专题03 向量的数量积（10题型专项训练）数学人教B版必修第三册

专题03 向量的数量积（10题型专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、向量的数量积 1 题型二、求向量的模长 3 题型三、利用数量积求向量的夹角 5 题型四、根据两个向量夹角成锐角或钝角求参数 8 题型五、向量的投影向量 11 题型六、利用向量数量积解决垂直问题 12 题型七、利用数量积解决几何问题 14 题型八、向量数量积的最值与范围问题 17 题型九、四心问题 22 题型十、平面向量新定义问题 24 B 综合攻坚·能力跃升 29 题型一、向量的数量积 1．已知向量，满足与的夹角为，则等于（   ） A． B． C．1 D．3 2．在平行四边形中，，，则（   ） A．1 B．4 C．6 D．11 3．已知是函数的图象上的任意一点，过分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则（    ） A． B． C．0 D． 4．窗花是中国古老的传统民间艺术之一，如图1是一个正八边形窗花，正八边形边长为2，图2是该窗花的几何示意图形，则（    ） A． B． C． D． 5．在中，，是边上的中线，且，，则（   ） A． B．20 C． D．10 6．已知等边三角形的边长为2，点满足，则=___________． 题型二、求向量的模长 7．若单位向量，满足，则（   ） A．2 B． C． D．1 8．已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 9．平面向量是两两夹角相等的单位向量，则（ ） A．3 B．2 C．0 D．0或3 10．（多选）已知向量，，，其中，，，且，则（   ） A． B． C． D．与共线 11．如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若，记的斜坐标.则向量，的斜坐标分别为，，则_____. 12．已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数的值； (2)已知，求的最小值. 题型三、利用数量积求向量的夹角 13．已知向量，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 14．帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示（风速的大小和向量的大小相同，单位），则真风风速对应的向量与视风风速对应的向量的夹角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 15．已知平面向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 16．已知均为单位向量，且，则与的夹角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．在中，已知，，，边上的两条中线相交于点，则______． 18．已知点，O为坐标原点，为轴上一动点. (1)，求点的坐标； (2)当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值. 题型四、根据两个向量夹角成锐角或钝角求参数 19．在中，向量，，若为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 20．已知向量、满足，，且与的夹角为．设为实数，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．已知向量是两个单位向量，则“”是“为锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．设，，，若与的夹角为钝角，则m的取值范围是______． 23．已知，，其中，是夹角为的单位向量． (1)当，求与夹角的余弦值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 题型五、向量的投影向量 24．已知平面向量．若，求向量在向量上的投影向量为（     ）． A． B． C． D． 25．已知是两个单位向量，且向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 26．记平面向量，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 27．已知单位向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 28．已知三个平面向量，，两两的夹角相等，且满足，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C．或 D．或 题型六、利用向量数量积解决垂直问题 29．已知单位向量，的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 30．（多选）已知向量，若与垂直，则（   ） A．1 B． C． D．2 31．已知两个单位向量，互相垂直，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．9 32．已知向量，满足，，，则__________. 33．已知向量，，非零向量（其中，）. (1)当，时，是否存在实数，使得成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由. (2)当时，求的最小值. 题型七、利用数量积解决几何问题 34．在四边形中，，，，若四边形的面积为，则_____. 35．在平行四边形中，点是对角线上任意一点（点与不重合），且，则四边形的面积为（   ）    A． B．2 C． D． 36．在中，记、，向量、满足，，，则此三角形AOB的面积是（   ） A． B． C． D． 37．已知为三角形内一点，且满足和，则角为（    ） A． B． C． D． 38．已知四边形中，为中点，为与的交点，. (1)求的值； (2)若，求. 题型八、向量数量积的最值与范围问题 39．已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．－2 40．已知等边三角形的边长是，是三角形所在平面内的动点，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 41．已知等边的边长为2，点是平面内任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 42．如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是________. 43．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点，其中点M在线段OB上且满足，则______，若点是线段AB上的动点，则的最大值为______. 44．已知平面四边形，，，，，则______；动点E，F分别在线段，上，且，，则的取值范围为______． 题型九、四心问题 45．已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 46．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 47．（多选）著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且，，以下结论正确的是（ ） A． B． C．若，则 D． 48．的重心为，外心为，且，则___________． 题型十、平面向量新定义问题 49．定义平面非零向量之间的一种运算“*”，记（其中是非零向量，的夹角），若，均为单位向量，且，则______. 50．设不共线的的夹角为，定义运算．其中正确命题的个数为（   ） ①；②；③若，则；④若平面向量，，平面内动点满足，则动点的轨迹过的内心． A．0 B．1 C．2 D．3 51．定义平面向量之间的一种运算＂＂如下：对任意的，令.下面说法中正确的个数是（    ）. ①若与共线，则② ③④对任意的，有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 52．给出定义：对于向量，若函数，则称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．已知，，函数的伴随向量为，点为函数的图象上一点，满足，则点的坐标为______． 53．如图，建立如下斜坐标系：设，是平面内相交成 角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作，则在斜坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为，则线段的长度为 B．点满足，则的轨迹与轴，轴正半轴围成的区域面积小于 C．点满足，则的最大值为 D．定义点与（多选）点坐标距离为，平面上一点，若动点（，）满足：①；②，则点运动所形成的轨迹长为2 1．（2025·26高三上·福建·期中）设向量，若，则负数（    ） A． B． C． D． 2．（2025·26高三上·河北·期中）某智能物流车的“实际配送向量”“规划路线向量”“交通拥堵修正向量”满足关系式：.已知条件如下：实际配送向量，交通拥堵修正向量与向量垂直，.配送效率等级通过“规划路线向量的模（单位：）”判定，标准如下表（一般情况下，认定“停滞”属于无效配送）： 配送效率等级 超高效 高效 常规 低效 停滞 模的范围 若此次配送为有效配送，则此次配送的效率等级为（    ） A．超高效 B．高效 C．常规 D．低效 3．（2025·26高三上·福建泉州·期中）如图，在正八边形中，点为正八边形的中心，点分别是边的中点，且，点是正八边形内一个动点（含边界），已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·26高三上·河北·月考）为等边三角形所在平面内的一点，向量，且，.设向量与的夹角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·26高二上·辽宁·开学考试）（多选）已知向量，则下列结论正确的是（ ） A． B．的单位向量为 C．若，则实数的值为 D．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 6．（2025·26高三上·山西运城·期末）（多选）如图，在中，，BM交CN于点E，且，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 7．（2025高一·全国·专题练习）（多选）定义平面向量的一种新运算“”如下：对任意的向量，，规定，则对于任意的向量，下列说法中正确的是（    ）． A． B． C． D． 8．（2025·26高一上·河北保定·期中）（多选）在中，是的中点，是线段上的点，过作一直线分别与交于点，设，其中，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是等边三角形 C．若，则 D．若，则的最小值为 9．（2025·26高三上·河北衡水·期中）如图，在中，且点满足，，则___________．    10．（2025·26高三上·上海松江·期中）已知且，若向量满足，则的最大值是__________. 11．（2025·上海金山·一模）已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为___________． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 向量的数量积（10题型专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、向量的数量积 1 题型二、求向量的模长 3 题型三、利用数量积求向量的夹角 5 题型四、根据两个向量夹角成锐角或钝角求参数 8 题型五、向量的投影向量 11 题型六、利用向量数量积解决垂直问题 12 题型七、利用数量积解决几何问题 14 题型八、向量数量积的最值与范围问题 17 题型九、四心问题 22 题型十、平面向量新定义问题 24 B 综合攻坚·能力跃升 29 题型一、向量的数量积 1．已知向量，满足与的夹角为，则等于（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】，，， 所以. 2．在平行四边形中，，，则（   ） A．1 B．4 C．6 D．11 【答案】C 【详解】，，则在平行四边形中，， . 3．已知是函数的图象上的任意一点，过分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【详解】设，，由， 即，解得， 所以， 则， 所以． 4．窗花是中国古老的传统民间艺术之一，如图1是一个正八边形窗花，正八边形边长为2，图2是该窗花的几何示意图形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵任意凸多边形的外角和都等于， ∴， ∵， ∴． 5．在中，，是边上的中线，且，，则（   ） A． B．20 C． D．10 【答案】A 【详解】由向量的运算法则，可得， 则， 因为在中，，是边上的中线，所以， 可得，则 又因为和大小相等，且方向相反，且， 所以 因为，可得， 所以. 6．已知等边三角形的边长为2，点满足，则=___________． 【答案】3 【详解】由可知为中点，所以 题型二、求向量的模长 7．若单位向量，满足，则（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【详解】由题意，， 因为，所以， 则，即， 所以. 8．已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为平面向量，， 若，则，解得， 即，，则， 所以. 9．平面向量是两两夹角相等的单位向量，则（ ） A．3 B．2 C．0 D．0或3 【答案】D 【详解】由平面向量是单位向量可得， 当它们的夹角为时，可知，所以； 当它们的夹角为时，即， 可知， 所以. 故选：D 10．（多选）已知向量，，，其中，，，且，则（   ） A． B． C． D．与共线 【答案】ACD 【详解】由题设，A对， 由，，， 所以，则，B错， 由上知且，，，，如下图， 显然三个向量构成一个直角三角形，且， 所以，D对， 由， 所以，C对. 故选：ACD 11．如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若，记的斜坐标.则向量，的斜坐标分别为，，则_____. 【答案】 【详解】由题设，，则， 所以. 故答案为： 12．已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数的值； (2)已知，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，， 又， 所以，即，解得. （2）因为， 所以， 所以当时，取最小值. 题型三、利用数量积求向量的夹角 13．已知向量，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，， 所以， 又因为， 所以. 14．帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示（风速的大小和向量的大小相同，单位），则真风风速对应的向量与视风风速对应的向量的夹角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意及图得，视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， 则． 故选：B. 15．已知平面向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，两边同时平方得， 整理得：，， 所以与的夹角为. 16．已知均为单位向量，且，则与的夹角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为均为单位向量，所以， 由，得， 则， 则，即， 则， 因为，所以. 则与的夹角的取值范围是. 故选：D. 17．在中，已知，，，边上的两条中线相交于点，则______． 【答案】/ 【详解】由是边上的两条中线， 则，， 则 . 18．已知点，O为坐标原点，为轴上一动点. (1)，求点的坐标； (2)当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1）根据题意，设点，又，得， 由，即，解得或， 的坐标为或； （2）由（1）可得：， 当时，取得最小值，此时，， 设与夹角为，则此时. 题型四、根据两个向量夹角成锐角或钝角求参数 19．在中，向量，，若为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为锐角，则且与不共线． 由得，， 则，解得． 若与共线，则，即， 解得或，所以且，即x的取值范围是． 故选：A 20．已知向量、满足，，且与的夹角为．设为实数，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量、满足，，且与的夹角为， 则，且与不共线， 因为向量与的夹角为锐角， 则， 即，即，解得， 若向量与共线，则存在，使得， 所以，整理得，解得， 故当向量与不共线时， 因为向量与的夹角为锐角， 故实数的取值范围是. 21．已知向量是两个单位向量，则“”是“为锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为为单位向量，所以两边平方得， 所以，而，所以为0或锐角， 所以“”是“为锐角”的必要不充分条件． 故选：B. 22．设，，，若与的夹角为钝角，则m的取值范围是______． 【答案】 【详解】若，则，解得， 当与共线时，，则， 当时，，此时两向量方向相反， 故当与的夹角为钝角时，且， 故答案为： 23．已知，，其中，是夹角为的单位向量． (1)当，求与夹角的余弦值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）根据题意，当时，是夹角为的单位向量， 所以， 又因为， 所以， 又， 所以， 即向量与夹角的余弦值为． （2）根据题意，因为与的夹角为钝角， 所以且不共线， 所以，且， 即，且， 所以且， 故的取值范围为． 题型五、向量的投影向量 24．已知平面向量．若，求向量在向量上的投影向量为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，且，，所以，可得. 所以，，, 所以向量在向量上的投影向量． 25．已知是两个单位向量，且向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】向量在向量上的投影向量为，根据向量投影向量的公式，， 又是单位向量，，即代入上式，得, 继续化简得， 又是两个单位向量，，. 故选：. 26．记平面向量，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得， 故向量在向量方向上的投影向量的坐标为 ， 故选：C 27．已知单位向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，， 则在上的投影向量为. 28．已知三个平面向量，，两两的夹角相等，且满足，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】当三个平面向量，，两两夹角都为0时，显然在上的投影向量是. 当三个平面向量，，两两夹角都为时，因，所以， 则在上的投影向量为. 题型六、利用向量数量积解决垂直问题 29．已知单位向量，的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由单位向量，的夹角为，得， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：D 30．（多选）已知向量，若与垂直，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】BC 【详解】因为向量，且与垂直， 所以． 故选：BC 31．已知两个单位向量，互相垂直，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．9 【答案】A 【详解】因为向量，都为单位向量且互相垂直， 所以，，， 所以. 32．已知向量，满足，，，则__________. 【答案】 【详解】因为可得， 又，得． 因为，所以，即，解得． 33．已知向量，，非零向量（其中，）. (1)当，时，是否存在实数，使得成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由. (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)存在， (2). 【分析】 【详解】（1）当时，， ，而，则， 所以存在实数，使得成立，. （2）依题意，，， 由，得，则， 由为非零向量，得，因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 题型七、利用数量积解决几何问题 34．在四边形中，，，，若四边形的面积为，则_____. 【答案】 【详解】由题意知，，故， 即，如图，过作，则， 故四边形的面积，解得， 即，所以，故，即，所以. 故答案为： 35．在平行四边形中，点是对角线上任意一点（点与不重合），且，则四边形的面积为（   ）    A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】， 又四边形是，所以， 所以，所以，所以，所以为菱形． 由，所以， 所以角，所以． 故选：D. 【点睛】方法点睛：通过向量的线性运算与向量的数量积求得四边形一组邻边的长与夹角，从而求得面积，向量的线性运算与数量积是解决向量有关问题的基础. 36．在中，记、，向量、满足，，，则此三角形AOB的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，、， ， 又，，解得， 进而由向量夹角公式得， 于是， ， 故选：A. 37．已知为三角形内一点，且满足和，则角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得， 所以，同理可得，，故为的垂心， 又，所以，即， 所以，同理. 由为的垂心，得，即， 可知，即．同理有， 即，可知， 即，相乘得，所以（负根舍去）， 又，所以. 故选：B 38．已知四边形中，为中点，为与的交点，. (1)求的值； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为为中点， 所以， 所以. （2）由（1）得 ， 因为，所以， ， 所以. 题型八、向量数量积的最值与范围问题 39．已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．－2 【答案】A 【详解】在边长为2的菱形中，由，得，由点在线段上， 令，由点在线段上， ，得， 则， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 40．已知等边三角形的边长是，是三角形所在平面内的动点，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 因为等边三角形的边长是， 所以， 所以，又， 故， 即. 41．已知等边的边长为2，点是平面内任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【详解】设等边的重心为，记， 则有， 从而 ， 又， 可得， 所以，当时，取得最小值. 故选：B. 42．如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是________. 【答案】/ 【详解】如图，连接，过作直线于，交圆于，过作于， 因为，所以，且，则在上的投影向量为， 由数量积的几何意义知，若取到最大值，则在同侧， 且，当且仅当与重合时取等号， 又圆的半径为，则，所以， 故答案为：. 43．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点，其中点M在线段OB上且满足，则______，若点是线段AB上的动点，则的最大值为______. 【答案】 / / 【详解】在中，由，得， 设，则，， ， 整理得，而，解得，又， 则，所以； 设，，， ，当且仅当时取等号，所以的最大值为. 故答案为：； 44．已知平面四边形，，，，，则______；动点E，F分别在线段，上，且，，则的取值范围为______． 【答案】 . 【详解】①由，知∥，且. 记，则. 由，解得. 所以. 所以. . 因为，所以. ②如图所示，以为坐标原点，所在直线为轴，过且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则. 所以. 所以，所以. 因为，所以. 所以. 令， 其图象的对称轴为. 因为动点E，F分别在线段，上，所以. 所以在上单调递增，所以. 所以的取值范围是. 故答案为：①②. 题型九、四心问题 45．已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 【答案】B 【详解】因为，所以， 设中点为，则，所以， 所以三点共线，即为的中线上的点，且， 所以为的重心； 因为，所以，所以是的外心； 因为，所以，即， 所以，同理可得，，所以是的垂心. 故选：B 46．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】B 【详解】由 ， 则，即， 故，即点的轨迹经过的垂心. 故选：B 47．（多选）著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且，，以下结论正确的是（ ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ACD 【详解】因为是的重心，， 又， ，选项A正确； 因为是的外心， ，， ， 选项B错误； 若，， 可得， ， 则，选项C正确； 根据已知条件，，即， ， 所以，选项D正确. 48．的重心为，外心为，且，则___________． 【答案】 【详解】因为为外心，所以，， 所以， 因为为重心，所以， 则， 所以. 题型十、平面向量新定义问题 49．定义平面非零向量之间的一种运算“*”，记（其中是非零向量，的夹角），若，均为单位向量，且，则______. 【答案】 【详解】设向量，的夹角为， 因为，均为单位向量，且， 所以，因为，所以. 所以， 所以. 故答案为： 50．设不共线的的夹角为，定义运算．其中正确命题的个数为（   ） ①；②；③若，则；④若平面向量，，平面内动点满足，则动点的轨迹过的内心． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】对于①，，， 因为不共线，故与肯定不相等， 所以不成立，①错误； 对于②，不妨设，，， ， ， 故， ，， 而， ，， ， 故， ，②错误； 对于③，， 若，则， 又，故， 由于不共线，不共线，要想上式成立，非零向量需共线， 设，，由于恒成立，故，③正确； 对于④，，， 故 ， ， 而表示的平分线所在向量， 故点的轨迹所在直线过的内心，④正确. 51．定义平面向量之间的一种运算＂＂如下：对任意的，令.下面说法中正确的个数是（    ）. ①若与共线，则② ③④对任意的，有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】说法①： 由题存在实数使得和. 代入运算：. 因此，当向量共线时，运算结果为 0.说法①正确. 说法②： 左边：. 右边：. 因此，，除非结果为 0，否则不相等. 反例：取，，则 ，而. 说法②错误. 说法③： ，，. 所以 右边为，与左边相等. 说法③正确. 说法④： 左边：， 右边：， 两边相等.说法④正确. 正确说法：①、③、④，共 3 个；错误说法：②. 因此，正确说法的个数为 3 个. 故选： C. 52．给出定义：对于向量，若函数，则称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．已知，，函数的伴随向量为，点为函数的图象上一点，满足，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】由题意，，设，因为，所以，，，所以， 由，得，即， 因为1，所以，所以， 又，所以当且仅当时，和同时等于， 此时成立，所以点的坐标为． 故答案为： 53．如图，建立如下斜坐标系：设，是平面内相交成 角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作，则在斜坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为，则线段的长度为 B．点满足，则的轨迹与轴，轴正半轴围成的区域面积小于 C．点满足，则的最大值为 D．定义点与（多选）点坐标距离为，平面上一点，若动点（，）满足：①；②，则点运动所形成的轨迹长为2 【答案】ACD 【详解】设，分别为轴，轴正向的单位向量，， 对于A，，，故A正确； 对于B，，， ，，故B错误； 对于C，法一：，令， ， 法二：令，， ， 法三： ， 令，则， 结合，解得，所以，故C正确； 对于D，设点， ， 当且仅当，时取等号， 由得，可得， 则其轨迹如图所示，为， 由于，且，易得为等边三角形， ，故轨迹长度为2，故D正确． 故选：ACD． 1．（2025·26高三上·福建·期中）设向量，若，则负数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，则， 所以，所以， 因为，所以，化简得，解得（正根舍去）. 故选：D. 2．（2025·26高三上·河北·期中）某智能物流车的“实际配送向量”“规划路线向量”“交通拥堵修正向量”满足关系式：.已知条件如下：实际配送向量，交通拥堵修正向量与向量垂直，.配送效率等级通过“规划路线向量的模（单位：）”判定，标准如下表（一般情况下，认定“停滞”属于无效配送）： 配送效率等级 超高效 高效 常规 低效 停滞 模的范围 若此次配送为有效配送，则此次配送的效率等级为（    ） A．超高效 B．高效 C．常规 D．低效 【答案】B 【详解】设， 因为与向量垂直，所以， 又，即，所以或， 由可得， 当时，，则； 当时，，则； 由题意可得此次配送的效率等级为高效. 故选：B. 3．（2025·26高三上·福建泉州·期中）如图，在正八边形中，点为正八边形的中心，点分别是边的中点，且，点是正八边形内一个动点（含边界），已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正八边形的性质可知为的中点， 所以， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 所以的最大值为. 故选：D. 4．（2025·26高三上·河北·月考）为等边三角形所在平面内的一点，向量，且，.设向量与的夹角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等边三角形的边长为1， 以为原点，所在直线为轴，以过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系， 所以， 所以， 则， 所以， 则. 又因为， 函数在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 所以. 故选：C. 5．（2025·26高二上·辽宁·开学考试）（多选）已知向量，则下列结论正确的是（ ） A． B．的单位向量为 C．若，则实数的值为 D．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】AC 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，与共线的单位向量，故B错误； 对于C，因，则， ，由可得， 解得，故C正确； 对于D，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故D错误. 故选：AC. 6．（2025·26高三上·山西运城·期末）（多选）如图，在中，，BM交CN于点E，且，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】如图， 取CN的中点H，连接MH，则，且，所以，且，所以，所以，即． 对于A，，故A选项正确； 对于B，，故B选项正确； 由，可得， 即， 即，所以， 当且仅当，即时， 取得最小值为，故C选项错误，D选项正确． 故选:ABD 7．（2025高一·全国·专题练习）（多选）定义平面向量的一种新运算“”如下：对任意的向量，，规定，则对于任意的向量，下列说法中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】设，，． 对于A，，故A正确． 对于B，，故B正确． 对于C，，，故C错误． 对于D，，， 因为，故D正确． 故选：ABD． 8．（2025·26高一上·河北保定·期中）（多选）在中，是的中点，是线段上的点，过作一直线分别与交于点，设，其中，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是等边三角形 C．若，则 D．若，则的最小值为 【答案】AD 【详解】因为， 则，即， 则， 所以，A正确； 因为，所以， 所以，同理，点是的垂心， 又是边的中点，，易知是等腰三角形，无法确定是等边三角形，B错误； 由题意知，，所以， 又三点共线，则， 所以，即，解得，C错误； ，又三点共线，则， 因此， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，D正确. 故选：AD. 9．（2025·26高三上·河北衡水·期中）如图，在中，且点满足，，则___________．    【答案】/ 【详解】由题设， 所以， 因为，，所以. 故答案为： 10．（2025·26高三上·上海松江·期中）已知且，若向量满足，则的最大值是__________. 【答案】 【详解】由且，得， 当时，成立； 当时，由，得， 则，当且仅当与同向时取等号， 因此，即的最大值是. 故答案为： 11．（2025·上海金山·一模）已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】因为， 故 ， ， 故当时，的最小值为， 故最小值为. 故答案为：. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $