安徽合肥一六八中学2025-2026学年度高三第一学期限时训练（二）数学试题

· 合肥一六八中学2025-2026学年度高三第一学期限时训练（二） · 数学试题 · 命题：张海宾 审题：周培祥 一、单选题（每小题5分） 1．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知正数x，y满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 5．幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（    ） A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6 6．已知函数有最小值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．若曲线与有公共的切线，则的最大值为（   ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 二、多选题（每小题6分） 9．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．在上是增函数 C．的解集为 D．的解集为 10．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益．已知一段时间内，甲、乙两个水库的蓄水量与时间的关系如图所示，则下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 11．对于定义在区间I上的函数，若存在正数，使得不等式对任意不同的实数恒成立，则称函数在区间I上是“-理想函数”，则下列说法正确的有（   ） A．函数是“2-理想函数” B．若函数在上是“-理想函数”，则的最小值为 C．设，如果是“2025-理想函数”，且的零点也是的零点，，则方程在区间上有解 D．若函数在上是“1-理想函数”，且，则存在满足条件的函数，存在，使得 三、填空题（每小题5分） 12．已知函数，若曲线在点处的切线过坐标原点，则实数的值为 ． 13．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.若两颗星的星等与亮度满足.其中星等为，星的亮度为.若，则 ；若太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为 . 14．已知函数有两个极值点、，则的取值范围为 . 四、解答题（15题8分，16题8分，17题10分） 15．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围. 16．已知函数． (1)试讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 17．集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． (1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； (2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明是奇数． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年8月28日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A D B C C D AD BD 题号 11 答案 BC 1．B 【分析】解不等式得到集合中的具体范围，再求即得解 【详解】集合， 则 故选：B 【点睛】本题考查了解一元二次不等式、函数的定义域求解以及集合的运算，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于简单题 2．A 【分析】根据绝对值的定义可得且，然后利用充分、必要条件的定义判定. 【详解】且，所以“”是“”的充分不必要条件， 故选:A. 3．A 【解析】由，可得，利用基本不等式求最值即可． 【详解】由，可得 则 当且仅当时取等号 故选：A 4．D 【分析】由函数在上单调递增，则在上恒成立，再根据二次函数恒成立的等价条件求解即可. 【详解】函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即， 解得， 所以A是充分条件，B是充要条件，C是既不充分也不必要条件，D是必要条件. 故选：D. 5．B 【分析】由题意可得， ，且为偶数，由此求得m的值． 【详解】∵幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数， ∴，且为偶数 或 当时，满足条件；当时，，舍去 因此：m＝1 故选：B 6．C 【分析】先求出时的最小值，然后对于时，讨论的单调性和取值情况，结合题目要求进行研究，得到的取值范围. 【详解】当时， ，此时； 当时，. ①a=1时，为常函数，此时在R上满足函数有最小值为， ②a≠1时，函数f（x）此时为单调的一次函数，要满足在R上有最小值， 需 解得， 综上，满足题意的实数a的取值范围为： ， 故选：C． 7．C 【分析】在区间内有最小值，可转化为的导函数在区间有变号零点，再根据二次函数的零点分布，即可求解. 【详解】由，若函数在区间内有最小值.此时函数必定存在极值点，由，设，为一元二次方程的两根，有不妨设，故只需要即可，令，有，解得. 故选：C. 8．D 【分析】设直线与相切于求出切线方程，直线与相切于求出切线方程，让两条切线方程的斜率、截距相同可得.令，构造函数，利用导数求出最小值可得答案. 【详解】设直线与相切于， 则直线：， 直线与相切于， 则直线：， 因为曲线与有公共的切线，则两条切线方程的斜率、截距相同， 故， 则. 令，， 则在单调递增，且， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，于是有， 即. 故选：D. 9．AD 【分析】分析可知为偶函数，研究时的函数的单调性和最值，即可得出AB的正确与否；研究函数的零点，结合单调性，奇偶性，即可判定C错误；分类讨论求解，即可得到不等式的解集，从而判定D正确. 【详解】， 所以是偶函数， 在时，, 图象为开口向下的抛物线的部分， 对称轴为, 在内单调递增，在上单调递减， 最大值为, ∴函数在R上的最大值为, 在内单调递增，在内单调递减， 故A正确，B错误；    由于, 结合函数的单调性和偶函数的性质画出图象如图所示. 可知的解集为, 故C错误； 画出图象如图所示：    由图象可得不等式的解集为，故D正确. 故选：AD. 10．BD 【分析】结合瞬时变化率与平均变化率及图象分析即可得解． 【详解】对于A，由题图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0， 乙水库蓄水量的平均变化率大于0，故A错误． 对于B，由题图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0， 乙水库蓄水量的平均变化率大于0， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B正确． 对于C，由题图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于0， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于0， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误． 对于D，由题图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确． 故选：BD． 11．BC 【分析】根据“-理想函数”的定义即可判断A错误，由幂函数单调性以及不等式恒成立可构造函数，并利用导数求出的取值范围可知B正确；由题意可求出，结合零点定义由三角函数值域以及零点存在定理可判断C正确，易证明函数在上是“1-理想函数”，则对任意，，因此D错误. 【详解】对于A，， 当时，， 所以函数不是“2-理想函数”，故A不正确； 对于B，由函数在上是“-理想函数” 即，显然函数在上单调递增，且， 不妨设，则恒成立， 令，则在上单调递减， 即当时，，即恒成立， 又当时，函数为单调递减，所以， 所以即可，即的最小值为，故B正确； 对于C，因为函数是“2025-理想函数”， 所以，即，所以， 由于的零点为，所以， 又也是的零点，所以， 又，所以，故，， 设，， 由，， 显然此时，由零点存在定理知方程在区间上有解，故C正确； 对于D，函数在上是“1-理想函数”， 则对任意，， 不妨设， 当时，则， 当时，由于， 则， 所以，故D错误． 故选：BC． 12． 【分析】首先对函数求导，然后表示出在点的切线方程，最后根据切线过原点求出实数. 【详解】因为，所以． 又， 所以曲线在点处的切线方程为, 又该切线过坐标原点，所以，即， 解得:． 故答案为：. 13． ； . 【解析】把已知数据代入中，求解即可； 把数据代入，化简后利用对数的运算性质求解. 【详解】解：把代入中，得到. 设太阳的星等是，设天狼星的星等是， 由题意可得：， 所以，则. 故答案为：；. 【点睛】本题考查对数的运算性质，属于基础题. 14． 【分析】确定函数的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求的取值范围． 【详解】函数的定义域为，， 依题意，方程有两个不等的正根、（其中）， 则，由韦达定理得，， 所以， 令，则，， 当时，，则函数在上单调递减，则， 所以，函数在上单调递减，所以，. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查了函数极值点问题，考查了函数的单调性、最值，将的取值范围转化为以为自变量的函数的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 15．(1)见解析(2) 【分析】（1）求函数的导函数，由求函数的单调递增区间，由求函数的单调递减区间； （2）由可得，则直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数，则， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由可得， 若，则；若，则. 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为， 综上所述，当时，函数的单调增区间为； 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为. （2）当时，由，可得，则直线与函数的图象有两个交点， 函数的定义域为，， 由，可得， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，函数的极大值为，且，，如下图所示：    由图可知，当时， 直线与函数在上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 16．(1)时，在上单调递减，时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【分析】（1）求出原函数的导函数，对进行分类讨论即可得出原函数的单调区间； （2）由，不等式恒成立，转化为，构造函数，分类讨论求解单调性，求出的范围. 【详解】（1）由，求导得，， 当时，，则在上单调递减， 当时，令，则， 当，，则在上单调递减， 当，，则在上单调递增， 故时，在上单调递减， 时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由，不等式恒成立， 转化为， 构造函数， 求导 若时，则，所以在单调递减， 由于对于成立， 当时，则， 故，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，但是，不满足题意. 故整数的最大值为. 17．(1)不是“可分集合”，为“可分集合” (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由“可分集合”的定义判断； （2）不妨设，讨论当在集合中去掉元素、后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可证得结论成立； （3）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明. 【详解】（1）解：对于，去掉后，不满足题中条件，故不是“可分集合”， 对于，集合所有元素之和为. 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意. 综上所述，集合是“可分集合”. （2）证明：不妨设， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有①，或者②， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③得，矛盾，由①④得，矛盾， 由②③得矛盾，由②④得矛盾， 故当时，集合一定不是“可分集合”． （3）设中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 故的奇偶性相同， ①若为奇数，则为奇数，易得为奇数， ②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合也是“可分集合”， 若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“可分集合”，由①知为奇数 综上，集合中元素个数为奇数. 【点睛】关键点点睛：考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性. 答案第10页，共13页 答案第11页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $