专题02 等比数列及前n项和（9题型专项训练）数学人教B版选择性必修第三册

专题02 等比数列及前n项和（9题型专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等比数列的基本运算（热点） 1 题型二、等比数列的判定与证明 1 题型三、等比中项 2 题型四、等比数列项的性质应用（热点） 2 题型五、等差数列与等比数列的综合应用 3 题型六、等比数列的实际应用 4 题型七、等比数列an与Sn求通项（重点） 4 题型八、错位相减（重点） 5 题型九、等比数列的综合应用（难点） 5 B 综合攻坚・能力跃升 6 题型一、等比数列的基本运算 1．已知公比为整数的等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 2．已知等比数列的首项为1，前项和为，若，则（    ） A．1或2 B．1或4 C．2或4 D．4 3．等比数列的前项和为，且，则公比（    ） A． B．1 C．2 D．4 4．已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 5．等比数列的前n项和为，若，，则________． 题型二、等比数列的判定与证明 6．（多选）等比数列和函数满足：，，则以下数列也为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 7．已知数列． (1)若是等差数列，求的通项公式； (2)设，证明：数列是等比数列. 8．已知数列满足，． (1)求证：数列是等比数列； (2)求的通项公式． 9．已知数列满足. (1)设，证明是等比数列，并求的通项公式； (2)判断数列的单调性. 10．已知数列满足：，. (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)若数列其前项和为，求. 题型三、等比中项 11．已知，若成等比数列，则实数的乘积的值为（   ） A． B． C． D． 12．已知正项等比数列的前项和为，若，则的公比为（   ） A． B． C．2 D．4 13．各项均为正数的等比数列中，，则（  ） A． B．3 C．6 D．9 14．设是实数，若成等比数列，且成等差数列，则的值为________． 15．已知公差为的等差数列满足，的等比中项为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 题型四、等比数列项的性质应用 16．在等比数列中，，，则公比_____． 17．记正项等比数列的前项积为，若，则（   ） A． B． C． D． 18．在正项等比数列中，，则（    ） A．1 B． C． D．2 19．在等比数列中，，且，则______． 20．已知数列为等比数列，其中，是方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 题型五、等差数列与等比数列的综合应用 21．已知等差数列中，，其前项和为．等比数列中，．则满足的的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 22．已知一个等差数列，其前项和为，且，记，其前项积为，则（   ） A． B． C． D． 23．无人机表演团队把飞在空中的无人机设计成在垂直于地面的同一平面内，已知10架无人机飞行的高度（单位：米）从低到高构成项数为10的数列，该数列的前4项成等比数列，后7项成等差数列，且，，，则______，数列所有项的和为______． 24．在等比数列中，，是与的等差中项． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 25．记为公差不为0的等差数列的前n项和，已知，为，的等比中项． (1)求的通项公式； (2)求满足的n的最大值． 26．已知等差数列前项和为，，. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)设数列，求证：是等比数列，并求出的前项和. 27．已知数列和满足，，，，是等比数列，是等差数列． (1)求； (2)求的前项和． 题型六、等比数列的实际应用 28．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要（   ） A．6秒钟 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟 29．某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以此类推都得剩下的一半多一万元，到第名恰好将资金分完，则需要拿出资金________万元． 30．算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔九层，红光点点倍加增，共灯五百一十一”，其意大致为：有一栋九层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有盏灯，则该塔中间一层有（    ）盏灯. A． B． C． D． 31．小琴3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元，当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为_______元．（最后结果保留4位有效数字，参考数据：） 32．为了加强城市环保建设，某市计划用若干年时间更换5000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型两种车型．今年年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车300辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．市政府根据人大代表的建议，要求5年内完成全部更换，则a的最小值为________． 题型七、等比数列an与Sn求通项 33．设数列满足，则的前2026项和为（   ） A． B． C． D． 34．（多选）已知数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 35．已知是数列的前n项和，且． (1)求的通项公式及前项和； (2)若，求数列的前n项和． 36．已知数列的前项和为，满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和. 37．已知数列的前n项和是，且．求： (1)数列的通项公式； (2)数列落入区间内的所有项的和． 题型八、错位相减 38．已知公比大于1的等比数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 39．已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 40．已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 41．已知单调递增数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 42．已知数列满足，，，数列是各项均为正数的等比数列，，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 题型九、等比数列的综合应用 43．已知公比为3的等比数列的前项和为，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 44．（多选）已知数列的前项和为，且满足，对任意的，都有恒成立，则（   ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 45．已知等比数列的前项和为，若对于任意，不等式恒成立，则m的最小值为______． 46．在①，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中．若问题中的存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 设等差数列的前项和为，是各项均为正数的等比数列，设前项和为，若________，________，且，．是否存在大于2的正整数，使得，，成等比数列？ （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） 47．已知等比数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和为； (3)若存在正整数n，使得成立，求m的取值范围. 1．（2026·河南焦作·一模）设数列是等比数列，数列是等比数列，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·安徽安庆·一模）A系列纸张是生活中最常用规格的纸，A系列纸张命名规则：①一张型号纸张沿着两条长边中点连线裁剪分开后得到两张型号纸张；②一张型号的纸张面积是1平方米；③所有型号的纸的长宽比相等．现从到，每种型号的纸各取一张，则所有纸张的周长之和为（   ）（单位：米） A． B． C． D． 3．（2026·广东中山·一模）（多选）数列是等比数列，公比，其前项和为，则（   ） A．当时，为递增数列 B．若，，则 C．若，，成等差数列，则，，成等差数列 D．若，，成等差数列，则，，成等差数列 4．（2025·26高二下·安徽·月考）已知等比数列的前项积为，若，则（    ） A．36 B．35 C．19 D．18 5．（2026·湖南·模拟预测）（多选）已知数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列为等差数列 C． D． 6．（2025·26高二上·湖南岳阳·期末）已知数列的前项和为，且，．若，则正整数的最小值为_________ 7．（2026·北京石景山·一模）已知为数列的前项和，记，且满足.给出下列四个结论： ①的第2项小于0； ②为等比数列； ③为递减数列； ④当时，存在. 其中所有正确结论的序号是__________. 8．（2025·26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若数列的前项和小于120，求的最大值． 9．（2026·贵州贵阳·模拟预测）设等比数列的前n项和为，首项为，公比为q. (1)请推导前n项和公式； (2)是否存在常数c，使得是等比数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由. 10．（2025·26高二下·河南驻马店·月考）设是数列的前n项和，已知，． (1)证明：是等比数列； (2)若，求数列的前n项和； (3)记，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等比数列及前n项和（9题型专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等比数列的基本运算（热点） 1 题型二、等比数列的判定与证明 3 题型三、等比中项 6 题型四、等比数列项的性质应用（热点） 7 题型五、等差数列与等比数列的综合应用 9 题型六、等比数列的实际应用 12 题型七、等比数列an与Sn求通项（重点） 14 题型八、错位相减（重点） 17 题型九、等比数列的综合应用（难点） 21 B 综合攻坚・能力跃升 25 题型一、等比数列的基本运算 1．已知公比为整数的等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的公比为，由得，所以. 当时，，解得或. 又是整数，所以； 当时，，解得，此时不是整数， 所以，A，B错误； ，所以C错误，D正确. 2．已知等比数列的首项为1，前项和为，若，则（    ） A．1或2 B．1或4 C．2或4 D．4 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为, 当公比时 等比数列前项和，因此，满足. 此时； 当公比时 等比数列前项和公式为，代入得： , 整理得，令，则,解得（对应舍去）或， 因此. 综上所述，或. 3．等比数列的前项和为，且，则公比（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】若，则，不合题意舍； 所以，则． 4．已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设的公比为， 因为所以 两式相除得，所以． 故选：A． 5．等比数列的前n项和为，若，，则________． 【答案】 【详解】设等比数列的公比为， 当时，由， 由，这与相矛盾，所以不成立， 当时，， . 题型二、等比数列的判定与证明 6．（多选）等比数列和函数满足：，，则以下数列也为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，由题意，，设，则，故A正确； 对于B，若，则 ,此时不是等比数列, 故B选项错误； 对于C，，，故C错误； 对于D，，，故D正确． 7．已知数列． (1)若是等差数列，求的通项公式； (2)设，证明：数列是等比数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意. 因为是等差数列，所以公差. 所以. 满足，符合题设条件， 所以的通项公式为. （2）因为， 所以， 由及可知，则，所以， 所以是等比数列. 8．已知数列满足，． (1)求证：数列是等比数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为 所以 , 则， 又. 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， （2）由（1）得， 所以． 9．已知数列满足. (1)设，证明是等比数列，并求的通项公式； (2)判断数列的单调性. 【答案】(1)证明见解析， (2)递增数列 【分析】 【详解】（1）由，得： ， 故，即， 又， 故是以为首项，为公比的等比数列，且. （2）由，解得 ， 即，故数列为递增数列. 10．已知数列满足：，. (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)若数列其前项和为，求. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】 【详解】（1）由已知可知，， 将两边同时除以， 整理可得，即， 所以有. 又，所以， 所以，为以为首项，为公比的等比数列， 所以，， 所以，. （2）由（1）知，为以为首项，为公比的等比数列. 所以，数列的前项和 . 所以，数列其前项和. 题型三、等比中项 11．已知，若成等比数列，则实数的乘积的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 所以，，，， 所以，故， 则. 12．已知正项等比数列的前项和为，若，则的公比为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】设正项等比数列的公比为， 因为，结合已知， 所以，化简得， 又，所以. 13．各项均为正数的等比数列中，，则（  ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】D 【详解】因为数列是各项均为正数的等比数列，，所以. 故选：D. 14．设是实数，若成等比数列，且成等差数列，则的值为________． 【答案】2 【详解】由成等比数列，成等差数列， 得即，即得< 故，即． 所以． 故答案为：. 15．已知公差为的等差数列满足，的等比中项为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可得，即， 整理得，由，则， 故； （2）， 则 . 题型四、等比数列项的性质应用 16．在等比数列中，，，则公比_____． 【答案】 【详解】，解得 当时，，，解得； 当时，，，无解； 综上所述，. 17．记正项等比数列的前项积为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为数列是正项等比数列，且， 所以，所以. 所以. 18．在正项等比数列中，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】在等比数列中，， 由，所以， 所以， 故选：A. 19．在等比数列中，，且，则______． 【答案】3 【详解】因为在等比数列中，，所以，解得， 设等比数列的公比为， 则数列是首项为，公比为的等比数列，其前7项和为 . 由等比数列的性质可知，所以. 故答案为：3 20．已知数列为等比数列，其中，是方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，，， 易知，， 由等比数列的性质可知，，得， 由偶数项符号相同可知． 题型五、等差数列与等比数列的综合应用 21．已知等差数列中，，其前项和为．等比数列中，．则满足的的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】等差数列的公差， 则， 等比数列的公比，即， 令，当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，的增长远快于，故无解； 故符合题意的的个数为. 22．已知一个等差数列，其前项和为，且，记，其前项积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，因为，即， 解得，所以，所以， 显然数列为等比数列，所以. 故选：C 23．无人机表演团队把飞在空中的无人机设计成在垂直于地面的同一平面内，已知10架无人机飞行的高度（单位：米）从低到高构成项数为10的数列，该数列的前4项成等比数列，后7项成等差数列，且，，，则______，数列所有项的和为______． 【答案】 144 1073 【详解】设前项构成的等比数列公比为，则，即，解得； 设后项构成的等差数列公差为，则分别是第一项和第六项，所以， 即，解得； 因为是等差数列的第四项，所以； 因为是等差数列与等比数列的公共项，现将其只看作等差数列的首项， 则数列所有项的和可看作前项等比数列与后项等差数列的和， 所以 【点睛】这道题的核心是分段数列的衔接处理：以公共项为桥梁，分别用等比数列通项公式求公比、等差数列通项公式求公差，再分段求和得到结果. 24．在等比数列中，，是与的等差中项． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）由题设，则，而， 令的公比为，则，可得， 所以是首项、公比为的等比数列，则； （2）由（1）， 所以 . 25．记为公差不为0的等差数列的前n项和，已知，为，的等比中项． (1)求的通项公式； (2)求满足的n的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为d，，所以， 因为为，的等比中项，所以， 即，化简可得， 联立解得，，故； （2）， 由，可得，即， 解得，故满足的n的最大值为. 26．已知等差数列前项和为，，. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)设数列，求证：是等比数列，并求出的前项和. 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得， 则，. （2）将代入得：， 又，， 所以为首项为，公比为的等比数列. 所以前项和. 27．已知数列和满足，，，，是等比数列，是等差数列． (1)求； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1），，，， ，，，， 是等比数列， 公比为， ，即 是等差数列， 公差为， ， 即 两式相加，得： （2） ． 题型六、等比数列的实际应用 28．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要（   ） A．6秒钟 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟 【答案】B 【详解】依题意．得， 又∵，，且为整数， ∴的最小值为7， 则细菌将病毒全部杀死至少需要7秒钟． 故选：B 29．某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以此类推都得剩下的一半多一万元，到第名恰好将资金分完，则需要拿出资金________万元． 【答案】 【详解】设全部资金和每次发放后资金的剩下额度组成一个数列，则为全部资金， 第一名领走资金后剩，则， 以此类推，，所以， 所以数列是一个等比数列，公比为，首项为， 所以，故． 所以第名领走资金后剩余为，故，即全部资金为万元． 故答案为：. 30．算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔九层，红光点点倍加增，共灯五百一十一”，其意大致为：有一栋九层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有盏灯，则该塔中间一层有（    ）盏灯. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由条件可知，每层的红灯数构成等比数列，设最上面一层的红灯数为，公比，， 则，得， 中间一层的红灯数为. 故选：C 31．小琴3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元，当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为_______元．（最后结果保留4位有效数字，参考数据：） 【答案】 【详解】设每期还款x元，按复利计算2000元贷款经过25期连本带息总共为元， 则，可得， 整理可得，所以每月还款金额为元． 32．为了加强城市环保建设，某市计划用若干年时间更换5000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型两种车型．今年年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车300辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．市政府根据人大代表的建议，要求5年内完成全部更换，则a的最小值为________． 【答案】182 【详解】依题意知，每年投入的电力型公交车数量组成首项为128，公比为的等比数列， 每年投入的混合动力型公交车数量组成首项为300，公差为a的等差数列， 则5年共投入的两类公交车共有. 所以，即，解得，因为， 所以的最小值为182． 故答案为：182. 题型七、等比数列an与Sn求通项 33．设数列满足，则的前2026项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，； 当时，；， 所以，即， 当时，不满足； 所以 所以的前项和为. 所以 34．（多选）已知数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题意，当时，，解得. 当时，， 所以，即， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，，故选项A错误，选项B正确； 所以，故选项C错误； ， 故选项D正确. 35．已知是数列的前n项和，且． (1)求的通项公式及前项和； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1), (2) 【分析】 【详解】（1）由， 当时，， 当时，可得， 两式相减得：，所以有，也符合上式， 所以，而，故是首项为2，公比4的等比数列， 故. （2）当时，有 当时，有， 所以有 . 36．已知数列的前项和为，满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由题可知，①， ②， ①-②得， 即. 当时，由①知， 所以是以为首项，以为公比的等比数列. （2）由（1）可知，，所以. 所以. 37．已知数列的前n项和是，且．求： (1)数列的通项公式； (2)数列落入区间内的所有项的和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，所以． 因为，所以， 两式相减，化简得，所以． 又因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以，则． （2）由题意，得，所以，所以，即． 因为落入区间内的所有项为，，，，，，，，， 所以其和 题型八、错位相减 38．已知公比大于1的等比数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，设等比数列的公比为， 则，两式相除得，解得或（舍去）， 则，即. （2）由，得， 所以， 两式相减得， 则. 39．已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2). 【分析】 【详解】（1）由题意得：. 当时，， 因为，不满足上式，所以 （2）由（1）可得 所以当时，，① ，② ①②，得， 所以可得：， 当时，也满足上式，即. 40．已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）， 当时，，即，① 当时，， ， 是等比数列，∴公比② 将②代入①得：， 是以2为首项，3为公比的等比数列， . （2）依题意，， ， ③. 将③得 ④. 由③-④得 ， ， ， . 41．已知单调递增数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1），即， 当时，，解得， 当时，， 即， 又数列单调递增，所以，即， 则，，时也符合， 所以. （2）， ， ， , 解得. 42．已知数列满足，，，数列是各项均为正数的等比数列，，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】 【详解】（1）， 又，，故， 故为等差数列，首项为2，公差为2， 所以； 设的公比为，则， 又，故，解得， 又，所以； （2）， 设数列的前项和为， 则①， ②， 则①-②得 ， 故 题型九、等比数列的综合应用 43．已知公比为3的等比数列的前项和为，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知，.由可得， 由基本不等式可知， 当且仅当，即时，等号成立，所以. 故选：C. 44．（多选）已知数列的前项和为，且满足，对任意的，都有恒成立，则（   ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BD 【详解】由 ， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，因此选项A不正确； ，所以选项B正确； ， ， 当为正奇数时，， 此时数列为单调递减，有 当为正偶数时，， 此时数列为单调递增，有， 设， 当为正偶数时，是递增数列，且， 所以，且， 此时； 当为正奇数时，是递增数列，且， 所以，且， 此时， 综上所述：的最大值为，的最小值为，所以选项C不正确，选项D正确. 故选：BD 45．已知等比数列的前项和为，若对于任意，不等式恒成立，则m的最小值为______． 【答案】 【详解】设数列的公比为，由题意知， 由，解得， 所以，因为， 当且仅当，即时等号成立， 因为对于任意，不等式恒成立， 所以，解得，所以m的最小值为， 故答案为： 46．在①，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中．若问题中的存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 设等差数列的前项和为，是各项均为正数的等比数列，设前项和为，若________，________，且，．是否存在大于2的正整数，使得，，成等比数列？ （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） 【答案】答案见解析 【详解】设的公差为，的公比为， 由题意知，所以， 整理得，因为，所以，所以． （1）当选取的条件为①②时，有，所以， 解得．所以． 所以，，， 若，，成等比数列，则， 所以，解得， 因为为正整数，所以不符合题意，此时不存在． （2）当选取的条件为①③时，有，所以， 解得．所以，． 所以，，，若，，成等比数列，则， 所以，解得或（舍去） 此时存在正整数满足题意． （3）当选取的条件为②③时，有，所以， 解得．所以，． 所以，，， 若，，成等比数列，则，即， 所以，解得， 因为为正整数，所以不符合题意，此时不存在． 47．已知等比数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和为； (3)若存在正整数n，使得成立，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）设等比数列的公比为,由题意得,,代入可得公比, 又,解得，所以的通项公式为; （2）,则, 利用错位相减法，可得, 两式相减可得, 化简可得数列的前n项和为； （3）等比数列的前n项和为，存在正整数n，使得成立， 当为偶数时，,由，得, 因为当为偶数时，单调递增，所以的最小值为， 而当为偶数时，单调递减，所以的最大值为，所以; 同理当为奇数时，,由，得, 因为当为奇数时，单调递减，所以的最大值为， 而当为奇数时，单调递增，所以的最小值为，所以， 综上，若存在正整数n，使得成立，则的取值范围为上述两种情况的并集， 故实数m的取值范围为. 1．（2026·河南焦作·一模）设数列是等比数列，数列是等比数列，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】令等比数列的公比为，则， 因此，数列是等比数列，即； 令，，，即数列是等比数列， 令，则，显然，数列不是等比数列， 所以是的充分不必要条件. 2．（2026·安徽安庆·一模）A系列纸张是生活中最常用规格的纸，A系列纸张命名规则：①一张型号纸张沿着两条长边中点连线裁剪分开后得到两张型号纸张；②一张型号的纸张面积是1平方米；③所有型号的纸的长宽比相等．现从到，每种型号的纸各取一张，则所有纸张的周长之和为（   ）（单位：米） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设纸的宽和长分别为， 则，. 因为，又，所以，解得 又，所以，. 根据题意，，，又，即， 所以，则， 所以是首项为，公比为的等比数列，通项公式为， 同理，，是首项为，公比为的等比数列. 因此，， 故所有纸张的周长之和为. 3．（2026·广东中山·一模）（多选）数列是等比数列，公比，其前项和为，则（   ） A．当时，为递增数列 B．若，，则 C．若，，成等差数列，则，，成等差数列 D．若，，成等差数列，则，，成等差数列 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，时，为递减数列，故A错误； 对于B，若，，，，成等比数列， 则，故B正确； 对于C，若，，成等差数列，则，即， 即，即，即， 所以，，成等差数列，故C正确； 对于D，，，成等差数列，所以， 即，所以， 即，即， 所以，所以，，成等差数列，故D正确. 4．（2025·26高二下·安徽·月考）已知等比数列的前项积为，若，则（    ） A．36 B．35 C．19 D．18 【答案】A 【详解】因为，可得，且 又因为，可得， 由等比数列的性质，可得， 因为等比数列的前项积为， 可得， ， 所以满足的正整数的值为. 5．（2026·湖南·模拟预测）（多选）已知数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列为等差数列 C． D． 【答案】BC 【详解】对于A：因为，当时，， 所以，则得， 又当时，，由，得，则，，故A错误； 对于B：因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 因此数列是首项为，公差为的等差数列，B正确； 对于C：， 当为奇数时，，因是递减数列，则； 当为偶数时，，因是递增数列，则， 所以，C正确； 对于D：因为在上单调递增，而， 则，D错误． 6．（2025·26高二上·湖南岳阳·期末）已知数列的前项和为，且，．若，则正整数的最小值为_________ 【答案】13 【详解】当时，，解得. 当时，由， 两式相减得：，整理得. 所以是首项为，公比为的等比数列. 因为， 所以，即， 若为偶数，，不等式不成立， 所以必为奇数，此时，即， 因为，，且是奇数， 所以的最小值为. 7．（2026·北京石景山·一模）已知为数列的前项和，记，且满足.给出下列四个结论： ①的第2项小于0； ②为等比数列； ③为递减数列； ④当时，存在. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①④ 【详解】由，可得， 当时，， 所以，故， 当时，， 代入可得 所以是首项为，公差为的等差数列，得， 由，可得， 对，也满足上式， 当时，， 当时，， 对于①，，①正确， 对于②，，，不是等比数列，②错误， 对于③，对，， 所以当时，数列单调递增，③错误； 对于④：当时，，满足， 所以存在整数，满足关系，④正确. 8．（2025·26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若数列的前项和小于120，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由题可知，且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 所以，即，所以 （2）由（1）知，，则， 则， 令，整理得， 因为函数在上单调递增，在上单调递减 所以函数在上单调递增 所以易得在上单调递增. 且， 所以，的最大值为． 9．（2026·贵州贵阳·模拟预测）设等比数列的前n项和为，首项为，公比为q. (1)请推导前n项和公式； (2)是否存在常数c，使得是等比数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 当时，不存在常数.当时，存在， 【详解】（1）当时，，此时. 当时，，即.① 用公比q乘①的两边，得.② ，得，即，所以. 综上， （2）当时，.显然不存在常数c，使得是等比数列. 当时，. 令，则，所以. 因为，所以是等比数列. 综上，当时，不存在常数. 当时，存在常数，使得是等比数列. 10．（2025·26高二下·河南驻马店·月考）设是数列的前n项和，已知，． (1)证明：是等比数列； (2)若，求数列的前n项和； (3)记，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）已知， 当时，， 两式相减得： ， 整理得： ，， 当时，， ，满足， 又， 因此是首项为1，公比为2的等比数列，得证； （2）由(1)得， 因此： ， 设前项和为， 则， ， 两式相减得：， 即， 又数列前项和为， 因此； （3）由得：，因此， 化简不等式左边： ，， 因此， 不等式恒成立， 等价于对任意恒成立， 设 则 ， 当，， 即时，； 当时，， 因此的最大值为​，故， 即的取值范围为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $