精品解析：广东山市/海区石实验学校2025-2026学年七年级第二学期第一次教学质量监测数学学科试卷

石实实验学校2025-2026学年七年级第二学期第一次教学质量监测 数学学科试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用合并同类项法则，同底数幂乘法法则，幂的乘方，积的乘方法则和完全平方公式逐一判断运算是否正确． 【详解】解：A：，∴此选项错误； B：，∴此选项正确； C：，∴此选项错误； D：，∴此选项错误． 2. 下列各多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用，根据平方差公式为逐项判断即可． 【详解】解：选项A：，相同项为，相反项为与，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算； 选项B：， 两项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式形式，不能用平方差公式计算； 选项C：，相同项为，相反项为与，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算； 选项D：，相同项为，相反项为与，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算． 故选：B． 3. 已知，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴ 4. 下列各选项中，∠1与∠2属于对顶角的是（　　） A. B. C.     D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由对顶角的定义可知，选项A中的与是对顶角， 5. 下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质逐项判断即可. 【详解】A、∵AB//CD， ∴∠1+∠2=180°．故本选项不符合题意； B、如图，∵AB//CD， ∴∠1=∠3． ∵∠2=∠3， ∴∠1=∠2．故本选项正确． C、∵AB//CD， ∴∠BAD=∠CDA，不能得到∠1=∠2．故本选项不符合题意； D、当梯形ABDC是等腰梯形时才有，∠1=∠2．故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键. 6. 如图，，垂直于于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、垂线，根据平行线的性质，可以求得，然后根据的度数和，即可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7. 为了充分利用水资源，促进农业发展，某村计划从农田的点A处挖一条水渠将不远处的河水引到农田，以便对农作物进行灌溉，现设计的三条路段如图所示，村委会选择路段到河边，这样做的道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，直线最短 【答案】A 【解析】 【分析】由垂线段最短可知，三条路段中，最短，据此可得答案． 【详解】解：村委会选择路段到河边，这样做的道理是垂线段最短． 8. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 某种彩票的中奖率是，则购买该种彩票100张会中奖 B. 如果，那么 C. 对顶角相等 D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件的定义，必然事件是指在一定条件下一定发生的事件，逐一判断各选项，选出一定发生的事件即可． 【详解】解：选项A，购买中奖率为的彩票100张，不一定中奖，属于随机事件，不符合要求， 选项B，若，则或，不一定有，属于随机事件，不符合要求， 选项C，对顶角相等是已证明的定理，一定成立，属于必然事件，符合要求， 选项D，掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上也可能反面向上，属于随机事件，不符合要求． 9. 如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是(　　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可． 【详解】解：A、∠α与∠β互余，故本选项正确； B、∠α+∠β＞90°，即不互余，故本选项错误； C、∠α+∠β=270°，即不互余，故本选项错误； D、∠α+∠β=180°，即互补，故本选项错误； 故选A. 【点睛】本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力． 10. 机器狗(四足机器人)是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景．如图所示，机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，过E作，求出，得到，求出，即可求出的度数． 【详解】解：过E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一个角的补角是，则这个角的余角是__________． 【答案】##18度 【解析】 【分析】本题考查了余角和补角的知识，解题的关键是：掌握互余两角之和为，互补两角之和为．根据补角定义求出这个角，再根据余角定义求出余角 【详解】解：设这个角为x， 根据题意，得， 解得． 这个角的余角为． 故答案为：． 12. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方，利用积的乘方进行拆分化简是解题的关键． 首先将原式中的指数进行拆分，利用同指数幂的乘法法则进行化简计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 13. 计算：___________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据单项式乘多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可得到结果． 【详解】解：． 14. 现有直线和直线外一点C，如图是小明同学利用“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图痕迹，请问该同学这样作平行线依据的判定定理是：________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的平行线，同位角相等，两直线平行，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，观察作图过程，得出，又因为是一组同位角，即该同学这样作平行线依据的判定定理是同位角相等，两直线平行． 【详解】解：依题意， 观察作图过程，得出， ∵是一组同位角， 即该同学这样作平行线依据的判定定理是同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 15. 一副三角板按如图所示的位置放置，过点A 作直线，平分，、交于点F．已知，，，．下列结论正确的是_______． ①；②平分；③；④． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，角的和差运算，邻补角的含义，角平分线的定义，熟练的利用平行线的性质进行求解是解本题的关键；由平行线的性质可判断①，由邻补角的含义结合角平分线的定义可判断②，由三角形的内角和与角平分线的定义可判断③，由角的和差关系结合已证可判断④，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，故①符合题意； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分；故②符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，故③符合题意； ∵，， ∴， ∴，故④符合题意； 故答案为：①②③④． 三、解答题：本大题共8小题，16~18题每题7分，19~21题每题9分，22题13分，24题14分，共75分 16. 计算：． 【答案】9 【解析】 【分析】先算乘方、0指数幂、负指数幂，再算加减． 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式的运算法则化简，再将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 18. 如图，已知平分，．求证：． 【答案】 证明：∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，掌握平行线的性质是解题的关键． 先根据角平分线的定义得到，再由平行线的性质可得，再运用等量代换即可证明结论． 【详解】略 19. 已知，如图，，、分别平分与，且． 求证：，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明：∵、分别平分与， ∴________，________（角平分线定义） ∵， ∴________________． ∵， ∴________．（等量代换） ∴________________（ ）． 【答案】；；；；；；；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，则可得，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：∵、分别平分与， ∴，（角平分线定义）． ∵， ∴． ∵， ∴．（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；；；；；内错角相等，两直线平行． 20. 图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状围成一个正方形． （1）图②中的阴影部分是个___________形（填长方或正方），它的边长为___________； （2）观察图②阴影部分的面积，请你写出三个代数式、、之间的等量关系是___________． （3）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了___________． （4）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（在图中标出相应的长度） 【答案】（1）正方； （2） （3） （4） 解：如图，几何图形如下， 【解析】 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）由图可得，阴影部分为边长为的正方形； （2）图②中的阴影部分面积可以由大正方形的面积减去一个矩形的面积，即可得出等量关系； （3）根据图形面积直接表示或间接表示，即可列出关系式； （4）根据已知式子画图即可． 【小问1详解】 解：由图可得，阴影部分为边长为的正方形， 故答案为：正方，； 【小问2详解】 解：由图可得，图②中的阴影部分面积为或， ∴等量关系为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由图可得，图③中的面积为或， ∴等量关系为， 故答案为：； 【小问4详解】 略 21. 在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）填空 ， ； （2）请估计当很大时，摸到白球的频率将会接近 (精确到； （3）假如摸一次，摸到白球的概率 ； （4）试估算盒子里黑颜色的球有多少只？ 【答案】（1），； （2）； （3）； （4）只 【解析】 【分析】（1）根据“频率”的公式，已知其中两个量即可计算第三个量，从而求出和； （2）观察表格中随着摸球次数增加，摸到白球的频率的变化趋势，找出其稳定接近的数值； （3）依据频率估计概率的原理，试验次数很大时，频率的稳定值即为摸到白球的概率； （4）先根据概率求出白球数量，再用总球数减去白球数量得到黑球数量，或直接计算黑球的概率乘以总球数． 【小问1详解】 解：∵频率，， ∴； 又∵，， ∴． 【小问2详解】 解：观察表格中的频率数据：，，，，，，，当很大时，频率逐渐稳定在附近， ∴摸到白球的频率将会接近． 【小问3详解】 解：根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，摸到白球的频率稳定值即为摸到白球的概率， ∴(白球)． 【小问4详解】 解：∵总球数为，摸到白球的概率为， ∴白球的数量为(只)， ∴黑球的数量为(只)． 五、解答题三 22. 探究：（1）如图①，，点、、分别在直线、、上，连接、，当点在直线的左侧时，试说明． 拓展：（2）将图①的点移动到直线的右侧，其他条件不变，如图②．则、、之间的数量关系为______． 应用：（3）如图③，，点、分别在直线、上，点是直线上的一个动点，连接、，、的平分线交于点．若，则______度． 【答案】 探究：（1）证明：， ， ， ， ， ； 拓展：（2）； 应用：（3）或 【解析】 【分析】本题主要考查的平行线的性质、角平分线的定义等知识，运用分类讨论的思想是解决应用的关键． （1）由平行线的性质得到，，然后等量代换即可证明； （2）由平行线的性质得到，，进而求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论：当点Q在直线的右侧和当点Q在直线的左侧，然后根据（1）的结论结合角平分线的定义求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）． 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）如图所示，当点Q在直线的右侧时， 由（1）得，， ∴， ∵、的平分线交于点， ∴， ∴由（1）得，； 如图所示，当点Q在直线的左侧时， 由（1）得，， ∵、的平分线交于点， ∴， ∴由（1）得，； 综上所述，或． 23. 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2，图3阴影部分面积分别能解释的数学公式． 图1：________；图2：________；图3：________． （2）通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度 方法二：从“形”的角度 解：， 解：， ，即：， 又， 又 ， ． ． 即． 即． 根据所给材料，解决以下问题： 如图，点是线段上的一点，以，为边向两侧作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）；； （2）12 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式与图形面积的结合，解题的关键是通过图形的分割、拼接，将代数式与几何图形的面积建立联系，利用“数形结合”的思想进行转化求解； （1）图1：通过面积和列等式，得到完全平方和公式；图2：通过大正方形减去两个矩形，再加上重叠的小正方形，得到完全平方差公式；图3：通过面积相等得到平方差公式； （2）设，，根据完全平方公式及条件求出的值，再根据阴影部分是直角三角形，根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：设，， 则． 因为， 即， ， 即阴影部分的面积为12． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石实实验学校2025-2026学年七年级第二学期第一次教学质量监测 数学学科试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 下列各选项中，∠1与∠2属于对顶角的是（　　） A. B. C.     D. 5. 下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，垂直于于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 为了充分利用水资源，促进农业发展，某村计划从农田的点A处挖一条水渠将不远处的河水引到农田，以便对农作物进行灌溉，现设计的三条路段如图所示，村委会选择路段到河边，这样做的道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，直线最短 8. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 某种彩票的中奖率是，则购买该种彩票100张会中奖 B. 如果，那么 C. 对顶角相等 D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 9. 如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是(　　　) A. B. C. D. 10. 机器狗(四足机器人)是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景．如图所示，机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一个角的补角是，则这个角的余角是__________． 12. 计算：___________． 13. 计算：___________ 14. 现有直线和直线外一点C，如图是小明同学利用“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图痕迹，请问该同学这样作平行线依据的判定定理是：________． 15. 一副三角板按如图所示的位置放置，过点A 作直线，平分，、交于点F．已知，，，．下列结论正确的是_______． ①；②平分；③；④． 三、解答题：本大题共8小题，16~18题每题7分，19~21题每题9分，22题13分，24题14分，共75分 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知平分，．求证：． 19. 已知，如图，，、分别平分与，且． 求证：，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明：∵、分别平分与， ∴________，________（角平分线定义） ∵， ∴________________． ∵， ∴________．（等量代换） ∴________________（ ）． 20. 图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状围成一个正方形． （1）图②中的阴影部分是个___________形（填长方或正方），它的边长为___________； （2）观察图②阴影部分的面积，请你写出三个代数式、、之间的等量关系是___________． （3）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了___________． （4）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（在图中标出相应的长度） 21. 在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）填空 ， ； （2）请估计当很大时，摸到白球的频率将会接近 (精确到； （3）假如摸一次，摸到白球的概率 ； （4）试估算盒子里黑颜色的球有多少只？ 五、解答题三 22. 探究：（1）如图①，，点、、分别在直线、、上，连接、，当点在直线的左侧时，试说明． 拓展：（2）将图①的点移动到直线的右侧，其他条件不变，如图②．则、、之间的数量关系为______． 应用：（3）如图③，，点、分别在直线、上，点是直线上的一个动点，连接、，、的平分线交于点．若，则______度． 23. 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2，图3阴影部分面积分别能解释的数学公式． 图1：________；图2：________；图3：________． （2）通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度 方法二：从“形”的角度 解：， 解：， ，即：， 又， 又 ， ． ． 即． 即． 根据所给材料，解决以下问题： 如图，点是线段上的一点，以，为边向两侧作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $