精品解析：安徽合肥一六八中学2025-2026学年度高三第一学期限时训练（四）数学试题

合肥一六八中学2025-2026学年度高三第一学期限时训练（四） 数学试题 命题人：徐庭兰 审题人：吴晓 一、单选题（共8题，每题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 记，为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数满足，求在的导数（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致是（ ）． A. B. C. D. 5. 若函数，在上单调递增，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知 是正实数，若函数 的图象与 的图象相切，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 3 7. 已知，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3题，每题6分） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 命题“，都有”的否定是“，使得” B. 集合，，若，则实数的取值集合为 C. 的最小值为2 D. 若正数，满足，则的最小值为3 10. 已知函数，则下列正确的选项有（ ） A. 是函数的极小值点 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数在区间上既有最大值也有最小值，则的范围是 D. 关于的不等式的解集为 11. 已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，下列结论正确的是（ ） A. 的周期为4 B. C. D. 三、填空题（共3题，每题5分） 12. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 13. 已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为_______． 14. 已知函数，若的最大值为0，则的取值范围为________. 四、解答题（共3题，15分15分17分） 15. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）讨论的单调性，并求的极值． 16. 已知函数． （1）设x=0是的极值点，求m，并讨论的单调性； （2）当时，证明. 17. 已知函数 （1）若有两个零点，求实数的取值范围； （2）若且，证明：； （3）若且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥一六八中学2025-2026学年度高三第一学期限时训练（四） 数学试题 命题人：徐庭兰 审题人：吴晓 一、单选题（共8题，每题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求集合，再求. 【详解】因为集合， 即， 又， 所以. 故选：B． 2. 记，为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，求导，根据函数的单调性可得充分性，进而根据可得必要性. 【详解】令函数，求导得，故在上单调递增， 由，得，即，即充分性成立； 由，得，即，可得，故必要性不成立， 综上可知，甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知函数满足，求在的导数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，令，求得，在中，令求得答案. 【详解】因为， 所以，解得， . 故选：D. 4. 函数的图象大致是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到函数为偶函数，排除C，D，再结合，利用的函数值的符号，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且， 可知为偶函数，其函数的图象关于轴对称，可排除C，D； 当时，可得， 若时，，则； 若时，可得，则，此时B不符题意. 故选：A 5. 若函数，在上单调递增，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的性质结合已知条件对函数进行分段讨论，当，根据对数函数性质得出函数单调性和最大值，当，对函数求导，结合函数单调递增，列出关于的不等式①并得出在上的最小值，再利用时的最小值不小于时的最大值，列出关于的不等式②，合并求出m的取值范围. 【详解】若，，因为底数，对数函数为单调递增函数， 在上的最大值为. 若，，求导得， 要使单调递增，则需满足①对所有恒成立，解得， 因为，则，所以， 若在上单调递增，则②，解得， 所以. 故选：C. 6. 已知 是正实数，若函数 的图象与 的图象相切，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设切点为，根据导数的几何意义建立方程组，化简推得，利用基本不等式“1”的妙用即可求得答案. 【详解】由求导得， 设切点为，则， 由① ③ 联立可得代入② ，可得，又， 故，当且仅当时等号成立， 即时，取得最小值为. 故选：B. 7. 已知，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，，，利用导数求解函数的单调性，即可由单调性求解. 【详解】设函数，则． 当时，，所以在上单调递增，故， 即，所以． 设函数，则，所以在上单调递减，当0时，， 故当时，，即，所以． 设，则，当时，，所以在上单调递增．故当时，，即，所以，则，即． 故选：D． 8. 已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数定义域，将函数分类讨论，借助于求导判断函数单调性，判断极值点和图象趋势，作出函数的简图，将函数分解因式，根据零点定义，结合图象，确定有两个根，转化为有3个零点，由图即得参数范围. 【详解】函数的定义域为， 若时，由求导得，， 故当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 当时，，当时，； 若时，由求导得，， 因，故恒有，即在上单调递增， 且当时，，当时，，即时，恒有. 作出函数的大致图象如图所示. 又由可得或， 由图知有两个根，此时有2个零点； 要使函数恰有5个不同的零点， 需使有3个零点，由图知，需使，即，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数由函数的零点个数求参问题，属于难题.解题的关键在于将函数按照定义域分类讨论，通过求导作出函数的图象；第二个关键是，将函数的零点个数转化为两个函数的图象交点个数问题解决. 二、多选题（共3题，每题6分） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 命题“，都有”的否定是“，使得” B. 集合，，若，则实数的取值集合为 C. 的最小值为2 D. 若正数，满足，则的最小值为3 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据全称命题的否定的性质，结合交集的运算性质、对数函数的性质、基本不等式的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为命题“，都有”的否定是“，使得” 所以本选项说法不正确； B：当时，，显然符合，因此本选项说法不正确； C：当时，，所以本选项说法不正确； D：因为，是正数， 所以由， 所以有， 即，当且仅当时，取等号， 即当时，的最小值为3，因此本选项说法正确， 故选：ABC 10. 已知函数，则下列正确的选项有（ ） A. 是函数的极小值点 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数在区间上既有最大值也有最小值，则的范围是 D. 关于的不等式的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导数与函数极值点的关系判断A；求出可判断B；结合函数的极值以及单调性判断C；利用换元法结合函数单调性判断D. 【详解】由，得， 当或时，，当时，， 故在上均单调递增，在上单调递减， 故是函数的极大值点，A错误； ， 即函数的图象关于点中心对称，B正确； 结合A的分析可知，在时取极大值，在时取极小值， ， 令，即，解得或； 故要使得函数在区间上既有最大值也有最小值，需满足，C正确； 对于，令，则，即得 由以上分析可知，当时，单调递增，故， 即， 即的解集为，D错误， 故选：BC 11. 已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，下列结论正确的是（ ） A. 的周期为4 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对A：由于为偶函数，图象关于轴对称，所以图象关于对称； 所以 所以①， 而②，将两式相加得：， 则③，所以， 所以是的一个周期，故A正确； 对B、C、D：由A项知令，由③得，由①， 得，由②得， 则，所以，所以， 故D正确； 由①令，得，， 由，，得， 两式相减得， 即，且关于对称，， 所以④，所以， 所以是周期为的周期函数，所以，故B正确； 由④令，得，所以，所以，故C错误； 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：分别求出，的奇偶性及周期，从而求解. 三、填空题（共3题，每题5分） 12. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 13. 已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】通过构造函数得到单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】，， ，的每一项都除以不等号方向不变，即， ，设，则， ，，， 为R上的减函数，， 等价于，为R上的减函数， 的解为，等价于， 的解集为. 故答案为： 14. 已知函数，若的最大值为0，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】通过求导，结合的取值范围可求得当时，函数有最大值，进而可得到，代入，构造函数，再次利用导数可求得其值域. 【详解】由，得， 当时，，则在R上单调递减，无最大值，不符合题意； 当时，令，得；令，得， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，函数有最大值， 即，得， 所以， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，函数有最小值，即， 故的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（共3题，15分15分17分） 15. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）讨论的单调性，并求的极值． 【答案】（1） （2）详见解析 【解析】 【分析】（1）求导，再根据在点处的切线方程为，由求解； （2）由，令，得到单调性，再利用极值的定义求解. 【小问1详解】 因为函数， 所以， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）知， ， 由得或， 由得， 所以在上递增； 在上递减， 当时，取得极大值； 当时，取得极小值； 16. 已知函数． （1）设x=0是的极值点，求m，并讨论的单调性； （2）当时，证明. 【答案】（1）在上是减函数；在上是增函数 （2）当，时，，则， 故只需证明当时，. 当时，函数在上单调递增. 又，故在上有唯一实根，且. 当时，； 当时，，从而当时，取得最小值. 由得，则 故. 【解析】 【小问1详解】 依题意，，由是的极值点，得，解得， 则， 当时，，则；当时，，则， 所以是的极值点，，且在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 【点睛】 17. 已知函数 （1）若有两个零点，求实数的取值范围； （2）若且，证明：； （3）若且，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由可得，令，令，其中，分析可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数的取值范围； （2）令，，先证明出，由已知条件得出，可得，即可证得所证不等式成立； （3）先证明，结合以及所证不等式可证得结论成立. 【小问1详解】 由， 可得， 令，其中，则函数，故函数在上为增函数， 所以，故函数的值域为， 令，其中，则， 当时，，则函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以， 因为内层函数在上为增函数， 故直线与函数的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，实数的取值范围是. 【小问2详解】 令，，因为函数在上为增函数，且，则， 先证明：， 不妨令，则，即证，即证. 令，即证， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数，所以， 即当时，，故. 本题中，因为，，且， 即，即， 故，所以，故， 即. 【小问3详解】 先证明：， 不妨令，则，即证， 即证， 令，即证， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数，故， 即，故，即. 本题中，，所以，即，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $