精品解析：云南大理州民族中学2025-2026学年下学期4月阶段性测试高一数学试卷

云南大理州民族中学2025-2026学年下学期4月阶段性测试高一数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则 A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 如图，已知，，，用、表示为（ ） A. B. C. D. 5. 要得到函数的图象，需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 6. 设向量，若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 设向量, 则是“”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数，，的零点依次为，则的大小关系为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 10. 设正实数x，y满足，则（ ） A. xy有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 11. 已知函数的最小值为1，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 图象的一条对称轴为直线 C. 图象的一个对称中心为点 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算______. 13. 已知，均为锐角，，，则______，______. 14. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）若，求实数k的值； （2）求与的夹角的余弦值. 16. 已知函数 （1）判断在区间上的单调性，并用定义证明； （2）求在区间上的值域. 17. 给定函数，，，用表示，中较大者，记为例如，当时， （1）在同一坐标系中作出及的图象，并写出的解析式； （2）对，有恒成立，求实数m的取值范围. 18. 已知函数，（）的周期是. （1）求函数的解析式并求函数在上的单调增区间； （2）解不等式； （3）若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 19. 双曲函数是一类在物理学上应用十分广泛的函数，与常见的三角函数类似，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，并且它具有与三角函数相似的一些性质.给出两种双曲函数定义：双曲正弦函数，双曲余弦函数： 根据定义，解决下列问题： （1）通过将双曲函数与我们已学习过的三角函数进行类比，得到下列性质； ① ② ③ 请在这三个性质中选择其中一个加以证明，你选择的是_____填入其中一个序号，多选只按第一个计分 （2）已知函数在区间上有两个不同的零点，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南大理州民族中学2025-2026学年下学期4月阶段性测试高一数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】，，则， 集合， 故 故选：B. 2. 已知向量，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，故选B. 考点：本题考查平面向量的坐标运算，属于容易题. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】将的值依次代入函数解析式，即可求解． 【详解】解：函数， 则， 故 故选：C 4. 如图，已知，，，用、表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算，结合图象几何性质，可得答案. 【详解】由，则， ， 则. 故选：D. 5. 要得到函数的图象，需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据左加右减的平移原则一一判断，得到答案. 【详解】A选项，把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度得到，A正确； B选项，把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度得到，B错误； C选项，把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到，C错误； D选项，把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到，D错误. 故选：A 6. 设向量，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直得到方程，求出，利用正切二倍角公式求出答案. 【详解】因为，若，所以， 则，所以． 故选：A． 7. 设向量, 则是“”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量共线的充要条件：向量的坐标交叉相乘相等；求出的充要条件，判断前者成立是否能推出后者成立，反之判断后者成立能否推出前者成立，利用充要条件的定义得到结论． 【详解】的充要条件为，即或， “”是“或”成立的充分不必要条件， “”是“”的充分不必要条件， 故选A． 【点睛】判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先对各个条件进行化简，再利用充要条件的定义加以判断． 8. 已知函数，，的零点依次为，则的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】结合方程两边代表的函数的图像可知只有一个交点，即零点；由方程两边代表的函数的图像可知只有一个交点，即零点；由方程两边代表的函数的图像可知只有一个交点，即零点，应选答案B． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示判断A，根据向量平行和数量积的坐标表示判断B，根据向量模长的坐标表示判断C，根据向量夹角的坐标表示判断D. 【详解】选项A，若，则，解得，故A项错误； 选项B，若，则，解得， 则，故B项正确； 选项C，若，则，所以，故C项正确； 选项D，，则，，， 所以，所以与的夹角不是，故D项错误， 故选：BC 10. 设正实数x，y满足，则（ ） A. xy有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式求出最值判断AB;利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断C；利用基本不等式等号成立的条件判断D即可. 【详解】对于A，由，，得，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D， ，当且仅当，即时取等号， 而，因此不能取等号，D错误. 故选：BC 11. 已知函数的最小值为1，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 图象的一条对称轴为直线 C. 图象的一个对称中心为点 D. 在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角变换公式结合最小值可得，利用周期公式可判断A的正误，利用代入法可判断BC的正误，利用正弦函数的性质可判断D的正误. 【详解】 ， 因为的最小值为1，故，故， 所以，所以的最小正周期为，故A正确； ，而为函数的最小值， 故图象的一条对称轴为直线，故B正确； 而函数图象的对称中心的纵坐标为，故不是函数图象的对称中心，故C错误； 当，，而在上单调递增， 故在上单调递增，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算______. 【答案】#### 【解析】 【分析】根据对数运算的性质即可求解． 【详解】 故答案为：. 13. 已知，均为锐角，，，则______，______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式即可求出，先确定的范围，再求出的正弦值即可. 【详解】因为， 所以， 又因，均为锐角，所以，则， 所以，所以，， 又因，所以， 则， 所以. 故答案为：；. 14. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用，结合已知条件可把求出，由平面向量基本定理把、用已知向量、表示，再利用数量积的运算法则可求数量积． 【详解】，， ，存在实数，使得，即， 又，则， ，，， 则 ， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）若，求实数k的值； （2）求与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量的模长公式可得，即可根据向量数量积的运算律即可代入求解， （2）根据夹角公式即可求解. 【小问1详解】 由题意知，，又，所以， 由，得，即 又，所以，解得. 【小问2详解】 设与的夹角为，则 所以与的夹角的余弦值为. 16. 已知函数 （1）判断在区间上的单调性，并用定义证明； （2）求在区间上的值域. 【答案】（1）在区间上的单调递增，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）任取，然后利用作差法比较与的大小即可判断； （2）结合函数的奇偶性及单调性即可求解． 【小问1详解】 在区间上的单调递增，证明如下： 任取，， 则， 因为，所以，所以，所以， 即，所以，即在区间上的单调递增； 【小问2详解】 因为，即为奇函数， 由可得在上单调递增， 由奇函数的对称性可知，在上单调递增， 因为，， 故函数的值域为 . 17. 给定函数，，，用表示，中较大者，记为例如，当时， （1）在同一坐标系中作出及的图象，并写出的解析式； （2）对，有恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）图象 （2） 【解析】 【分析】（1）直接作出函数图象即可； （2）的最小值为，由，恒成立，等价于，解不等式即可． 【小问1详解】 作出，的图象， 所以； 【小问2详解】 由知，函数在区间单调递减，在区间单调递增， 所以的最小值为， 由，恒成立， 则， 即，所以， 而，当且仅当，即时等号成立， 所以实数m的取值范围是 . 18. 已知函数，（）的周期是. （1）求函数的解析式并求函数在上的单调增区间； （2）解不等式； （3）若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式、辅助角公式化简，结合周期求出确定，根据的范围确定的范围，即可确定函数的单调递增区间. （2）将看成整体，解不等式，即可求解. （3）根据的范围确定的范围，由此确定的范围，得到不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 因为 ， 因为，所以，所以， 因为，所以， 当时，即时函数单调递增， 所以函数的单调递增区间为：. 【小问2详解】 因为，即， 所以，， 解得：，， 所以不等式的解集为：. 【小问3详解】 当时，，此时， 因为不等式恒成立， 所以，解得：. 19. 双曲函数是一类在物理学上应用十分广泛的函数，与常见的三角函数类似，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，并且它具有与三角函数相似的一些性质.给出两种双曲函数定义：双曲正弦函数，双曲余弦函数： 根据定义，解决下列问题： （1）通过将双曲函数与我们已学习过的三角函数进行类比，得到下列性质； ① ② ③ 请在这三个性质中选择其中一个加以证明，你选择的是_____填入其中一个序号，多选只按第一个计分 （2）已知函数在区间上有两个不同的零点，求实数m的取值范围. 【答案】（1）证明：①； ②； ③ （2）{或或} 【解析】 【分析】（1）根据双曲函数定义代入计算证明； （2）使用换元法构造函数，原问题等价于在上有两个不同的零点，构造，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由知，令， 由单调递增，单调递减， 易知单调递增； 又， 则，进而，可转化成， 故原问题等价于在上有两个不同的零点， 于是，进而，解得 即或或， 所以实数m的取值范围为{或或} 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $