精品解析：浙江省舟山市普陀区2025-2026学年第二学期阶段性素养监测试题卷 九年级 数学

2025学年第二学期阶段性素养监测试题卷 九年级 数学 一．选择题（每题只有一个正确答案，每题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 根据某网站统计数据，截止至2025年2月，的总访问量达到了278000000次，为读写方便，可将数278000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 小普计划周末在“朱家尖大青山”“展茅田园综合体”“塘头最美公路”三个地点中随机选择一个地点来一个说走就走的踏青之旅．他选中“塘头最美公路”的概率为（ ） A. B. C. 1 D. 5. 如图，点，，在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若的面积为，则的面积为（ ） A. 20 B. C. 30 D. 8. 李技师与张技师为艺术节做手工艺品，张技师比李技师每小时少件，已知张技师做件与李技师做件所用时间相等，问张技师、李技师每小时各做手工艺品多少件？设张技师每小时做手工艺品 件，则根据题意，可列出方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径， 是的弦，，垂足为 ，连接并延长，与过点的切线 相交于点，连接．若的半径为 ，，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线的对称轴是直线，若，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，共18分） 11. 分解因式：x2﹣4x=__． 12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 13. 方程组的解是___________． 14. 某圆锥的母线为，底面半径为，则圆锥的侧面积为_________． 15. 如图，在平行四边形 中，，，将平行四边形 绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当经过点C时，点到的距离为_________． 16. 如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形 ，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是 和，⑤是正方形，直角顶点E，F，G，H分别在边上． （1）若，，则的长是_________ ． （2）若，则的值是_______． 三．解答题（17，18，19，20，21题每题8分，22，23题每题10分，24题12分，共72分） 17. 计算 （1）． （2），求的值． 18. 解不等式组．并在数轴上表示这个不等式组的解集． 19. 如图，是由绕点C顺时针旋转得到的，即，且．   （1）求证：． （2）若，求的长． 20. 读书是文化建设的基础，为充分发挥读书启智润心的正能量，让读书成为一种有品质的生活方式，成为新时代的新风尚．某社区设立了家庭成年人阅读问卷调查，社区管理人员随机抽查了户家庭进行问卷调查，将调查结果分为个等级：A、B、C、D， 整理如下：下面是家庭成年人阅读时间在 小时内的数据： ， ， ，， ，，，， ， ， ，，， ，． 家庭成年人阅读时间统计表： 等级 阅读时间（小时） 频数 A B C D 合计 请结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的______，______； （2）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为______度，______； （3）该社区宣传管理人员有男女，要从中随机选两名人员参加读书日宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“男女”的概率． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， （1）求和的值． （2）横坐标为的点是反比例函数图象上的一点．现将点向下平移．当点落在一次函数图象上时，求向下平移的距离． 22. 如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点．经测得景点位于景点的北偏东方向上，位于景点的北偏东方向上，景点位于景点的南偏西 方向上．已知． （1）求的度数； （2）求景点与景点之间的距离．（结果保留根号） 23. 设二次函数． （1）若该函数的对称轴为直线．求该函数的顶点坐标； （2）判断该函数是否存在最大值11，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）已知点，和在函数图象上，当 时，都有，求的取值范围． 24. 如图，是的外接圆，点位于外一点，连接，， ．交于点 ，连接 ．已知． （1）如图，求证： ． （2）如图，经过圆心，，． ① 求 的值； ② 若，求的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期阶段性素养监测试题卷 九年级 数学 一．选择题（每题只有一个正确答案，每题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： 的相反数是 ． 2. 根据某网站统计数据，截止至2025年2月，的总访问量达到了278000000次，为读写方便，可将数278000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选：B． 3. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形求解即可． 【详解】解：该几何体的主视图为， 故选：A． 4. 小普计划周末在“朱家尖大青山”“展茅田园综合体”“塘头最美公路”三个地点中随机选择一个地点来一个说走就走的踏青之旅．他选中“塘头最美公路”的概率为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“概率=所求情况数与总情况数之比”解答即可． 【详解】解：在“朱家尖大青山”“展茅田园综合体”“塘头最美公路”三个地点中随机选择一个地点来一个说走就走的踏青之旅．小普选中“塘头最美公路”的概率为． 5. 如图，点，，在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆周角定理可得． 【详解】解：∵，， ∴． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 7. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若的面积为，则的面积为（ ） A. 20 B. C. 30 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，根据位似图形的性质得到，由相似三角形的性质得到，相似三角形的面积比等于相似的平方，代入计算即可求解． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 8. 李技师与张技师为艺术节做手工艺品，张技师比李技师每小时少件，已知张技师做件与李技师做件所用时间相等，问张技师、李技师每小时各做手工艺品多少件？设张技师每小时做手工艺品件，则根据题意，可列出方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵设张技师每小时做手工艺品件，张技师比李技师每小时少做件， ∴李技师每小时做件， ∵工作时间 ， ∴张技师做件的时间为，李技师做件的时间为， 又∵张技师做件与李技师做件所用时间相等， ∴可得方程 ． 9. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长，与过点的切线 相交于点，连接．若的半径为 ，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理、圆的切线的性质、相似三角形的性质及判定圆周角定理的推论等，根据垂径定理容易求，然后证明，可求得． 【详解】如图所示，连接． 因为是的直径，， 所以垂直平分线段，． 所以，． 所以． 因为 是的切线， 所以． 所以． 又因为． 所以． 所以． 所以． 故选：C 10. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线的对称轴是直线，若，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断出抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，抛物线与y轴交于点，然后分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线开口向上 ∵抛物线的对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 ∵当时， ∴抛物线与y轴交于点 当时， ∵ ∴，不符合题意； 当当时， ∵ ∴对称轴到的距离小于对称轴到的距离 ∴，即； ∴； 当对称轴在点和点之间时，即当时， ∵ ∴对称轴到的距离小于对称轴到的距离 ∴，即 ∴ 当对称轴在点右边时，即当时， ∵ ∴，不符合题意； 综上所述，t的取值范围是． 二．填空题（每题3分，共18分） 11. 分解因式：x2﹣4x=__． 【答案】x（x﹣4） 【解析】 【详解】解：x2﹣4x=x（x﹣4）． 故答案为：x（x﹣4）． 12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， x的取值范围是． 13. 方程组的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据方程的特点灵活选择解方程的方法是关键；利用加减法求解即可． 【详解】解：， 得：， 解得：； 把代入②得：， 解得： ， 故方程组的解为． 14. 某圆锥的母线为，底面半径为，则圆锥的侧面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式，其中是底面半径，是母线长，计算即可得出结果． 【详解】解：圆锥的侧面积为． 15. 如图，在平行四边形中，，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当经过点C时，点到的距离为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，由旋转的性质可得，，，，由等边对等角并结合三角形内角和定理求出，作，交于点，由直角三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 由旋转的性质可得：，，，， ∴， ∴， ∴， 如图，作，交于点， ， ∴，即当经过点C时，点到的距离为． 16. 如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是 和，⑤是正方形，直角顶点E，F，G，H分别在边上． （1）若，，则的长是_________ ． （2）若，则的值是_______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】（1）首先得到，然后结合求出，进而求解即可； （2）由已知条件可以证明，从而得到，设，，，用x和k的式子表示出，再利用列方程，解出x，从而求出的值． 【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； （2）设， ∵， ∴可设，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ， ∵四边形对角互补， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得，（舍去）， ∴． 三．解答题（17，18，19，20，21题每题8分，22，23题每题10分，24题12分，共72分） 17. 计算 （1）． （2），求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂、三角函数、零指数幂、二次根式化简，即可求解； （2）先对原分式处理得到，再代入值求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解不等式组．并在数轴上表示这个不等式组的解集． 【答案】 ， ∴在数轴上表示两个不等式的解集如下： 【解析】 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上画出两个解集，确定其公共部分即可． 【详解】解： 由①得： 解得 ； 由②得： 解得， ∴不等式组的解集为： ． 19. 如图，是由绕点C顺时针旋转得到的，即，且．   （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，从而得出，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴ ． 20. 读书是文化建设的基础，为充分发挥读书启智润心的正能量，让读书成为一种有品质的生活方式，成为新时代的新风尚．某社区设立了家庭成年人阅读问卷调查，社区管理人员随机抽查了户家庭进行问卷调查，将调查结果分为个等级：A、B、C、D， 整理如下：下面是家庭成年人阅读时间在 小时内的数据： ， ， ，， ，，，， ， ， ，，， ，． 家庭成年人阅读时间统计表： 等级 阅读时间（小时） 频数 A B C D 合计 请结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的______，______； （2）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为______度，______； （3）该社区宣传管理人员有男女，要从中随机选两名人员参加读书日宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“男女”的概率． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由家庭成年人阅读时间在 小时内的数据可得答案； （2）用 乘以等级的人数所占的百分比，即可求出组对应扇形的圆心角的度数；求出等级的人数所占的百分比即可得出答案； （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选中“男女”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由家庭成年人阅读时间在 小时内的数据可知，， ． 故答案为：； ； 【小问2详解】 解：扇形统计图中组对应扇形的圆心角为． ， ． 故答案为：；； 【小问3详解】 解：设名男生记为，名女生记为，， 画树状图如下： 共有 种等可能的结果，其中恰好选中“男女”的结果有：，，，，共种， 恰好选中“男女”的概率为． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， （1）求和的值． （2）横坐标为的点是反比例函数图象上的一点．现将点向下平移．当点落在一次函数图象上时，求向下平移的距离． 【答案】（1）， （2）向下平移的距离为 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数，点的平移，掌握待定系数法求解析式，平移规律是解题的关键． （1）把代入一次函数，反比例函数解析式即可求解； （2）根据题意得到，根据点的平移得到平移后，代入一次函数解析式即可求解． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴， 解得，，则一次函数解析式为， ∴， 解得，，则反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：点的横坐标为，且点在反比例函数图象上， ∴，即， 设点向下平移了个单位， ∴， ∴， 解得，， ∴向下平移的距离为． 22. 如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点．经测得景点位于景点的北偏东方向上，位于景点的北偏东方向上，景点位于景点的南偏西 方向上．已知． （1）求的度数； （2）求景点与景点之间的距离．（结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得出，的度数，再根据即可求解； （2）通过计算的度数，得到，由等角对等边可得 ，在中，解直角三角形求出，，从而求出 ，再根据，，求出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，由题意可得，，，，． ，， ； 【小问2详解】 解：， ． 由（1）得， ． ． 在中，，， ， ， ． ，， ， ． 景点与景点之间的距离为． 23. 设二次函数． （1）若该函数的对称轴为直线．求该函数的顶点坐标； （2）判断该函数是否存在最大值11，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）已知点，和在函数图象上，当 时，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2）该函数存在最大值11，此时的值为或； （3） 或． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线对称轴求出的值，再代入解析式化为顶点式，即可得解； （2）将解析式化为顶点式可得当时，该函数有最大值，再根据一元二次方程根的判别式求解即可； （3）将点代入函数解析式求出 ，从而判断函数图象开口向下，对称轴为直线，则，且，即可得解． 【小问1详解】 解：二次函数的对称轴为直线， ， 解得：， ， 该函数的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：， 若该函数存在最大值11， 则，整理得， ， 解得：，， 即该函数存在最大值11，此时的值为或； 【小问3详解】 解：点在函数图象上， ， 解得： ， ， 函数图象开口向下，对称轴为直线， ，且， 和在函数图象上，且当 时，都有， 或． 24. 如图，是的外接圆，点位于外一点，连接，，．交于点，连接．已知． （1）如图，求证： ． （2）如图，经过圆心 ，，． ① 求 的值； ② 若，求的半径． 【答案】（1） 证明： ， ． ， ； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和圆周角定理解答即可； （2）①连接，，利用全等三角形的判定与性质得到 ，利用圆的有关性质，等腰三角形的性质和平行线的性质得到 ，利用相似三角形的判定与性质得到，，直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论； ②连接，，的延长线交于点，设的半径，则 ，利用（2）①的结论得到 ，利用三角形的中位线定理得到 ，再利用勾股定理列出关于的方程解答即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①连接，，如图， 在和 中， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ， ∵ ， ， 为圆的直径， ， ． ， ； ②连接，，延长交于点，如图， 设的半径为，则 ， 由（2）①知：， ， 由（2）①知： ， ， ，， ， 为的中位线， ， ， ，， ， 解得， ， ． 答：的半径为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $