山西省祁县中学校2023-2024学年高二下学期阶段测试数学试卷

**基本信息** 高二数学阶段测试注重知识综合与素养落地，以椭圆双曲线光学性质（第8题）、花卉高度统计（17题）等情境，考查空间想象、数据分析及逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|11/58|集合、立体几何、椭圆、概率分布|第8题结合光学反射原理，体现数学眼光观察现实世界| |填空|3/15|概率、导数极值、最值问题|第12题以产品检验为背景，强化数学语言表达实际问题| |解答|5/77|导数应用、数列证明、统计分布列、立体几何、双曲线|19题探究定圆存在性，突出数学思维的逻辑推理；17题用频率估计概率，培养数据观念|

祁县中学2023-2024学年高二第二学期阶段测试 参考答案与解析 1．【答案】A 【解析】，，，，则． 故选A. 2．【答案】 【解析】如图，连接. ∵N是的中点，， ，， ． 故选B. 3．【答案】A 【解析】若m＝2，则椭圆C的方程为＋y2＝1，则a＝，c＝1，∴e＝＝＝.若椭圆C的离心率为，分两种情况(题中没有说明焦点位置，需要分两种情况)：(1)若焦点在x轴上，则m＞1，则离心率e＝＝，解得m＝2；(2)若焦点在y轴上，则0＜m＜1，e＝＝，解得m＝.则“m＝2”是“椭圆C的离心率为”的充分不必要条件. 故选A. 4．【答案】B 【解析】由题可得，3个小孩不相邻，则先排夫妻和老人，固定老人的位置，则夫妻二人在老人左右，共有种排法；将3个小孩插空，共有种排法(易错：3个人围成一圈形成3个空，而不是4个空)，所以共有＝12(种)排法. 故选B. 5．【答案】D 【解析】因为在，含的项为， 所以含的项的系数是的系数是. 故选D. 6．【答案】 【解析】因为， 所以，即． 因为，所以，所以， 所以数列是公比为2的等比数列， 所以，则， 所以，解得， 所以，则． 故选B. 7．【答案】D 【解析】由题可知，即， ， ， 则， 令， 则， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以， 则的最大值为． 故选D. 8．【答案】C 【解析】设椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为2a2.在题图①中，由椭圆的定义得｜BF1｜＋｜BF2｜＝2a1，由双曲线的定义得｜AF2｜－｜AF1｜＝2a2，两式相减得｜BF1｜＋｜BF2｜－｜AF2｜＋｜AF1｜＝2a1－2a2，所以△ABF1的周长为2a1－2a2.在题图②中，△CDF1的周长为4a1.因为光速相同，所以＝＝.又因为t2＝4t1，所以＝，所以T与S的离心率之比＝＝＝. 故选C. 9．【答案】BCD 【解析】对于A，，若根据列联表得到的观测值为4.1，则有的把握认为两个分类变量有关，故A错误；对于B，若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则两变量之间满足函数关系，故决定系数R2＝1，故B正确；对于C，因为变量ξ服从N(17，σ2)，且P(17＜ξ≤18)＝0.4，所以P(ξ＞18)＝P(ξ＞17)－P(17＜ξ≤18)＝0.5－0.4＝0.1，故C正确；对于D，由＝0.3－0.7x，得样本点(2，－3)的残差为－3－(0.3－0.7×2)＝－1.9，故D正确. 故选BCD. 10．【答案】BD 【解析】由题知，椭圆C：＋＝1，所以a2＝16，b2＝12，c2＝4，即a＝4，b＝2，c＝2. 对于A，椭圆C的离心率e＝＝，故A错误； 对于B，△PF1F2的周长为｜PF1｜＋｜PF2｜＋｜F1F2｜＝2a＋2c＝12，故B正确； 对于C，｜PF1｜的最小值为a－c＝2，故C错误； 对于D，因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，所以＝4a2＝64，即＋＋2｜PF1｜｜PF2｜＝64，因为＋≥2｜PF1｜｜PF2｜，所以＋＋2｜PF1｜｜PF2｜≥4｜PF1｜｜PF2｜，即64≥4｜PF1｜｜PF2｜，所以｜PF1｜｜PF2｜≤16， 当且仅当｜PF1｜＝｜PF2｜＝4时，等号成立，所以｜PF1｜·｜PF2｜的最大值为16，故D正确. 故选BD. 11．【答案】ABD 【解析】由题意知，f'(0)＝1，即曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为1，所以题图中实线为函数f(x)的图象，虚线为导函数f'(x)的图象，且在R上f(x)与f'(x)均不小于0.若y＝exf(x)，则y'＝ex[f(x)＋f'(x)]＞0在R上恒成立，即y＝exf(x)在R上单调递增，且当x→＋∞时，f(x)→＋∞，当x→－∞时，f(x)→0，所以函数y＝exf(x)既无最大值也无最小值，A，B选项说法错误.若y＝，则y'＝.由题图知，当x＜0时，f'(x)＞f(x)，即y'＝＞0恒成立；当x＞0时，f'(x)＜f(x)，即y'＝＜0恒成立，所以函数y＝在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以ymax＝1，C选项说法正确，D选项说法错误. 故选ABD. 12．【答案】 【解析】抽检第1件产品不合格的概率为， 抽检的第1件产品合格，第2件产品不合格的概率为， 所以这批产品被拒绝的概率为． 13．【答案】6 【解析】，且函数在处有极大值，，即，解得或2． 经检验时，函数在处取得极小值，不符合题意，应舍去． 14．【答案】 【解析】设， 则，，， 因为 ，当时，只需考虑，， 又因为，， 两式相乘得，可得，当且仅当时取等号， 当时，，只需考虑，， 两式相乘得， 则，当且仅当时取等号， 因为，故，综上所述，的最小值为． 15．【答案】(1) （6分） (2)（7分） 【解析】(1)【解】当时，， ， 则，， 所以当时，在点处的切线方程为 (2)【解】， 因为在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 所以在区间上恒成立， 因为当时，， 所以，即a的取值范围是 16．【答案】(1)证明见解析（7分） (2)M＝{6，8，9，10，11}（8分） 【解析】(1)【证明】设等差数列的公差为d，则＝＋3d. ∵S4＝20，∴S1＋3d＝5.① 1分 ∵a2＝4，∴S2＝a1＋a2＝S1＋4，∴＝＋d，∴S1＋2d＝4.②　　 2分 联立①②解得S1＝2，d＝1，∴＝＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1， ∴Sn＝n(n＋1). 3分 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－n(n－1)＝2n， 当n＝1时，a1＝S1＝2，上式也成立(易错：检验n＝1时是否符合通项公式)， ∴an＝2n(n∈N*). 5分 ∵当n≥2时， an－an－1＝2，∴数列{an}为等差数列.　　 7分 (2)【解】由(1)可知＝＝＝， 8分 当n≥2时，bn＝··…··b1＝××…×××6＝， ∵b1＝6符合上式，∴bn＝(n∈N*). 10分 ∵bn＝＝12， ∴Tn＝12＝12×＝12－. 12分 ∵当∈N*时，n＝1，2，3，5，11，∴M＝{6，8，9，10，11}.　　 15分 17．【答案】(1)0.125 （1分） (2)(i) X的分布列见解析，E(X)＝1 （8分） (ii)（6分） 【解析】(1)由题意得(0.05＋0.075＋0.1＋a＋0.15)×2＝1， 解得a＝0.125. 1分 (2)(i)由(1)可知高度在[19，21)内的频率为0.125×2＝0.25，所以从所有花卉中随机抽1株，高度在[19，21)内的概率为，则X～B， 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝××＝，P(X＝2)＝××＝，P(X＝3)＝××＝，P(X＝4)＝＝， 7分 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 　 8分 所以E(X)＝4×＝1. 9分 (ii)从所有花卉中随机抽取3株，记至少有2株高度在[21，25]内为事件M，至多1株高度低于23 cm为事件N，由题意可知从所有花卉中随机抽1株，高度在[21，25]内的概率为，高度在[21，23)内的概率为，高度在[23，25]内的概率为， 则P(M)＝＋＝， 11分 P(MN)＝×＋×＋＝，　 13分 所以P(N｜M)＝＝×2＝. 15分 18．【答案】(1)见解析（7分） (2)（10分） 【解析】(1)【证明】因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD， 所以PA⊥CD. 2分 因为底面ABCD是矩形，所以AD⊥CD. 又因为PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， 所以CD⊥平面PAD. 4分 又因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD. 7分 (2)【解】以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)， 所以＝(1，2，－2)，＝(0，2，0)，＝(－1，0，0). 8分 设平面PBC的法向量为n＝(x1，y1，z1)， 则 取x1＝2，得n＝(2，0，1). 11分 设平面PCD的法向量为m＝(x2，y2，z2)， 则取y2＝1，得m＝(0，1，1). 14分 设平面PBC与平面PCD的夹角为θ， 则cos θ＝｜cos ＜n，m＞｜＝＝＝， 所以平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为.　 17分 19．【答案】(1)x2－＝1 （4分） (2)[，＋∞)（6分） (3)存在，其半径r＝（7分） 【解析】(1)由题意知 ∴C的方程为x2－＝1. 4分 (2)当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x＝t， 不妨令A(t，－)，B(t，). 由·＝0，得t2－3(t2－1)＝0，即t2＝，此时｜AB｜＝2＝. 5分 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2). 由消去y，整理得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0， ∴ ∴x1＋x2＝，x1x2＝， ∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(k2＋1)·x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝(k2＋1)·＋km·＋m2＝＝0，∴2m2－3k2－3＝0， 7分 ∴｜AB｜＝｜x1－x2｜＝＝·＝·＝，k2≠3. 令k2－3＝λ，则λ≥－3且λ≠0，∴｜AB｜＝＝·＝≥，当λ＝－3，即k＝0时，“＝”成立，此时m2＝. 9分 综上，｜AB｜的取值范围为[，＋∞). 10分 (3)假设存在满足题意的定圆O. 设P(x0，y0)，则－＝1. 又∵｜PM｜＝｜PN｜，PO平分∠MPN，∴PO⊥MN. 11分 当直线MN的斜率不存在时，由双曲线的对称性及｜PM｜＝｜PN｜可知点P为双曲线的左、右顶点，当0＜r＜或＜r＜1时，均存在满足题意的定圆O(提示：当r＝时，切线与渐近线平行，与双曲线仅有一个交点，不满足题意). 当直线MN，切线PM，PN的斜率均存在时，设过点P与圆O相切的直线方程为y－y0＝k(x－x0)，切线PM，PN的斜率分别为k1，k2，则圆心O到切线的距离d＝＝r，∴－2kx0y0＋k2＝r2k2＋r2， ∴(－r2)k2－2x0y0k＋－r2＝0的两个不等实根分别为k1，k2，∴x0≠±r，k1＋k2＝，k1k2＝. 由消去y，整理得3x2－(x2－2x0x＋)－－2k1y0(x－x0)＝3， ∴(3－)x2＋(2x0－2k1y0)x＋2k1x0y0－－－3＝0， ∴x0xM＝，∴xM＝，yM＝k1·＋y0. 同理xN＝，yN＝k2·＋y0， 14分 ∴kMN＝ ＝ ＝， ∴kMN·kOP＝·＝－1， ∴·＝－1， ∴·＝－1，即r2＝⇒r＝. 15分 当r＝时，由(2)可知，当P，M，N为中相应三点时，满足题意，但PM与PN中，一个斜率为0，一个斜率不存在. 16分 综上，存在定圆O满足条件，其半径r＝. 17分 第 页，共 页 第 页，共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 祁县中学2023-2024学年高二第二学期阶段测试 数学试卷 本试卷共150分钟，考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，，若，则(　　) A． B． C． D． 2．如图，在四面体中，，，．点在上，且，为中点，则等于(　　) A． B． C． D． 3．已知椭圆C：＋y2＝1，则“m＝2”是“椭圆C的离心率为”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩不相邻的站法种数是(　　) A．6 B．12 C．18 D．36 5．在的展开式中，含的项的系数是(　　) A．74 B．121 C． D． 6．已知为正项数列的前项和．若，且，则　　 A．7 B．15 C．8 D．16 7．随机变量的分布列如下所示．则的最大值为　　 1 2 3 A． B． C． D． 8．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点F1，F2的椭圆T与双曲线S构成，现一光线从左焦点F1发出，依次经S与T反射，又回到了点F1，历时t1秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点 F1发出，经T两次反射后又回到了点F1，历时t2秒.已知t2＝4t1，则T的离心率e1与S的离心率e2之比(　　) 　 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的是(　　) A．已知，若根据列联表得到的值为4.1，依据的独立性检验，则认为两个分类变量无关 B．若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则决定系数R2＝1 C．若随机变量ξ服从N(17，σ2)，P(17＜ξ≤18)＝0.4，则P(ξ＞18)＝0.1 D．已知y关于x的经验回归方程为＝0.3－0.7x，则样本点(2，－3)的残差为－1.9 10．已知椭圆C：3x2＋4y2＝48的两个焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则(　　) A．C的离心率为 B．△PF1F2的周长为12 C．｜PF1｜的最小值为3 D．｜PF1｜·｜PF2｜的最大值为16 11．在同一平面直角坐标系内，函数y＝f(x)及其导函数y＝f'(x)的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为(0，1)，则下列结论错误的是(　　) A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．一批产品共有100件，其中5件为不合格品．收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品．则这批产品被拒绝的概率为 ． 13．已知函数在处有极大值，则c的值是　　　　． 14．设为实数中最大的数．若，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分)已知函数 (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若在区间上单调递增，求实数a的取值范围. 16．(15分)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝4，S4＝20，且为等差数列. (1)求证：数列{an}为等差数列； (2)若数列{bn}满足b1＝6，且＝，设Tn为数列{bn}的前n项和，集合M＝{Tn｜Tn∈N*}，求M(用列举法表示). 17．(15分)某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于[15，25]之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如图所示. (1)求a的值. (2)以频率估计概率，完成下列问题. (i)若从所有花卉中随机抽4株，记高度在[19，21)内的株数为X，求 X的分布列及数学期望E(X)； (ii)若从所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在[21，25]内的条件下，至多1株高度低于23 cm的概率. 18．(17分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA＝AD＝2AB＝2. (1)证明：平面PCD⊥平面PAD； (2)求平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值. 19．(17分)已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4，且经过点(，). (1)求C的方程. (2)若直线l与C交于A，B两点，且·＝0，求｜AB｜的取值范围. (3)已知点P是C上的动点，是否存在定圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)，使得当过点P能作圆O的两条切线PM，PN时(其中M，N分别是两切线与C的另一交点)，总满足｜PM｜＝｜PN｜？若存在，求出圆O的半径r；若不存在，请说明理由. 第 页，共 页 第 页，共 页 学科网（北京）股份有限公司 $