精品解析：山西省定襄县定襄中学校2025-2026学年第二学期高二年级第一次月考数学试题

2025-2026学年第二学期高二年级第一次月考试题（卷） 数学（科目） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：选择性必修第三册第六章至第七章第一节. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知甲部门有员工4人，乙部门有员工5人，丙部门有员工6人，现从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（ ） A. 120 B. 15 C. 25 D. 90 2. 若，则正整数（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ） A. 48种 B. 36种 C. 24种 D. 12种 4. 的展开式中第三项的系数为（ ） A. 12 B. 60 C. 160 D. 240 5. 已知甲、乙、丙、丁、戊、戌共6名同学进行信息技术比赛，决出第一名到第六名的名次（不含并列名次）．比赛结束后，甲和乙去询问成绩，老师对甲说：“你不是第一名．”对乙说：“你不是最后一名．”从这两个回答分析，6人的名次排列的不同方法的种数为（ ） A. 450 B. 480 C. 504 D. 618 6. 已知的展开式中的系数为5，则（ ） A. 4 B. C. D. 7. 春节期间，某家庭准备了5个不同的马年新春红包，全部装入3个不同的红包袋中，每个红包袋至少装1个红包，则不同的装法种数是（ ） A. 90 B. 150 C. 240 D. 300 8. 已知，设，若的展开式中项的系数为，则（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ） A. 所有可能的方法有种 B. 若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C. 若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有9种 D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 11. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（ ） A. 2015 B. 2020 C. 2024 D. 2028 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中3个红球和2个白球．现从袋中不放回地连续取两个．已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为________． 13. “杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望，它揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第行中从左至右第5个数与第6个数的比值为________． 14. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有________种． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 3个女生（含甲）和4个男生（含乙）排成一排． （1）其中甲必须排在中间的排法有多少种？ （2）如果女生必须全排在一起有多少种不同的排法？ （3）如果女生甲和男生乙不能相邻，有多少种不同的排法？ （4）如果选2个女生和2个男生去高一年级四个班作演讲，有多少种不同的安排方法？ 16. 已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240．求： （1）n的值； （2）展开式中x项的系数； （3）展开式中所有含x的有理项． 17. 用0，1，2，3，4，5这六个数字： （1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？ （2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ （3）能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？ 18. 在的展开式中． （1）求二项式系数最大的项； （2）有无x的负整数次幂？有，请求出这些项，没有，则说明理由； （3）判断系数的绝对值最大的项是第几项，并求出系数最大的项． 19. 某市为推广新能源汽车，对购买不同品牌新能源汽车的消费者实施差异化补贴政策.根据市场调研，品牌A和品牌B在该市新能源汽车市场中占据主导地位，购买品牌A，B的新能源汽车均有补贴.假设该市选择品牌A的消费者占60%，选择品牌B的消费者占40%.通过研究发现选择品牌A的消费者中，80%因补贴而购车；选择品牌B的消费者中，60%因补贴而购车. （1）从该市随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求其因补贴而购车的概率. （2）已知某位消费者因补贴而购车，求其购买的车是品牌A的概率. （3）该市通过对购买新能源汽车的消费者进行二次调研发现，若消费者因补贴购买品牌A的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.6；若消费者因补贴购买品牌B的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.4；若消费者不是因补贴购车，无论购买哪个品牌，推荐他人购买新能源汽车的概率均为0.2.现随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求该消费者推荐他人购买新能源汽车的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高二年级第一次月考试题（卷） 数学（科目） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：选择性必修第三册第六章至第七章第一节. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知甲部门有员工4人，乙部门有员工5人，丙部门有员工6人，现从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（ ） A. 120 B. 15 C. 25 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理可得答案. 【详解】根据分类加法计数原理可知，不同的选法种数为. 故选：B. 2. 若，则正整数（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数、排列数的定义直接展开，解方程即可求得. 【详解】因为， 所以，解得：. 故选：8 3. 为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ） A. 48种 B. 36种 C. 24种 D. 12种 【答案】B 【解析】 【分析】 利用分步计数原理，分3步即可求出 【详解】解：由题意可知，分三步完成： 第一步，从2种主食中任选一种有2种选法； 第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法； 第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法， 根据分步计数原理，共有不同的选取方法， 故选：B 4. 的展开式中第三项的系数为（ ） A. 12 B. 60 C. 160 D. 240 【答案】B 【解析】 【详解】的展开式通项为， 则第三项的系数为. 5. 已知甲、乙、丙、丁、戊、戌共6名同学进行信息技术比赛，决出第一名到第六名的名次（不含并列名次）．比赛结束后，甲和乙去询问成绩，老师对甲说：“你不是第一名．”对乙说：“你不是最后一名．”从这两个回答分析，6人的名次排列的不同方法的种数为（ ） A. 450 B. 480 C. 504 D. 618 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可分为甲不是最后一名和不是第一名也不是最后一名，两种情况讨论，结合排列数公式，即可求解. 【详解】由题意，若甲是最后一名，有种不同的方法； 若甲不是第一名也不是最后一名，则， 所以6人的名次排列的不同方法的种数为中不同的排列方法. 故选：C. 6. 已知的展开式中的系数为5，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为的展开式中的系数为5， 则，即，解得. 7. 春节期间，某家庭准备了5个不同的马年新春红包，全部装入3个不同的红包袋中，每个红包袋至少装1个红包，则不同的装法种数是（ ） A. 90 B. 150 C. 240 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】先将5个不同的红包分3组，求出总的分法，再将3组分配到3个不同的红包袋中，即可得答案. 【详解】将5个不同的红包分3组，有两种不同的方式， ①：“1,1,3”型，则有种分法； ②：“2,2,1”型，则有种分法，所以共有25种分法， 将分好的3组，装入3个不同的红包袋中，共有种装法. 8. 已知，设，若的展开式中项的系数为，则（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】利用特例法，结合二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】令，则有；又令，则有，所以，则. 的展开式中第项为，当时，知为偶数，当，此时系数为成立，所以. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据阶乘和排列数的运算公式，进行推理与判断选项中的运算是否正确即可． 【详解】对于A， ，显然，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD. 10. 现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ） A. 所有可能的方法有种 B. 若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C. 若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有9种 D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由分步计数原理可判断选项正误；对于B，分1人，2人，3人去甲工厂三种情况结合分类计数原理可判断选项正误；对于C，由分步计数原理可判断选项正误；对于D，由分步计数原理可判断选项正误. 【详解】对于A，每位同学都有4个工厂可选，由分步计数原理，总情况数为，故A错误； 对于B，假设1名同学去甲工厂，有3种情况，剩下2名同学都有3个工厂可选，故情况数为：； 假设2名同学去甲工厂，有3种情况，剩下1名同学有3个工厂可选，故情况数为：； 假设3名同学去甲工厂，有1种情况.则由分类计数原理，可得满足题意的情况数有：，故B正确； 对于C，剩下两名同学均有4个工厂可选择，由分步计数原理，总情况数为，故C错误； 对于D，A同学有4个工厂可选，B同学有3个工厂可选，C同学有2个工厂可选，则总情况数为： .故D正确. 11. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（ ） A. 2015 B. 2020 C. 2024 D. 2028 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二项式定理求出，然后利用整除的性质以及题意即可求解． 【详解】由题意，， 由二项式定理可得，， 因为一定能被9整除，则除以9的余数为8， 所以除以9的余数为8， 而与除以9的余数都为8，2015除以9的余数为8，2020除以9的余数为4， 2024除以9的余数为8，2028除以9的余数为3， 所以可以为2015和2024． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中3个红球和2个白球．现从袋中不放回地连续取两个．已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】依题意第一次取得红球可得袋中还有2个红球和2个白球，从而求出取得白球的概率. 【详解】第一次取得红球，此时袋中还有2个红球和2个白球，现从中随机取出一个球，则取得白球的概率， 故已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为. 13. “杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望，它揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第行中从左至右第5个数与第6个数的比值为________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意知杨辉三角的第行的数，对应二项式展开式的二项式系数， 即第行从左到右第个数为组合数， 第行的第5个数与第6个数为：，比值为． 14. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有________种． 【答案】432 【解析】 【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求. 【详解】先排4个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）, 步骤2：将2个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻， 只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列，有种方法， 故不满足条件的情况有，故总数为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 3个女生（含甲）和4个男生（含乙）排成一排． （1）其中甲必须排在中间的排法有多少种？ （2）如果女生必须全排在一起有多少种不同的排法？ （3）如果女生甲和男生乙不能相邻，有多少种不同的排法？ （4）如果选2个女生和2个男生去高一年级四个班作演讲，有多少种不同的安排方法？ 【答案】（1）720 （2）720 （3）3600 （4）432 【解析】 【小问1详解】 因为甲必须排在中间，只有1种排法，其他6人全排列，排法有种， 故甲必须排在中间的排法有720种. 【小问2详解】 将3个女生看成一个整体，与4个男生全排列，此时相当于5个元素全排列，有种， 3个女生内部全排列有种， 故女生必须全排在一起有种. 【小问3详解】 7人全排列，排法有种， 将女生甲和男生乙看作一个整体，与其余5人全排列，此时相当于6个元素全排列，有种， 女生甲和男生乙内部交换位置有种，故女生甲和男生乙相邻的排法有种， 故女生甲和男生乙不能相邻的排法有种. 【小问4详解】 从3个女生中选出2个的选法有种，从4个男生中选出2个的选法有种， 选2个女生和2个男生的选法有种， 将选出的4人全排列有种， 故选2个女生和2个男生去高一年级四个班作演讲有种. 16. 已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240．求： （1）n的值； （2）展开式中x项的系数； （3）展开式中所有含x的有理项． 【答案】（1）4 （2）54 （3）第1项，第3项，第5项 【解析】 【分析】（1）由题可得，解方程即得； （2）利用二项展开式的通项公式，即得； （3）利用二项展开式的通项公式，令，即求． 【小问1详解】 由已知，得，即， 所以或（舍） ， ∴． 【小问2详解】 设展开式的第项为． 令，得， 则含x项的系数为． 【小问3详解】 由（2）可知，令，则有，2，4， 所以含x的有理项为第1项，第3项，第5项． 17. 用0，1，2，3，4，5这六个数字： （1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？ （2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ （3）能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？ 【答案】（1）156 （2）216 （3）270 【解析】 【分析】（1）由题意符合要求的四位偶数可分为三类：0在个位，2在个位，4在个位，对每一类分别计数再求它们的和即可得到无重复数字的四位偶数的个数； （2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数与个位数字是5的五位数，分类计数再求它们的和； （3）由题意，符合要求的比1325大的四位数可分为三类，第一类，首位比1大的数，第二类首位是1，第二位比三大的数，第三类是前两位是13，第三位比2大的数，分类计数再求和． 【小问1详解】 符合要求的四位偶数可分为三类： 第一类：0在个位时有个； 第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有种），十位和百位从余下的数字中选（有种），于是有个； 第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个． 由分类加法计数原理知，共有四位偶数：个; 【小问2详解】 符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有个； 个位数上的数字是5的五位数有个, 故满足条件的五位数的个数共有个； 【小问3详解】 符合要求的比1325大的四位数可分为三类： 第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共个； 第二类：形如14□□，15□□，共有个； 第三类：形如134□，135□，共有个； 由分类加法计数原理知，无重复数字且比1325大的四位数共有：个． 18. 在的展开式中． （1）求二项式系数最大的项； （2）有无x的负整数次幂？有，请求出这些项，没有，则说明理由； （3）判断系数的绝对值最大的项是第几项，并求出系数最大的项． 【答案】（1）第5项， （2）有，分别是 （3）系数的绝对值最大的项是第项和第7项；系数最大的项是 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的性质，当为偶数时，中间一项的二项式系数最大，由此可确定二项式系数最大的项. （2）先写出展开式的通项公式，再根据通项公式判断是否存在的负整数次幂. （3）设出系数的绝对值最大的项，根据系数绝对值最大的条件列出不等式组，求解不等式组得到的值，进而确定系数绝对值最大的项，再根据系数的正负性确定系数最大的项. 【小问1详解】 的展开式的通项为： ，，， 二项式系数最大的项为中间项，即第5项，. 【小问2详解】 ，，， 令且，. 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 【小问3详解】 的展开式的通项为 ，，， 设第项系数的绝对值最大，显然，则， 整理得，即， 解得，而，则或， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项； 由以上知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负， 第7项的系数为正，所以系数最大的项为第7项. 19. 某市为推广新能源汽车，对购买不同品牌新能源汽车的消费者实施差异化补贴政策.根据市场调研，品牌A和品牌B在该市新能源汽车市场中占据主导地位，购买品牌A，B的新能源汽车均有补贴.假设该市选择品牌A的消费者占60%，选择品牌B的消费者占40%.通过研究发现选择品牌A的消费者中，80%因补贴而购车；选择品牌B的消费者中，60%因补贴而购车. （1）从该市随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求其因补贴而购车的概率. （2）已知某位消费者因补贴而购车，求其购买的车是品牌A的概率. （3）该市通过对购买新能源汽车的消费者进行二次调研发现，若消费者因补贴购买品牌A的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.6；若消费者因补贴购买品牌B的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.4；若消费者不是因补贴购车，无论购买哪个品牌，推荐他人购买新能源汽车的概率均为0.2.现随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求该消费者推荐他人购买新能源汽车的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设事件表示“选择品牌A”，事件表示“选择品牌B”，事件表示“因补贴而购车”，利用全概率公式即可求解； （2）利用贝叶斯公式即可求解 （3）设事件表示“推荐他人购买新能源汽车”，利用全概率公式即可求解. 【小问1详解】 设事件表示“选择品牌A”，事件表示“选择品牌B”，事件表示“因补贴而购车”， 则， 所以． 【小问2详解】 结合（1）由贝叶斯公式得 【小问3详解】 设事件表示“推荐他人购买新能源汽车”， 因补贴买品牌A的概率，； 因补贴买品牌B的概率，； 非补贴买品牌A的概率，； 非补贴买品牌B的概率，； 则由全概率公式得 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $