精品解析：天津市第二十中学2025-2026学年高二下学期第一次综合素质评价数学试题

高二年级（下）第一次综合素质评价（数学学科） 时间：100分钟 总分：100分 一､单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知车轮旋转的角度（单位：rad）与时间t（单位：s）之间的关系为，则车轮转动开始后第10s时的瞬时角速度大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，然后将代入导函数计算即可求出结果. 【详解】因为，则，则. 即车轮转动开始后第10s时的瞬时角速度大小为 故选：B. 2. 下列函数求导正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的计算公式与求导法则计算即得. 【详解】，A错误．，B错误．，C错误．，D正确． 故选：D. 3. 将3个不同的小球放入4个盒子中，不同放法种数为（ ） A. 12 B. 14 C. 64 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】依次写出每个小球的放法，再按照分步乘法计数原理可得解. 【详解】第一个小球有4种不同的放法， 第二个小球有4种不同的放法， 第三个小球也有4种不同的放法， 按照分步乘法计数原理可得，将3个不同的小球放入4个盒子中，不同放法种数有. 故选：C. 4. 设函数的图象在点处切线的斜率为，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求函数的导数，根据函数在点的导数为切线的斜率，求出函数的解析式，再根据函数的奇偶性及取值范围判断. 【详解】∵函数，， ，显然， 函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B，C， 又时，函数值为正，图像位于第一象限，排除D. 故选：A. 5. 已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示. 下列关于函数的结论不正确的有（ ） A. 函数的极大值点有个 B. 函数在是减函数 C. 若时，的最大值是，则的最大值为4 D. 当时，函数有个零点 【答案】C 【解析】 【分析】利用导函数的图象可判断A、B选项的正误；取，结合函数的最值与单调性的关系可判断C选项的正误；作出函数的草图，数形结合即可判断D选项的正误. 【详解】由导数的正负性可知，函数的单调递增区间为、， 单调递减区间为、，B选项正确； 由单调性可知，函数有个极大值点，A选项正确； 当时，函数最大值是，而最大值是，C选项错误； 作出函数的图象如下图所示，由下图可知， 当时，函数与函数的图象有四个交点，D选项正确. 故选：C 6. 若函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数单增得在上恒成立，即，所以有，从而得解． 【详解】由题意可得.因为是上的增函数， 所以在上恒成立， 所以，解得. 故选：B. 7. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质化简得解. 【详解】. 故选：C 8. 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 35 B. 36 C. 42 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】以舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数. 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱， 有种不同的安排方法； 综上，不同的安排方法共有种. 【点睛】本题是分类加法计数原理 + 分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类，结合均匀 或不均匀分组与排列计算. 9. 函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导判断函数单调性，找到极值点，根据区间内存在最大值确定的范围. 【详解】， 令，得或. 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增. 因此，是极大值点，是极小值点. 要使上存在最大值，需， 又因为，且， 若，函数在递增，会超过，因此需. 综上：. 二､填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 已知函数，其中是的导函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】对原函数求导得到含常数的导函数，再代入构造关于的一元一次方程，解方程得到最终结果. 【详解】已知原函数 ，可得  ， 将代入可得 ，即 ， 整理得 ，解得 . 【点睛】本题考查基本导数的运算，核心方法是识别函数固定点的导数值为常数，通过构造一元一次方程求解未知导数值. 11. 曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出导函数，进而得出切线斜率，再代入求参数，最后应用点斜式得出切线方程. 【详解】因为，所以，所以， 又当时，， 所以在点处的切线方程为，即得. 12. 函数的单调增区间是______. 【答案】， 【解析】 【分析】根据函数导数求解函数的单调增区间； 【详解】函数的定义域为 因为， 令，则， 所以的单调增区间为，. 故答案为：，. 13. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据只有第5项的二项式系数最大，可得，写出展开式的通项公式，令，求得k值，代入即可求出答案. 【详解】因为只有第5项的二项式系数最大， 所以展开式共有9项，即， 所以展开式的通项公式为， 令，解得， 所以展开式中的系数为. 故答案为：7 14. 中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，则“礼”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻的排法种数是______. 【答案】144 【解析】 【分析】利用捆绑法和插空法计算可得. 【详解】由题意“乐”与“书”不能相邻，“射”和“御”要相邻，可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有种， 然后与“礼”､“数”进行排序，共有种， 最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有种， 由于是分步进行，所以共有种. 故答案为：144. 15. 已知不等式恒成立，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，分离参数构造函数，求出函数的最大值即得. 【详解】当时，不等式，令，， 依题意，恒成立，由，求导得， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，则， 从而，即，所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：解决不等式恒成立问题常用分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可. 三､解答题：本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知在n的展开式中，第9项为常数项，则： （1）n的值为________； （2）含x的整数次幂的项有________个． 【答案】 ①. 10 ②. 6 【解析】 【分析】（1）写出二项展开式的通项，根据第9项为常数项求出n的值；（2）要使2nk，即为整数，得出k的取值. 【详解】二项展开式的通项Tk+1==． （1）因为第9项为常数项，即当k=8时，2n－k=0，解得n=10． （2）要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k=0，1，2，3，…，9，10， 故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项． 故答案为：10；6. 17. 已知函数 （1）若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值； （2）若在处有极值，求a与b的值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由函数解析式求导，利用导数求得切线斜率，由函数解析式求得切点，根据切线方程，建立方程组，可得答案； （2）由函数解析式求导，根据极值与导数的关系，结合函数解析式，建立方程组，可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，， 因为切线方程为， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 函数在处有极值 且或 恒成立，此时函数无极值点， 此时1是极值点，满足题意， 所以. 18. 已知函数. （1）若函数存在两个零点，求的取值范围； （2）求证：当且时，. 【答案】（1） （2）设， 设， 令，解得，所以函数在上单调递增， 令，解得，所以函数在上单调递减， 因为， 所以， 即，所以，因此， 所以在上单调递增， 因此当时，有， 所以， 所以当且时，. 【解析】 【分析】（1）利用转化法，把零点问题转化为曲线与直线交点问题，结合导数的性质、数形结合思想进行求解即可； （2）构造新函数，利用二次求导法进行运算证明即可. 【小问1详解】 令， 因为函数存在两个零点， 所以直线与曲线有两个不同的交点， 由， 令，解得，所以函数在单调递增， 令，解得，所以函数在单调递减， 所以， 且当时，， 函数的图象如下图所示； 当时，即当时，直线与曲线有两个不同的交点，因此的取值范围为； 【小问2详解】 略 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：． 【答案】（1）当时，函数在区间上单调递增； 当 时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）由（1）可知，当时， 函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减． 所以， 要证，需证． 即需证恒成立， 令， 则 所以函数在区间单调递增， 故， 所以，恒成立， 所以当时，． 【解析】 【分析】（1）求出，当时，根据的形式可判断，当 时，同样依据的形式可判断在、上符号，从而得到单调性区间； （2）根据（1）中的单调性得到，根据恒成立得在上恒成立，，求出其导数后可判断该函数为增函数，从而得不等式恒成立. 【小问1详解】 由题意可知，函数，的定义域为， 导数， 当时，，； 当 时，，；，； 综上，当时，函数在区间上单调递增； 当 时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． 【小问2详解】 略 20. 已知函数. （1）若在上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若函数有两个极值点，，且，求证：. 【答案】（1） （2）证明：， 则， 依题意可得，是方程的两个不同的根， 于是，，，即， 又，则，， 要证， 只需证， 即证，， 因为，所以， 从而， 令，， 则， 设，则， 令，解得舍去， 由，得；由，得， 于是在上单调递增，在上单调递减， 即在上单调递增，在上单调递减， 而，， 因此在上，，因此在上单调递增， 从而， 所以当时，成立， 所以原命题得证. 【解析】 【分析】（1）依据题设运用导数知识分析求解； （2）借助题设条件将不等式进行等价转化，再构造函数运用导数知识分析推证. 【小问1详解】 函数的定义域为，则， 若在上单调递增， 则在上恒成立且等号不恒成立， 即上恒成立， 又在上单调递减， 所以，所以， 数的取值范围为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数，再结合导函数正负得出函数的单调性即可得出最值证明即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级（下）第一次综合素质评价（数学学科） 时间：100分钟 总分：100分 一､单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知车轮旋转的角度（单位：rad）与时间t（单位：s）之间的关系为，则车轮转动开始后第10s时的瞬时角速度大小为（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数求导正确的是（   ） A. B. C. D. 3. 将3个不同的小球放入4个盒子中，不同放法种数为（ ） A. 12 B. 14 C. 64 D. 81 4. 设函数的图象在点处切线的斜率为，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示. 下列关于函数的结论不正确的有（ ） A. 函数的极大值点有个 B. 函数在是减函数 C. 若时，的最大值是，则的最大值为4 D. 当时，函数有个零点 6. 若函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 8. 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 35 B. 36 C. 42 D. 50 9. 函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 已知函数，其中是的导函数，则__________. 11. 曲线在点处的切线方程为______. 12. 函数的单调增区间是______. 13. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为______. 14. 中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，则“礼”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻的排法种数是______. 15. 已知不等式恒成立，则的取值范围是____________． 三､解答题：本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知在n的展开式中，第9项为常数项，则： （1）n的值为________； （2）含x的整数次幂的项有________个． 17. 已知函数 （1）若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值； （2）若在处有极值，求a与b的值. 18. 已知函数. （1）若函数存在两个零点，求的取值范围； （2）求证：当且时，. 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：． 20. 已知函数. （1）若在上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若函数有两个极值点，，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $