期中真题专项训练01 平面向量及其应用常考60题13大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册重难点讲义与测试

期中真题专项训练01 平面向量及其应用 【考点一】 向量的线性运算的几何应用 【考点八】 数量积的坐标表示 【考点二】平面向量数量积的几何意义 【考点九】 向量夹角的坐标表示 【考点三】数量积的运算律 【考点十】 向量在物理中的应用举例 【考点四】 向量夹角的计算 【考点十一】 余弦定理解三角形 【考点五】 平面向量基本定理的应用 【考点十二】 正弦定理边角互化应用 【考点六】 平面向量线性运算的坐标表示 【考点十三】 余弦定理、正弦定理的应用 【考点七】 由向量共线（平行）求参数 【考点一】向量的线性运算的几何应用 1．（24-25高一下·山东潍坊·期中）在四边形中，，设.若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】作出草图，过作，又，可得四边形是平行四边形． ，根据．可得 ，又，可得，据此即可得出结果． 【详解】如图所示，过作，又． ∴四边形是平行四边形． ， 又， ， 又，则. 故选：B．    2．（24-25高一下·广东汕头·期中）在矩形ABCD中，E为线段AB的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用向量线性运算的数乘和减法、加法法则即可得解. 【详解】. 故选：D. 3．（24-25高一下·湖北·期中）如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合向量的线性运算求解即可. 【详解】因为点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点， 则，， 所以. 故选：A． 4．（24-25高一下·海南海口·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和向量加法得到可解. 【详解】因为，所以， 即， 所以与的面积之比为. 故选：C 5．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】如图，根据平面向量的线性运算可得，则在线段上，且，设，结合和计算即可求解. 【详解】由，得， 如图，分别是的中点，    则， 所以在线段上，且， 得，设，则，所以， 因为，，， 所以，则，解得. 故选：B 【考点二】平面向量数量积的几何意义 6．（24-25高一下·广东清远·期中）已知是圆的弦，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积的几何意义即可求解。 【详解】如图：取弦的中点为, , 故选:D 7．（23-24高一下·山东烟台·期中）在边长为2的正三角形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等边三角形的性质结合平面向量数量积的几何意义计算即可. 【详解】 如图所示，取的中点，则， 由题意易知， 不难发现在上的投影为，所以. 故选：A 8．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知向量，满足，，，则在方向上的投影数量为_____． 【答案】3 【分析】利用投影数量的定义代入计算可得结果. 【详解】根据题意可得在方向上的投影数量为． 故答案为：3 9．（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知点是边长为3的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】画出图形,结合图形，利用平面向量的几何意义判断求解即可. 【详解】画出图形如图，， 它的几何意义是的长度与在向量上的投影的乘积， 由图可知，在处时，取得最大值，， 此时，可得，即最大值为. 在处取得最小值， 此时， 最小值为， 因为是边长为3的正六边形内的一点，取不到临界值， 所以的取值范围是. 故答案为：.    【考点三】数量积的运算律 10．（24-25高一下·云南文山·期中）以下命题中正确的是（   ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据向量平行与相等概念判断A，根据特例判断B，利用数量积的运算判断C，取特例判断D. 【详解】对于A，若两个单位向量平行，则这两个单位向量为相等向量或相反向量，故A不符合题意； 对于B，当时，则不一定成立，故B不符合题意； 对于C，，两边平方可得，则与的夹角为0，则，故C正确； 对于D，若，则与不一定相等，例如，故D不符合题意. 故选：C． 11．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知的外接圆圆心为，半径为1，且，，则的值为（   ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】根据题意，求得为等腰直角三角形，且，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】因为，可得，所以为的中点， 所以为的直径，可得， 又因为，所以为等腰直角三角形，且， 所以. 故选：A. 12．（24-25高一下·浙江·期中）在中，，，，在边上运动，则的最小值为________. 【答案】 【分析】根据题意分析可知：，设，化简可得，结合二次函数分析求解. 【详解】因为，所以. 设，已知在边上运动，，则. 且，， 所以，. 所以，对称轴为， 当时，取得最小值为. 故答案为： 13．（24-25高一下·河北石家庄·期中）在梯形中，，，，梯形的外接圆圆心为O，圆O上有一个动点P，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】由向量的单位化以及数量积可求得梯形的内角，根据外接圆的性质确定圆心，结合数量积的定义，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则， 由梯形存在外接圆，则， 由，则， 所从，即梯形为等腰梯形， 易知的中点为外接圆圆心，则，， 所以， 由，则. 故答案为：. 14．（24-25高一下·山东日照·期中）在中，为钝角，点O为所在平面内一点，，且满足，，线段OB交线段AC于点M． (1)若，求； (2)在（1）的条件下，求的取值范围； (3)设，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，根据垂直向量数量积为，展开得到，同理，所以是三角形外心.再利用圆周角与圆心角关系得.通过，结合夹角余弦值列出方程求出. （2）设，对先平方再开方，利用向量数量积运算化简，得到关于的表达式，根据三角函数性质求范围. （3）设，通过向量运算得到，两边平方建立等式，经过变形和换元等操作求即的最值. 【详解】（1）因为， 所以，所以， 同理可得，所以点是的外心． 因为且， 化简得， 所以． （2）由（1）知，点是的外心．设， ． 因为，所以 所以． （3）设，则， 因为，所以， 所以， 两边同时平方得，，所以， 令，当且仅当即时，等号成立． 所以的最小值为． 【考点四】向量夹角的计算 15．（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）已知向量、满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出、的值，结合平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为向量、满足，，， 所以，， ， 所以，. 故选：A. 16．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用向量夹角公式及数量积的运算律求夹角即可. 【详解】由题设， 由， 所以，而，则. 故选：A 17．（多选）（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】ABD 【分析】先利用求模公式以及数量积的运算律得出，再利用求模公式、数量积的运算律、向量的夹角公式逐一判断ABD；设，利用平面向量基本定理判断的存在性判断C. 【详解】由题意可知，，且， 则， ， ， 故，B正确； ，故A正确； 因，， 若，则，使得， 因不共线，则，此方程组无解， 故与不共线，故C错误； 因， 则， 因，则，故D正确. 故选：ABD 18.（24-25高一下·江苏苏州·期中）已知向量满足，，，且，则________. 【答案】/ 【分析】根据已知条件依次求出，接着求出、即可结合向量夹角余弦公式 【详解】， 所以， ， 所以， ， 所以， 所以， ， ， 所以， 故答案为： 19.（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）已知，，. (1)求向量与的夹角； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积的定义，即可求得向量与的夹角； （2）根据向量垂直的充要条件，即可求得的值； 【详解】（1）设向量与的夹角为 ， ， ， . （2） ， ， ， ，. 【考点五】平面向量基本定理的应用 20．（24-25高一下·湖北·期中）在中，点为线段的中点，点在线段上，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算得，结合已知利用平面向量基本定理列式得，即可求解. 【详解】由题意， 又，所以，所以. 故选：B 21．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在中，点E为线段上的中点，点F为线段上靠近点C的三等分点，，分别与交于R，T两点．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量基本定理，由点的位置关系可得出向量的比例关系，再根据平面向量的三角形法则和平行四边形法则运算，对选项逐一验证即可求得结果. 【详解】根据题意可知，且，所以； 对于A，易知， 因此可得，可得A错误； 对于B，点E为线段上的中点，由平行四边形法则可得， 而； 联立，解得，即B错误； 对于C，易知，所以，因此可得， 所以 ，即可得C正确； 对于D，， 因此可得，即D错误. 故选：C 22.（23-24高一下·河南·期中）在平行四边形中，与交于点为的中点，与交于点，延长交于，则 （   ） A．为三角形的外心 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由与相似，为的中点，可知，所以点为三角形的重心，判断出A错误；由重心得到为的中点，所以，判断出B正确；由平面向量的基本定理判断出C，D正确. 【详解】在三角形中，为的中点，又与相似， 可得：，故点为三角形的重心，故A错误； 由于点为三角形的重心，延长交于，则为的中点， 所以，故B正确； ，，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD. 23.（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）在△ABC中，O是BC边上靠近点B的五等分点，过点O的直线与射线AB，AC分别交于不同两点M，N，设，则______． 【答案】5 【分析】根据向量的加减运算表示出，利用三点共线可得即可求得答案. 【详解】由题意知， 由于M、O、N三点共线，可知， 所以， 故答案为：5. 24.（24-25高一下·广东·期中）已知在正方形ABCD中，，． (1)设，，用，表示； (2)若AC上一点R满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由向量的线性运算即可分解向量； （2）由题意得，且可设，结合不共线，即可求解. 【详解】（1） ， （2） 由题意， 设， 因为不共线， 从而，解得. 【考点六】平面向量线性运算的坐标表示 25．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知三点，若和是相反向量，则D点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由已知条件求出和的坐标，根据和是相反向量即可求解. 【详解】设，∵， ∴，. ∵和是相反向量， ∴，即，解得. 故选：A. 26．（23-24高一下·浙江宁波·期中）在直角梯形中，，，，，点E为边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，过点C作，垂足为F，因为， 所以有, 设，， 因此有 因为，所以有, 而，所以， 当时，有最大值，当有最小值0， 所以的取值范围为， 故选：A 27.（多选）（23-24高一下·四川绵阳·期中）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】结合向量的坐标运算，并分类讨论，即可求解. 【详解】设点坐标为，因为向量，，则，， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 故选：AD 28．（24-25高一下·云南昆明·期中）设点为的外心，，，．若，则________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，结合三角函数的定义写出点的坐标，利用向量线性运算的坐标表示得到，再根据三角形外心的性质得到，建立方程，结合条件求解即可. 【详解】 如图，以点为原点，以方向为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，设，则由可得， 所以，则. 点为的外心，点在线段的垂直平分线上，故点的横坐标， 设，则， 所以，即， 因为，即，所以， 又因为，所以，解得. 故答案为：. 29.（23-24高一下·广东佛山·期中）如图，在直角梯形OABC中，，，，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点.    (1)用和表示； (2)以O为原点，和方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，当P为BC中点时，写出点M，P，D的坐标； (3)设，求的取值范围. 【答案】(1) (2)，，. (3)答案见解析 【分析】（1）根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得； （2）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. （3）由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解. 【详解】（1）依题意，， ， ； （2）   以O为坐标原点，以OA、OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，，， 由，可得，又P是BC中点，可得， 又，因为A、C、D三点共线，所以，解得，所以， ∴，则. （3）由已知， 因P是线段BC上动点，则令， ， 又不共线，则有， ， ，在上递增， 所以， 故的取值范围是. 【考点七】由向量共线（平行）求参数 30．（24-25高一下·广东广州·期中）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题可先求出的坐标，再根据两向量平行的坐标关系列出方程，进而求解的值. 【详解】已知，， 可得. 已知，且，所以， 即，解得. 故选：C. 31．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知向量，不共线，，且与共线，则m＝（   ） A．2 B．－2 C．1 D．－1 【答案】B 【分析】应用向量共线定理表达条件，结合数乘运算法则及向量相等条件列方程组求解即可. 【详解】因为与，则存在唯一的实数t，满足， 即， 整理可得， 已知向量，不共线，等式成立等价于， 解方程组，可得. 故选：B. 32.（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）已知向量，，且与的夹角为锐角，则x的取值范围为________． 【答案】 【分析】由，且与不共线,即可求解. 【详解】由题意有，又与不共线，所以， 所以， 故答案为：. 33．（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知向量（其中）.若与共线，则的最小值为__________. 【答案】3 【分析】根据题意，由共线向量的坐标表示可得，再结合基本不等式代入计算，即可求解. 【详解】由与共线可得，即，且， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 34.（24-25高一下·山东济宁·期中）已知.，为单位向量，且与的夹角为. (1)求的值； (2)若，且，求向量的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据数量积和模的公式，计算，即可求解； （2）首先设向量，再根据条件转化为方程组，即可求解. 【详解】（1）因为，为单位向量，且与的夹角为， 所以，∴， 则； （2）设，， ∵，∴， 又，， ∴， ∴或 ∴或. 【考点八】数量积的坐标表示 35.（24-25高一下·天津河西·期中）已知向量且在上的投影向量为则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算公式求出，再由即可判断. 【详解】由可得，， ， 因在上的投影向量为，故，则， 因，则， 即与的夹角为. 故选：C. 36.（多选）（24-25高一下·江西南昌·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为4，是正八边形内的动点（含边界），则的取值可能是（    ）       A．-10 B．10 C．30 D．50 【答案】AB 【分析】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，设，则，故只需求的范围即可. 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，设， 过作的垂线，垂足为，正八边形中，边长为4， 所以，所以， 所以，所以， 设，则，，所以， 因为是正八边形内的动点（含边界）， 所以的范围为，所以， 故选：AB.    37.（24-25高一下·河北·期中）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】由两向量夹角为钝角得到数量积小于0，且不反向共线，列出不等式，求出参数的取值范围. 【详解】因为与的夹角为钝角，则且与不共线， 则且，解得且， 故答案为：. 38．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，在矩形中，，与的交点为，为边上任意一点（包含端点），则的取值范围为________.    【答案】 【分析】建系，由平面向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】以点为坐标原点，，的方向为轴，轴正方向，建立平面直角坐标系，    则，，， 设，所以，， 则， 因为，所以. 故答案为： 39.（24-25高一下·广东深圳·期中）已知、是单位圆上相异的两个定点（为此单位圆圆心），点是单位圆上的动点且.直线交直线于点. (1)若，求的值； (2)设， ①用表示； ②求的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）通过对的表达式进行平方运算，结合单位圆上点对应的向量模长为，再利用三角函数的性质来求解的值. （2）根据已知条件求出相关向量的坐标，再利用向量共线得到关于的表达式，然后根据三角形面积公式求出关于的表达式，最后通过换元法将其转化为关于的函数，利用函数单调性求出取值范围. 【详解】（1）因为，且，，都是单位圆上的点， 所以 ， 又，，所以. （2）①由（1）有，则以为原点，分别以，的正方向为，轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，，因为，所以，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，. ②依题意在第二象限，在线段上， 如图有， 所以， 令，则， 所以，，所以， 所以，在上单调递增， 所以，即的取值范围为. 【考点九】向量夹角的坐标表示 40.（23-24高一下·浙江·期中）已知向量，，则向量和向量夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的夹角公式求出，再根据平方关系求出正弦值. 【详解】因为向量，， 所以， 因为， 所以， 所以向量和向量夹角的正弦值为， 故选：D. 41．（24-25高一下·重庆·期中）如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形的特点建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，再利用与共线，与共线，求出点的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式进行求解即可. 【详解】 以为坐标原点，，所在方向分别为轴和轴建立平面直角坐标系， 则，，，，，设， ，，，， 与共线，设，，即， 与共线，设，，即， ，解得，， ， ，， ，， ， . 故选：A. 42.（多选）（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知向量，，记向量，的夹角为，则（   ） A．若为钝角，则 B．若为锐角，则 C．当时，为直角 D．当时，为平角 【答案】BD 【分析】对于A，由题意得且向量，不共线，从而可求出，对于B，由题意得且向量，不共线，从而可求出，对于C，通过计算进行判断，对于D，利用夹角公式求解即可. 【详解】对于A，因为为钝角，所以且向量，不共线， 由，得，得，由，不共线，得，得， 所以，且，所以A错误， 对于B，因为为锐角，所以且向量，不共线， 由，得，得，由，不共线，得，得， 所以，所以B正确， 对于C，当时，，所以，所以与不垂直，即不是直角，所以C错误， 对于D，当时，，所以， 因为，所以，即为平角，所以D正确. 故选：BD 43.（23-24高一下·四川绵阳·期中）在正方形中，点，分别是，的中点，则＝______. 【答案】/ 【分析】建立直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求. 【详解】    设正方形的边长为2，以为原点，所在直线为坐标轴建立直角坐标系， 所以，，故， 所以， 又， 所以. 故答案为： 44.（24-25高一下·吉林·期中）如图，正方形ABCD的边长为6，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形，由向量的加法法则可得； （2）建立以点为原点的平面直角坐标系，由坐标计算向量的夹角可得. 【详解】（1）由题意知，， 又，所以，故； （2）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系. 则. 由于就是的夹角. 的余弦值为. 【考点十】向量在物理中的应用举例 45.（23-24高一下·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 【答案】C 【分析】借助功的定义计算即可得. 【详解】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为. 故选：C. 46.（24-25高一下·宁夏银川·期中）利用向量的数量积可以定义物理中的功：，是物体所受的作用力，是物体的位移．已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为_____焦耳． 【答案】21 【分析】利用定义根据向量数量积的坐标运算公式计算即得. 【详解】因为力，位移， 所以力对物体所做的功为焦耳． 故答案为：21． 47．（24-25高一下·福建福州·期中）一质点在力的共同作用下，由点移动到点，则的合力对该质点所做的功为_______． 【答案】6 【分析】利用向量运算法则得到，，从而利用向量数量积的坐标公式进行计算. 【详解】由题意得：， ， 则合力对该质点所做的功为. 故答案为：6. 48.（23-24高一下·云南昭通·期中）某人在静水中游泳，速度为千米/小时，现在他在水流速度为4千米/小时的河中游泳． (1)若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 【答案】(1)此人沿与河岸成的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时 (2)此人沿向量的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为方向游，实际前进的速度大小为千米/小时 【分析】（1）利用向量的加法法则和三角函数的定义求解即可； （2）利用向量的减法法则和三角函数的定义求解即可. 【详解】（1）如图， 设此人游泳的速度为，水流的速度为， 以为邻边作，则此人的实际速度为， 由勾股定理知，且在中，，即， 故此人沿与河岸成的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时． （2）如图，设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为， 在中，，则， 故此人沿向量的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为方向游， 实际前进的速度大小为千米/小时． 【考点十一】余弦定理解三角形 49.（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，则DB的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由题意在直角中，可得BC的值，再在中，由余弦定理可得BD的大小． 【详解】在中，， 可得， 在中，， 由余弦定理可得， 即， 即，解得（负值已舍）． 即BD的长度为1． 故选：A． 50.（24-25高一下·天津·期中）在中，分别为的中点，与相交于点 .若，则__________________. 【答案】 【分析】设，将把和用来表示，由题意可知,进而利用平面向量的数量积即可求解. 【详解】    因为，由余弦定理知： ， 所以. 设， 因为分别为的中点， 所以. 因为， 所以， . 又，. 所以. 故答案为： 51．（24-25高一下·天津南开·期中）在四边形中，，，，为中点．若，则的最大值为________． 【答案】 【分析】利用给定的基底，利用向量的线性运算求出，利用数量积的运算律及定义，余弦定理、基本不等式求出最大值即得． 【详解】因为是中点，，，得， 在四边形中，令，，由，得，， 由，得， 在中，由余弦定理得，， 即，当且仅当时取等号， 由，得，， 因此 ， 当且仅当时，两个等号同时成立， 所以的最大值为． 故答案为：. 52.（24-25高一下·福建漳州·期中）已知向量与向量共线，B为的内角． (1)求B； (2)若为钝角，且，求周长的最大值． 【答案】(1)或或 (2) 【分析】（1）由得出，得到或.再结合角范围，确定的值. （2）因为是钝角，确定.用余弦定理得到.利用均值不等式，得出.已知的值，解不等式得到范围，进而得到周长最大值. 【详解】（1）已知，根据向量平行性质得到. 移项可得，提取公因式得. 那么或者即. 因为，当时，；当时，或. 则或或. （2）因为为钝角，所以. 由余弦定理，把代入可得. 根据均值不等式，所以. 已知，则，解得. 所以，当且仅当时取等号，此时周长取得最大值. 【考点十二】正弦定理边角互化应用 53.（24-25高一下·河北秦皇岛·期中）已知的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，下列四个命题中错误的命题是（   ） A．在 中，若 ，则 B．若 ，，，则有唯一解 C．若，则是等腰三角形或直角三角形 D．若 ，则角 【答案】D 【分析】对于A：利用正弦定理边化角即可得结果；对于B：利用正弦定理可得，结合即可得结果；对于C：由倍角公式可得，即可得结果；对于D：利用余弦定理边化角即可得结果. 【详解】对于A，在中，由正弦定理知，， 结合大边对大角可得，故命题正确，A不符合题意； 对于B，因为，，， 由正弦定理，得， 由知，只有一解，所以有一个解，故命题正确，B不符合题意； 对于C，因为，由正弦定理得：，则， 因为，可知或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故命题正确，C不符合题意； 对于D，因为， 由余弦定理得：，即， 因为，所以或，故命题错误，D符合题意. 故选：D. 54．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的大小是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理化简，可设，再根据化简求解即可. 【详解】∵， ∴由正弦定理得， 即， 令，，，显然， ∵， ∴，即， 故，由，解得， ∴. 故选：D 55.（24-25高一下·广东佛山·期中）已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，，则_______. 【答案】 【分析】由正弦定理角化边，可得，进而利用余弦定理可求. 【详解】由，结合正弦定理可得，又， 所以，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以. 故答案为：. 56.（23-24高一下·陕西咸阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)若，求证：； (2)若，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解，进而由面积公式求解， （2）根据向量的线性运算，结合模长公式，即可得，利用换元法，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由可得，， 故，即， 由正弦定理得，故， ，所以，，所以． （2），， 故， 所以， 令，所以． 当且仅当取等号，所以的最大值为． 【考点十三】余弦定理、正弦定理应用举例 57.（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】由题意利用同角三角函数关系求得，利用三角形面积公式得，结合，利用余弦定理求解即可． 【详解】由可知，三边成等差数列， 所以是长度居中的边，其所对的角也为大小居中的角， 因为三角形中若有钝角，则必为最大角，所以必为锐角， 又，所以. 由题意可得：，化简得， 又，， 所以， 所以，解得（负根舍去）. 故选：B． 58．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，已知，则的形状为______ 【答案】等腰或直角三角形 【分析】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦公式及正弦函数性质推理判断即可. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形 59．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）在中，内角，，的对边分别是，，，且，，面积为，为边上一点，是的角平分线，则__________.    【答案】1 【分析】利用余弦定理，结合面积可求和，利用，可得，进而可求得. 【详解】在中，，由余弦定理可得， 所以，所以， 又面积为，所以，所以， 所以，所以， 因为是的角平分线，，所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以，所以. 故答案为：1. 60．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到求解； （2）由正弦定理和三角恒等变换公式，有，根据为锐角三角形，求得的范围，结合三角函数的性质求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得. （2）由正弦定理可得， 所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 即，所以的周长， 所以的周长的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中真题专项训练01 平面向量及其应用 【考点一】 向量的线性运算的几何应用 【考点八】 数量积的坐标表示 【考点二】平面向量数量积的几何意义 【考点九】 向量夹角的坐标表示 【考点三】数量积的运算律 【考点十】 向量在物理中的应用举例 【考点四】 向量夹角的计算 【考点十一】 余弦定理解三角形 【考点五】 平面向量基本定理的应用 【考点十二】 正弦定理边角互化应用 【考点六】 平面向量线性运算的坐标表示 【考点十三】 余弦定理、正弦定理的应用 【考点七】 由向量共线（平行）求参数 【考点一】向量的线性运算的几何应用 1．（24-25高一下·山东潍坊·期中）在四边形中，，设.若，则（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25高一下·广东汕头·期中）在矩形ABCD中，E为线段AB的中点，则（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖北·期中）如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·海南海口·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【考点二】平面向量数量积的几何意义 6．（24-25高一下·广东清远·期中）已知是圆的弦，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·山东烟台·期中）在边长为2的正三角形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知向量，满足，，，则在方向上的投影数量为_____． 9．（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知点是边长为3的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是__________. 【考点三】数量积的运算律 10．（24-25高一下·云南文山·期中）以下命题中正确的是（   ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知的外接圆圆心为，半径为1，且，，则的值为（   ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 12．（24-25高一下·浙江·期中）在中，，，，在边上运动，则的最小值为________. 13．（24-25高一下·河北石家庄·期中）在梯形中，，，，梯形的外接圆圆心为O，圆O上有一个动点P，则的取值范围为________． 14．（24-25高一下·山东日照·期中）在中，为钝角，点O为所在平面内一点，，且满足，，线段OB交线段AC于点M． (1)若，求； (2)在（1）的条件下，求的取值范围； (3)设，求的最小值． 【考点四】向量夹角的计算 15．（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）已知向量、满足，，，则（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 17．（多选）（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D．与的夹角为 18.（24-25高一下·江苏苏州·期中）已知向量满足，，，且，则________. 19.（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）已知，，. (1)求向量与的夹角； (2)若，求实数的值. 【考点五】平面向量基本定理的应用 20．（24-25高一下·湖北·期中）在中，点为线段的中点，点在线段上，且，若，则（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在中，点E为线段上的中点，点F为线段上靠近点C的三等分点，，分别与交于R，T两点．则（    ） A． B． C． D． 22.（23-24高一下·河南·期中）在平行四边形中，与交于点为的中点，与交于点，延长交于，则 （   ） A．为三角形的外心 B． C． D． 23.（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）在△ABC中，O是BC边上靠近点B的五等分点，过点O的直线与射线AB，AC分别交于不同两点M，N，设，则______． 24.（24-25高一下·广东·期中）已知在正方形ABCD中，，． (1)设，，用，表示； (2)若AC上一点R满足，求的值． 【考点六】平面向量线性运算的坐标表示 25．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知三点，若和是相反向量，则D点坐标为（   ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·浙江宁波·期中）在直角梯形中，，，，，点E为边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27.（多选）（23-24高一下·四川绵阳·期中）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·云南昆明·期中）设点为的外心，，，．若，则________． 29.（23-24高一下·广东佛山·期中）如图，在直角梯形OABC中，，，，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点.    (1)用和表示； (2)以O为原点，和方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，当P为BC中点时，写出点M，P，D的坐标； (3)设，求的取值范围. 【考点七】由向量共线（平行）求参数 30．（24-25高一下·广东广州·期中）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．4 D．2 31．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知向量，不共线，，且与共线，则m＝（   ） A．2 B．－2 C．1 D．－1 32.（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）已知向量，，且与的夹角为锐角，则x的取值范围为________． 33．（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知向量（其中）.若与共线，则的最小值为__________. 34.（24-25高一下·山东济宁·期中）已知.，为单位向量，且与的夹角为. (1)求的值； (2)若，且，求向量的坐标. 【考点八】数量积的坐标表示 35.（24-25高一下·天津河西·期中）已知向量且在上的投影向量为则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 36.（多选）（24-25高一下·江西南昌·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为4，是正八边形内的动点（含边界），则的取值可能是（    ）       A．-10 B．10 C．30 D．50 37.（24-25高一下·河北·期中）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是________. 38．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，在矩形中，，与的交点为，为边上任意一点（包含端点），则的取值范围为________.    39.（24-25高一下·广东深圳·期中）已知、是单位圆上相异的两个定点（为此单位圆圆心），点是单位圆上的动点且.直线交直线于点. (1)若，求的值； (2)设， ①用表示； ②求的取值范围. 【考点九】向量夹角的坐标表示 40.（23-24高一下·浙江·期中）已知向量，，则向量和向量夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 41．（24-25高一下·重庆·期中）如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 42.（多选）（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知向量，，记向量，的夹角为，则（   ） A．若为钝角，则 B．若为锐角，则 C．当时，为直角 D．当时，为平角 43.（23-24高一下·四川绵阳·期中）在正方形中，点，分别是，的中点，则＝______. 44.（24-25高一下·吉林·期中）如图，正方形ABCD的边长为6，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值. 【考点十】向量在物理中的应用举例 45.（23-24高一下·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 46.（24-25高一下·宁夏银川·期中）利用向量的数量积可以定义物理中的功：，是物体所受的作用力，是物体的位移．已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为_____焦耳． 47．（24-25高一下·福建福州·期中）一质点在力的共同作用下，由点移动到点，则的合力对该质点所做的功为_______． 48.（23-24高一下·云南昭通·期中）某人在静水中游泳，速度为千米/小时，现在他在水流速度为4千米/小时的河中游泳． (1)若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 【考点十一】余弦定理解三角形 49.（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，则DB的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 50.（24-25高一下·天津·期中）在中，分别为的中点，与相交于点 .若，则__________________. 51．（24-25高一下·天津南开·期中）在四边形中，，，，为中点．若，则的最大值为________． 52.（24-25高一下·福建漳州·期中）已知向量与向量共线，B为的内角． (1)求B； (2)若为钝角，且，求周长的最大值． 【考点十二】正弦定理边角互化应用 53.（24-25高一下·河北秦皇岛·期中）已知的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，下列四个命题中错误的命题是（   ） A．在 中，若 ，则 B．若 ，，，则有唯一解 C．若，则是等腰三角形或直角三角形 D．若 ，则角 54．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的大小是（    ） A． B． C．3 D． 55.（24-25高一下·广东佛山·期中）已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，，则_______. 56.（23-24高一下·陕西咸阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)若，求证：； (2)若，求的最大值． 【考点十三】余弦定理、正弦定理应用举例 57.（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（   ） A． B．2 C．4 D． 58．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，已知，则的形状为______ 59．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）在中，内角，，的对边分别是，，，且，，面积为，为边上一点，是的角平分线，则__________.    60．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $