小值． ① ∵，随增大而增大， ∴ 当时，y取最小值；当时，y取最大值； ∴，，，  代入定义得：，解得． ② ∵，， ∴， 分两种情况： 当时，递增，，解得； 当时，递减，，得； 因此． 【小问2详解】 ∵反比例函数（，） ∴在时，反比例函数随x的增大而减小， ∴最大值，最小值， ∴， ∴， ∴． ∵函数是“拉伸函数”，即， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【小问3详解】 二次函数，开口向下，对称轴为， ， ∴​， 分情况讨论： 当时，对称轴在的左侧，在内函数y随x的增大而减小， ∴， ∴， 又∵， ∴； 当时，对称轴在内，最大值在顶点处，， 若，最小值在，得，范围为； 若，最小值在，得​，范围为； ∴时，； 当时，对称轴在右侧，在内函数y随x的增大而增大， ∴， ∴， 又∵，∴． 综上，合并所有情况得． 24. 如图1，是的内接三角形，点A为劣弧的中点，直径，弦，点P为射线上一点，点E为弧上一动点，与交于点D，连接与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数； （3）设，且． ①求y关于x的函数关系式（不需写自变量取值范围）； ②如图2，若与交于点Q，作于点H，交于点M，当时，求x的值． 【答案】（1） 证明：点A为劣弧的中点， ， ， 又， ． （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）由得到，再由即可证明； （2）连接，由垂径定理以及弧与弦的关系可得，，由勾股定理求解，，由面积关系可设，根据，得到，求出，解，求出，再由求解即可； （3）①可得，设，由（2）得，则，由勾股定理可得，则； ②过点M作于T，先证明，则，结合，可得，求出，而，设，对运用勾股定理求解得到，则，证明，则，代入，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图1，连接， ， ，， ∵直径为， 半径为5， ， ， ， ， 即， 设， ， ， ， ， （负值舍去）， ， ， 在中，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：①由（2）得， ，且两三角形同高， ， 设， 由（2）得， ， ， ， ； ②如图2，过点M作于T， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， 设， ， （负值舍去）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 代入， ， 解得， 经检验是原方程的根， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $