第八章 向量的数量积与三角恒等变换（知识清单+7大易错点）数学人教B版必修第三册

第八章 向量的数量积与三角恒等变换 知识点 具体内容 数 量 积 的 概 念 及 运 算 律 一、数量积基础概念 1.向量的夹角 （1）定义：取平面内任意点，作，，则（）为与的夹角 （2）特殊情况：当时，与_________；当时，与_________；时（向量_________） 2.向量的数量积（内积） （1）定义：非零向量、夹角为，则为数量积，结果为_________ （2）特殊规定：零向量与任一向量的数量积为_________（3）物理背景：力使物体产生位移，力做的功_________（为与的夹角） 3.投影向量 （1）定义：将非零向量向投影，得到的与_________的向量为在上的投影向量 （2）关联：数量积等于与在方向上投影向量的模的_________，也等于与在方向上投影向量的模的_________ 二、性质与运算律 1.性质（、为非零向量，为单位向量，为与夹角） （1）； （2）_________； （3）当与同向时，_________；当与反向时，_________； 特别地，_________或； （4）夹角公式：_________； （5）模长不等关系： 2.基本运算律 （1）交换律：； （2）数乘结合律：(λ为实数)； （3）分配律：_________； 3.夹角特殊判定 （1）夹角为_________且、不共线（2）夹角为_________且、不共线 三、数量积求解方法 1.定义法 已知及夹角，直接用；关键：两向量始点重合，否则平移调整 2.运算律转化法 利用运算律推导公式转化求解，常用：； ； 3.线性运算转化法 针对平面图形中的数量积，结合向量线性运算，将未知向量转化为模长、夹角已知的向量后再计算 数 量 积 的 坐 标 运 算 一、数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: 二、模与夹角的坐标表示 （1）向量的模:设,则 （2）两点间的距离公式:若,则 （3）向量的夹角公式:设两非零向量,与的夹角为θ,则 两 角 和 差 的 余 弦 、 正 弦 、 正 切 一、两角和与差的余弦公式 1．两角和的余弦公式：:_________ 2．两角差的余弦公式：:_________ 3．使用注意事项： （1）公式中，都是任意的，既可以是一个角，也可以是几个角的组合； （2）需掌握公式的逆用，如_________ 二、两角和与差的正弦公式 1．两角和的正弦公式：:_________ 2．两角差的正弦公式：:_________ 3．使用注意事项： （1）公式中的，都是任意角； （2）注意公式的逆向运用：如_________ 三、两角和与差的正切公式 1．两角和的正切公式：:_________ 2．两角差的正切公式：:_________ 3．使用注意事项： （1）公式的适用前提是均有意义； （2）公式的变形：； 倍 角 公 式 及 三 角 恒 等 变 换 一、二倍角公式及其应用 1．二倍角的正弦（）：_________；变形 2．二倍角的余弦（）：_________=_________ 3．二倍角的正切（）：_________ 4．升（降）幂缩（扩）角公式 利用余弦的二倍角公式变形可得： 升幂公式：_________， _________ 降幂公式：_________， _________ 二、辅助角公式 辅助角公式推导：对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为_________，故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由_________确定， 或由和共同确定． 三、半角公式 ＝_________，＝_________， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 四、积化和差公式与和差化积公式 1、积化和差公式 ； ； 2、和差化积公式 ； ； 3、万能公式 ； ； 易错01向量夹角未共起点，直接计算导致错误 注意：题目给出的两个向量没有公共起点，不可直接用图中角度当作夹角。先把两个向量平移至同一起点，再确定夹角；夹角范围固定为；若题目给出的是三角形内角，要判断是向量夹角还是其补角。 1．在中，，是边上的中线，且，，则（   ） A． B．20 C． D．10 2．已知是边长为4的等边三角形，点，满足，，则（   ） A． B．0 C．3 D．6 3．在中，，点在线段上，点在线段上，且满足，.记，，用和表示______；若，，则______. 4．如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长到点，使得，则______. 5．在等腰梯形中，已知，，，.动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 易错02锐角、钝角判定缺少“不共线”条件 注意：锐角必须满足且与不共线；钝角必须满足且与不共线；共线时夹角为或，不是锐角或钝角。 6．已知向量， ，则“”是“与夹角为锐角”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．设向量、满足，，且、的夹角为60°，若向量与向量的夹角为钝角，则实数t的取值范围是________． 9．已知，、为互相垂直的单位向量，向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为___________． 10．已知向量，，且与的夹角为． (1)求； (2)若与的夹角为钝角，求实数取值的集合． 易错03坐标运算：垂直、数量积、平行公式混淆 注意：公式混淆，垂直记成，数量积记成坐标相减，平行记成和为0。需牢记数量积；垂直充要条件；平行充要条件，做题前先在草稿上标注。 11．已知向量，，.若，，三点共线，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 12．已知向量，，若，则（   ） A．2 B． C．4 D． 13．已知向量，，.若，，三点共线，则____________. 14．已知向量． (1)求； (2)若，求实数的值． 15．已知向量，，． (1)求的坐标； (2)若，求实数的值． 易错04模长计算漏开方或漏平方 注意：需牢记模长公式；涉及模长先平方再运算，即，最后记得开方还原。 16．已知平面向量，，若方向相反，则_____. 17．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．已知，且则 （    ） A．34 B． C．4 D．16 19．已知向量满足，且与的夹角为，则_________. 20．若平面向量两两的夹角相等，且，则（   ） A．3 B．4 C．3或0 D．4或1 21．已知与，要使最小，则实数的值为____________，的最小值为____________． 易错05和差公式符号记反、正弦余弦混用 注意：牢记口诀正弦同号，余弦异号；，；多做逆用训练，看到同名异角优先用和差公式。 22．（ ） A． B． C． D． 23．化简求值：______ 24．的值为（   ） A． B． C． D． 25．在中，，，则（   ） A． B． C．或 D． 26．已知锐角满足，则的值为______． 易错06辅助角公式系数、角度、符号错误 注意：用辅助角出现的错误：不提公系数，或辅助角求反、符号写错。需统一步骤：①提取；②构造；③化为，最后检验符号与象限。 27．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 28．设，若，则（   ） A． B． C． D． 29．（多选）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 30．（多选）若“”是“”的充分不必要条件，则的值可以是（    ） A．0 B．1 C． D．2 31．若函数，则的最大值为______. 易错07多角变换不会拆角 注意：遇到、、等多角关系，不会用“已知角表示未知角”。故需固定思路：用已知角拼凑目标角，如，；拼凑后再用和差、倍角公式展开，不盲目计算。 32．已知，则（   ） A． B． C． D． 33．若，，并且、均为锐角且，则的值为（    ） A． B． C． D． 34．若，则（　　） A． B． C． D． 35．已知，则的值为______. 36．已知，则__________. 37．已知为第一象限角，，，则_____. 1．已知向量，，，则实数的值为________ 2．已知平面向量，若，则（   ） A． B．0 C．0或 D．0或 3．已知，则（    ） A． B． C． D．或 4．函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 7．若时，取得最大值，则______． 8．已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．在平行四边形中，分别是线段的中点.记，，用和表示__________.；若延长交于点，则平行四边形面积的最大值为__________. 10．已知向量，． (1)若，求x； (2)若在方向上的投影向量为，且与的夹角是锐角，求实数λ的取值范围． 1/6 学科网（北京）股份有限公司 $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 思维导图 向量夹角：共起点，范围[O,T] 核心概念 数量积：结果为实数，零向量数量积为0 投影向是：向显在另一向显上的投影 垂直判定：数量积为O 模长：用数量积开方计算 性质与运算 数量积 运算律：交换律、数乘结合律、分配律 锐角/钝角：数量积正负+不共线 数显积：坐标对应相乘再相加 坐标运算 垂直：对应坐标乘积和为0 数量积及 模长与夹角：坐标公式直接计算 三角恒等变换 和差公式 正弦、余弦、正切的和与差公式 正弦、余弦、正切二倍角 二倍角公式 余弦二倍角可用于升降幂 三角恒等变换 降幕公式：余弦二倍角变形 常用变形 辅助角公式：合一变形 半角公式 其他公式 积化和差、和差化积 知识清单 知识点 具体内容 数 “、 数量积基础概念 量 1.向量的夹角 积 (1)定义：取平面内任意点0，作OA=a,OB=i,则LA0B=0(0≤0≤π)为a与 的 的夹角 概 念 (2)特殊情况：当日=0时，a与洞血，当日=π时，a泸返血；0=时日16（向 及 量垂直) 算 1/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 律 BA b 2.向量的数量积（内积） (1)定义：非零向量云、五陕角为6，则ā-i=a cos0为数量积，结果为实数 (2)特殊规定：零向量与任一向量的数量积为0 (3)物理背景：力F使物体产生位移5，力做的功m=下g=Fc0s0(日为示与5 的夹角) 3.投影向量 (1)定义：将非零向量云向投影，得到的与共线的向量为云在五上的投影向量 (2)关联：数量积a乃等于日与b在a方向上投影向量的模的乘积，也等于6与云在五方 向上投影向量的模的乘积 B a A M a 6 CA B,D 0 b M,N (1) (2) 二、性质与运算律 1.性质（云为非零向量，e为单位向量，日为a与夹角） (1)a-e=ea-acos0; (2)a1i÷a.b=0: (3)当a与方同向时，a6=;当ā与方反向时，a五=-： 特别地， aa= -2 ab (4)夹角公式：c0s0= (5) 模长不等关系： sa 2.基本运算律 (1)交换律： a.b=b.a: (2)数乘结合律：（2d万=入(a-b)=a2b)a为实数)： 2/27 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)分配律： a+b.c=a.c+b.c: 3.夹角特殊判定 (1)夹角为锐角且云、五不共线(2)夹角为钝角且云、b不共线 三、数量积求解方法 1.定义法 已知d小、6及夹角日，直接用a-方=acos0;关健：两向量始点重合，否则平移调整 2.运算律转化法 利用运算律推导公式转化求解，常用：(a+万(a-)=a-, (a+=+2a.6+,(a-=-2a.b+6 3.线性运算转化法 针对平面图形中的数量积，结合向量线性运算，将未知向量转化为模长、夹角己知的向量 后再计算 一、 数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量a=(x,y),b=(x2,y2), 数 (1)数量积：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即ā·b=xx2+y2 量 (2)向量垂直：a1方台a-b=xx2+yy2=0 积 的 二、模与夹角的坐标表示 坐 1)向量的模设a=(x,),则1aFVa:a=V+户 标 运 (2)两点间的距离公式若A(x,),B(x,2)则|AB=Vx-x2)2+(y-2) 算 (3)向量的夹角公式：设两非零向量a=(x,y),b=(x2,y2),a与b的夹角为0，则cos0= ab xx2+出y2 V+V好+明 两 、 两角和与差的余弦公式 角 1. 两角和的余弦公式：Ca+B:cos(a+B)=cos a cos B--sin a sin B 和 2. 两角差的余弦公式：Ca-B):cos(a-B)=cos a cos B+sin asin B 的 3. 使用注意事项： 余 弦 (1)公式中，B都是任意的，既可以是一个角，也可以是几个角的组合： 3/27 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)需掌握公式的逆用，如cos(a+B)cosB+sin(a+B)sinB=cos[(a+β)-β] 正 弦 cosa 、 二、 两角和与差的正弦公式 正 1. 两角和的正弦公式：Sa+B:sin(a+B)=sin a cosB+cosa sin B 切 2. 两角差的正弦公式：Sa-:sin(a-B)=sin a cosB-cosa sin B 3. 使用注意事项： (1)公式中的，B都是任意角： (2)注意公式的逆向运用：如sin(a+β)cos阝-cos(a+B)sinB=sin[(a+B)-B] sina 三、两角和与差的正切公式 1. tana+tanB 两角和的正切公式：Ta+B):tan(a+B)=一tan&tan tana-tanβ 2. 两角差的正切公式：Ta-B:tan(a-B)=+tanc tan币 3.使用注意事项： (1)T.±B公式的适用前提是tana±B)、tana、tanB均有意义； (2)T.±B公式的变形： tana+tan B tan(+B)(1-tana tan B),tana-tan B=tan(a-B)(1+tan a tan B): 一、二倍角公式及其应用 倍 1.二倍角的正弦(S2a):sin2a=2 sin a cos a;变形sina cosa=5sin2a 角 2.二倍角的余弦(C2a）:cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 式 3.二倍角的正切（工a)：tan2a=二tan2a 2 tan a 及 4.升（降）幂缩（扩）角公式 三 角 利用余弦的二倍角公式变形可得： 恒 升幂公式：1+c0s2a=2cos2a,1-c0s2a=2sin2a 等 1+cos2a 降幂公式：cos2a= 1-cos2a 变 2 sin2a= 2 换 二、辅助角公式 辅助角公式推导：对于形如asinx+bcosx的式子，可变形如下： 4/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 asinx+bcosx-va2+b2 0 b sinx.- a+b ,+C0Sx· va2+b2 a b 由于上式中 va+b 和 Va2+b2 的平方和为1，故令 a 6 Va'+ =sin = Va2+b2' asinx+bcosx=a2+b2(sinxcoso+cosxsin)=a2+b2 sin(x+) 其中9角所在象限由a,b的符号确定，p角的值由anp=b确定， a b a 或由sinp= =和C0S0=- 共同确定. Va2+b2 a2+b2 三、半角公式 sn2=± 1-cosa a 1+cosa cos 2 2 2 tan a 1-cosa sina 1-cosa 2 \1+cosa 1+cosa sina 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的. a sina 1-cosa Sin a 2sin2 1-cosa tan tan -= 2 2 1+cosa sina 2 cos 2sin sina 2 52 以上两个公式称作半角正切的有理式表示. 四、积化和差公式与和差化积公式 1、积化和差公式 sinacosBsin(a-B)+sin(+cosa sin B-[sin(+B)-sin(aB) casaoB=oNa-B+oNa+B:snasmB=tose-g)-eoasa+p1 2、和差化积公式 sina+sin B=2sincos 2 2:sina-sin B=2cossin-B 2 2 a-B cosa+cos B =2cosPcos:cosa-cosB =-2sin sinB -cos- 2 2 2 3、万能公式 5/27 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2tan 2 1-tan2 2tan 2 sina coSa= tana = 1+tan2 2 1+tan2 1-tan2 2 易错总结 易错01向量夹角未共起点，直接计算导致错误 注意：题目给出的两个向量没有公共起点，不可直接用图中角度当作夹角。先把两个向量平移至同一起点，再确 定夹角：夹角范围固定为日∈[0，下]：若题目给出的是三角形纳角，要判断是向量夹角还是其补角。 1.在ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，且BC=8,AD=6,则AB.CA=() A.-20 B.20 C.-10 D.10 【答案】A 【详解】由向量的运算法则，可得AB=AD+DB,CA=CD+DA=-DC-AD, AB.CA=(AD+DB-DC-AD)=-AD.DC-AD.AD-DB.DC-DB.AD. 因为在ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，所以AD⊥BC, 可得AD.DC=0,DB.AD=0,则AB.CA=-AD.AD-DB·DC 又因为DB和DC大小相等，且方向相反，且BC=8, 所以DB.DC=-DBDC=-4×4=-16 因为AD=6,可得AD.AD=AD=62=36, 所以AB.CA=-36-(-16)=-20 2.己知ABC是边长为4的等边三角形，点D,E满足AD=DC，BE=3EC,则DE.DB=() A.-3 B.0 C.3 D.6 【答案】C 【详解】解析：如图，作AH⊥BC,垂足为H, 6/27 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :△ABC是边长为4的等边三角形，：H是BC的中点，.AH=2√5， AD=DC,:D是AC的中点， DE/IAH,DE=√3，DE⊥BC,.DE.EB=O :DE.DB=DE.(DE+EB=DE'+DE.EB=DE=3. 故选：C B H E 3.在ABC中，4=子，点D在线段B上，点E在线段CD上，且满足BD=24D,2CE:3BD记a, AC=b,用云和五表示AE=;若AB=3，AC=4,则AE.BC= 【答案】 1a+26 17 5 5 5 【详解】由题设， 正-c+E-c+0-c+a+而号C+而-号C+丽-号c+5丽-+号， 531 51 所以6-写0+3 5 BC=AC-AB=b-a, a.b=3×4×5=6, 2 E.c-ga+号j6-a=a+26-a-a6-a+26）6-9+2x1-号 C E B 4.如图，等边ABC的边长为1，点D,E分别为AB,BC的中点，连接并延长DE到点F,使得DE=2EF, 则AF.BC= 7/27 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 【答案】/0.125 【详解】因为点D,E分别是边AB,BC的中点，所以D正=】AC, 因为DE=2EF,所以DF=3DE=3AC, 2 所以AF=AD+DF=}AB+3AC 4 因为BC=AC-AB,∠BAC=60°，AC=AB=1, 所以4F.Bc-（}46+}4c4c-A 41 4 D B 故答案为： 1 5.在等腰梯形ABCD中，已知AB/1DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°动点E和F分别在线段BC和DC 上，且BE=九BC,DF=DC,则EF的最小值为() 9λ A. 29 9 B. 9 C.29 D.19 18 18 【答案】C 【详解】在等腰梯形ABCD中，已知AB/DC,AB=2,BC=1,且∠ABC=60°， 所以AD=BC=1,CD=2-2×1×cos60°=1，∠DAB=60°，∠ADC=∠BCD=120, 因为BE=元BC,DF=DC,由题意知0<1≤1， 92 8/27 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 则花=B+E=B+BC,F=D+D下=AD+DC, 92 所以AE·AF=AB+元BC: 而+员cB0+员丽c+c.0+c-C 9 =2×1×cos60°+ -×2×1×cos0°+2×1×1×cos60°+-×1×1×cos120 91 9 =1+2+2-≥”+22x29 9λ21818V9元218 当且仅当2=2 g或2，即入=号时等号成立，所以征F的最小值为29 18 易错02锐角、钝角判定缺少“不共线”条件 注意：锐角必须满足6>0且与不共线：钝角必须满足：b<0且与不共线：共线时夹角为0或，不 是锐角或钝角。 6.已知向量a=(x-2,1),b=L,2),则“x>0”是“a与五夹角为锐角”的()· A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条 件 【答案】B 【详解】因为向量a=(x-2,1),，b=1,2), a.b=x>0 若ā与五夹角为锐角，等价于 2(x-2)≠1 解得x>0且x≠ 是集合(0，+0)的真子集， 所以“x>0”是“a与五夹角为锐角的必要不充分条件 故选：B 7.已知向量a=(2,3x),b=(-4,-6),若a与的夹角为钝角，则x的取值范围是() B.(0,+0) C.(1,+o) 【答案】D 【详解】a.万=2×-4)+3x×-6)=-8-18x,ld=V9r2+4,=2 9/27 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由题意知，cos(a,b)<0且a与b不反向共线， 当cos(a,)<0时，即cos(a,6) -8-18x V9x2+4213 <0,整理得8+18x>0,解得x>-4 2=-42 当a与b反向共线时，令a=b,即 3x=-6'解得x=1 综上，的取值范围是（专]小1，+ 8.设向量a、乃满足|d=1,=2,且a、 的夹角为60°，若向量ā-26与向量a+b的夹角为钝角，则 实数t的取值范围是 【答 1--- 【详解】向量a、乃满足=1，=2，且a、的夹角为60°， 故a-6=la,5cos60°=1x2×=1 2 因为向量ā-2b与向量a+b的夹角为钝角， 所以（ā-26）a+b)<0且向量ā-26与向量a+6不共线（反向）， 所以t-2t+1-2×22<0且1×1≠-2×1， 解之得：1>-7且1≠2 放实载的取值范国为对[7，》（行+ 9.已知，元、广为互相垂直的单位向量，向量a=i+2j与b=2i+k(k∈R)的夹角为锐角，则实数k的取值 范围为 【答案】(-1,4)U4,+o0) 【详解】因为元、为互相垂直的单位向量，则7=子=1，i行=0， 因为向量a=i+2j与b=2i+kj(k∈R)的夹角为锐角， 则ā-6=(+2j升2i+kj=2+(k+4)ij+2k子=2+2k>0,解得k>-1, 且a与五不共线， 当a与乙洪线时，设6=ma,则2i+k行=m(+2),所以从-2m,解得k=4, m=2 故当a与b不共线，k4, 10/27