专题04 三角恒等变换（9题型专项训练）数学人教B版必修第三册

专题04 三角恒等变换（9题型专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、两角和差公式的逆用 1 题型二、倍角公式与半角公式应用 2 题型三、和差化积与积化和差公式应用 2 题型四、三角恒等变换之给值求值问题 3 题型五、三角恒等变换之给值求角问题 4 题型六、三角函数综合化简问题 4 题型七、三角恒等变换在三角形中的应用 5 题型八、三角恒等变换与三角函数的图象性质结合 5 题型九、三角恒等变换在实际中的应用 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、两角和差公式的逆用 1．下列四个选项中，计算结果是的选项为（） A． B． C． D． 2．已知且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则______． 4．已知，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，，，则____________. 6．若函数在上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型二、倍角公式与半角公式应用 7．（   ） A． B．1 C． D． 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选）下列选项中，值为的是（    ） A． B． C． D． 11．已知，且，则_______． 12．计算： (1). (2)已知，求的值. 题型三、和差化积与积化和差公式应用 13．的值为（    ） A． B． C． D． 14．（多选）下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 15．化简：_____________． 16．求值：___________． 17．世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式．积化和差： ， ． 和差化积： ， ． 运用上面的公式解决下列问题： (1)证明：； (2)若，证明：； 题型四、三角恒等变换之给值求值问题 18．已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 19．设是方程的两根，且，则（    ） A． B． C．或 D． 20．若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 21．已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 22．已知，，，，则的值为_____________． 23．已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型五、三角恒等变换之给值求角问题 24．已知，满足，且，则（   ） A． B． C． D． 25．若，，，那么、、的大小关系为______（按从小到大排序） 26．若， 为第三象限角，则______ 27．已知函数． (1)求； (2)若，，求角． 28．已知函数． (1)求的值； (2)若，求的值． 29．在平面直角坐标系xOy中，已知向量，， (1)若，求的值； (2)若，，求的值域． 题型六、三角函数综合化简问题 30．已知角，满足，，则（    ） A． B． C． D．2 31．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 32．已知，，则（   ） A． B． C． D． 33．已知 ，则 _____. 34．已知，则________. 35．已知，则正实数的值为____________. 题型七、三角恒等变换在三角形中的应用 36．在中，若，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 37．在锐角中，已知，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C．6 D．7 38．在中，为它的三个内角，且满足，，则______. 39．若的内角满足，则的最小值为___________. 40．在△ABC中，AB边上的高，则的最小值为_________. 41．如图在中，，点D，E在线段上，，若，则E到的距离为___________. 题型八、三角恒等变换与三角函数的图象性质结合 42．若函数的图象关于点对称，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 43．（多选）设函数，则（） A．的最小正周期是 B．是偶函数 C．的最大值是 D．在区间上单调递减 44．（多选）函数，下列结论正确的有（    ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则 D．函数的最大值为 45．（多选）已知，则（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．当在有2个不同实根时，的取值范围是 46．已知函数的最小正周期为 (1)求及； (2)求在区间上的值域. 47．已知函数，且函数图象的一个对称中心为. (1)求的值； (2)若在区间上的值域是，求的取值范围． 题型九、三角恒等变换在实际中的应用 48．为献礼建党一百周年，南高嘉陵校区在学校后山修建“初心园”，现有半径为，圆心角为的扇形空地（如图所示），需要在空地内修建一平行四边形景观场地，则该景观场地的面积最大值为（ ） A． B． C． D． 49．（多选）随着市民健康意识的提升，越来越多的人走出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所．如图，某公园内有一个以为圆心，半径为，圆心角为的扇形人工湖，、是分别由、延伸而成的两条健身步道．为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增建三条健身步道，其中一条与相切于点，且与、分别相交于、，另两条是分别和湖岸、垂直的、（垂足均不与重合）．在区域以内，扇形人工湖以外的空地铺上草坪，则（    ） A．的范围是 B．新增步道的长度可以为 C．新增步道、长度之和可以为 D．当点为的中点时，草坪的面积为 50．如图，某游乐场的摩天轮半径为，圆心距离地面，设置有个座舱（逆时针编号号号），摩天轮每逆时针转动一圈，游客在座舱转到距离地面最近的位置（点位置）进舱.现甲、乙两人先后分别进入号舱和号舱. (1)游客甲从坐上号舱起，经过后距离地面高度为（单位：），求（单位：）关于时间（单位：）的函数； (2)在运行一周的过程中，求甲、乙两人距离地面的高度差的最大值. 51．为落实《中共中央、国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，加快构建德智体美劳全面培养的教育体系，开齐、开足、开好德育、体育、美育、劳动教育课程，某校成立了劳技兴趣小组．为了迎接“五一”晚会，该小组制作了一个半径为的圆形灯箱，其发光部分为该圆内的一个关于圆心对称的“工”型，“工”型由横、竖、横三个等宽的矩形组成，两个横向矩形全等且它们的长边是竖直矩形的长边的倍，设为圆心，，“工”型的面积记为． （1）将表示为的函数； （2）为了使得灯箱亮度最大，设计时应使尽可能大，则当为何值时，最大？ 52．进博会期间，有一个边长80m的正方形展厅OABC，由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以O为圆心，60m为半径的扇形ODE作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地PGBF，矩形有两条边分别落在边AB和BC上，设∠POA=． （1）用表示矩形PGBF的面积，并求出当矩形PGBF为正方形时的面积（精确到）； （2）当取何值时，矩形PGBF的面积S最大？并求出最大面积（精确到）． 1．（2025·26高三上·广东韶关·期末）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，且，若点为角的终边所在直线上的一点，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·26高三上·云南昭通·期末）已知锐角满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·26高三上·辽宁·期末）已知角，满足，，则（） A． B． C． D． 4．（2025·26高三上·山东青岛·期末）已知函数，，则（    ） A．不可能为奇函数 B．不可能为偶函数 C．存在k，使得 D．存在k，使得 5．（2025·26高一上·浙江·期末）（多选）已知函数，下列说法正确的有（   ） A．最小正周期为 B．是的一个对称中心 C．在内有2个零点 D．若，则 6．（2025·26高一下·广东揭阳·月考）已知向量，且，则______. 7．（2025·26高一上·广东深圳·期末）已知，. (1)求的值； (2)求的值. 8．（2025·26高一上·安徽宣城·期末）如图，在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于两点，，，．    (1)若的横坐标为，求的值； (2)若，求的值． 9．（2025·26高一上·广东深圳·期末）某地计划在如图所示的矩形公园举办花展，其中，，的中点为游客中心，为方便市民观赏，现欲规划建造两条观赏绿道和，使得点，分别在边界，上，且. (1)设，求观赏绿道总长度关于的函数解析式和定义域； (2)为节约建造成本，求观赏绿道总长度的最小值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04三角恒等变换(9题型专项训练) 目录 A题型建模·专项突破 题型一、两角和差公式的逆用.1 题型二、倍角公式与半角公式应用3 题型三、和差化积与积化和差公式应用.6 题型四、三角恒等变换之给值求值问题.8 题型五、三角恒等变换之给值求角问题…11 题型六、三角函数综合化简问题 ...15 题型七、三角恒等变换在三角形中的应用 17 题型八、三角恒等变换与三角函数的图象性质结合 .21 题型九、三角恒等变换在实际中的应用… .26 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、两角和差公式的逆用 1,下列四个选项中，计算结果是3的选项为() 20π A.sin B.sinl3°.cosl7°+cosl3°.sin17o π 1+tan C. 12 D.sin73°.cosl3°-sin17°.sinl67° 1-tan 12 π 【答案】D 【详解】对于A:sin(-20)=-sin20m 3 3 n6+3)=in-55 32 2 故A错误； 对于B:sinl3cos17+cosl3sinl7=sin13+17r）=sin30°=≠5 2 故B错误； l+tanπ tan+tan 对于C: 42=tani 2 故C错误； 对于D:由sin73°=sin90°-17）=cosl7°，sinl67°=sin180°-13）=sinl3°， 代入得：sin73°cosl3°-sinl7sinl67=cosl7cosl3°-sinl7sinl3°， 1/39 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -cosi7cos13-sim17'sin13-cos(1)cos30 2 故D正确 故选：D 2.已知经<0<x且n9号，则e0+到 =() 4 A.-② B.② C.-7V2 D. 7W2 10 10 10 10 【答案】C 【详解】因为经0<，sn0-号 所以cos0=--sin0=-5 4 则cos日+刀 -cos0cos-sinosinx42x3_7 4 4 4252510 故选：C 【答案】35-4 10 因为m-君引号所以es-引-m-君引号 所以cosx=coS -+引--引- 故答案为： 3V5-4 10 4.已知aB0》 若sina+ 引-专o2-1音则osa+p=（) π）4 A.-16 B.65 63 5 65 D.33 65 【答案】A 【详解】因为sina+刀=4， 5 +25,cos2n-B=i 5'cosp=5 所以cos= 3 2/39 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又因为a,fe0,} 所以sina=-os2a-子sinB=-cos3B-是 3 13 所以cos(a+B)=cosa cos B-sina sinB= 4、531216 51351365 5.已a引B(经，ma+mB=2,mamB=-l,则osa+1 【答案】 22 【详解】因为tana+tanB=2,tan a tan B=-l, 所以tan(a+B)= tan a +tan B 2 =1, 1-tan a tan B1-（-1） 因为a引e(0小所以a+B( 所以a+B=年所以csa+)=os及=5 42 故答案为： √2 6.若函数f(x)=sinπ-x+cosπ+x)在[0，a]上有且仅有两个零点，则实数a的取值范围为() A[2 B. 3π9π c(经 D.44】 5π9π 2’4 【答案】D 【详解】函数f=sm(红-到+cos红+=inx-cos=5sn（-香到在0ad上有且仅有两个零点， 即y=V2sinx- 4 的图象在x∈[0，d上与x轴有且仅有两个交点 因为0≤x≤a, 所以-天sx-交sa 4 4 4 结合正弦曲线可知π≤Q-灭<2π，解得5 9π -≤a< 4 4 故选：D 题型二、倍角公式与半角公式应用 7.cos50tan170+3)=() A.5 B.1 D. 6 【答案】B 3/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】c0s50(lan170°+V5)=cos50(5-tan10）=cos50.5c0s10°-sin10_2sin50°c0s50° cos10° cos10° sin100 cos10° cos10° cos10o =1 故选：B 8.已知1+cos2a 2cosa 2-2a=() 59 16 A. B.- c 43 D. 75 75 75 【答案】D 【详解】 1+cos2a =2cos'a 1co sin a 2cosa +cosa+π 3 2eosa+2 cosa 2 -sina =3 2 cosa-3 2 =√3cosa+ （651 所以cos -20oa1-am-}1-2s+引-2- 、7575 故选：D 9.已知sina+2sinB=cosa+2cosB=y6,则cos(2a-2B)=(） B.v3 C.、3 2 2 【答案】D sina +2sinB= 【详解】由 cosa+2cosB=6 两边平方相加得1+4(+snn)+4=3, 2 整理得cosa-B)=7所以cos(2a-2p)=2cos1a-B)-1=-1 2 故选：D 10.(多选)下列选项中，值为，的是（) A.2cos215° B.sin27°c0s3°+c0s27°cos87° tan22.5° C.2sin15sin75 D. 1-tan222.5° 4/39 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】BCD 【详解】选项A:2co915°=1+c0s30=1+5,故选项A不符合题意： 选项B:sn27cos3P+cos27Pcos87°=m27eos3°+c0s27sin3°=sin30-号，故选项B符合题意， 选项C:2sinl5°sin75°=2sinl5cosl5°=sin30°= 1 2,故选项C符合题意： 1 选项D: tan22.5°12tan22.5° 1-an22.5021-an22.5°-2tan45°=7，故选项D符合题意 1 11.已知a∈(0，π，且3cos2a-13cosa+9=0,则sina= 【答案】⑤ 【详解】由3cos2a-13cosa+9=0, 3(2cos'a -1)-13cosa +9=0,6cos2a-13cosa +6=0, 得6c0su 引coa号-0，解w或ca-号合去) 因为a∈(0，，所以sina=-cosa-5 3 12.计算： 02w经-m 7π，3 44 6 +sin 3x 2 (2)己知tan0=。 cos20-5如n9的值 ,求sin20 【答案1()2 (2)2 【分析】 【详解】(1)由诱导公式得cos受=o(2x+孕=c0s子=0， 2 tan uan()-n 1 4 tan 7=ian(+)=tamg ⊙，tan27n1 6 63 63 n13=sin2x+5=sim及-， sin 6 6 62' cos 6 （6 62,c0s23 64 sin 3-1， 2 5/39 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 f代入得2cos5π-tan7π+3an27π-sin13π+cos5+sin37 2 44 6 6 6 =2×0-（-1)+2× ,311,3 4^324 sin20 2sin0 cos0 (2) 2sin0 cos0 cos20-sin20 cos20-sin20-sin20 cos20-2sin20 分于分母同除以c0s0,再把m0号代入得 1 2tan0 2x 2 1 11 1-2tan20 人 1 1-2× 7=2 1-2 22 题型三、和差化积与积化和差公式应用 13.cos72°-cos36的值为() A.3-2V3 B. C._ 2 D.3+25 【答案】C 【详解】原式=-2sin72+36sin72,36=-2in54×sin18=-2cos36c0s72 2 2 =-2×sin36cos36cos72。_sin72cos72°_sinl44 sin36°1 sin36 sin36 2sin36 2sin36 =-2 故选：C 14.(多选)下列关系式成立的是() A.sin 50 sin 30 =2sin 40 cos0 B.cos30-cos50 =-2sin 40 sin0 1 C.sinxsiny= -y-cosx+y》D.,cos8 sin B=[sin(0+B)士 【答案】AC 【详解】因为sina+sinB=2sina千“，，所以sin50+sim30=2sim0+30co0-30 -cos- 2 .=2sin 40 cos0 2 ,所以A正确： 因为c0sa=cosB=-2 esin sin9,2所以cos39-cos50=2sin碧10sin9-02sin49sin9,所 2 B错误； 因为sinsin=[osa-j-cosa+],所以.xsin-2eox-》-co+训，所以C正确 因为cosa sin B= ma+到-sima-B],所以cos0sinA=sn(0+)-sin(0-],所以D错误 故选：AC 6/39 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 l5.化简：sina·sin60°+a）sin60°-a= 【答案】4sim3a 【详解】原式=sina -cos60°+a+60°-a)+cos(60°+a-60°+a)] 2 11 =sina· 22 +cos 2a sin+sina cos 2a 4 因为sina+2a+sina-2a=2 sina cos2a 所以原式=si血a+写sin3a+sin(-a】 4 22 1 =-sin 3a 4 故答案为： 4sin3a 16.求值： cos40°2cos20°-cos40°） cos10 【答案】 2 【详解】 c0s40°(2c0s20°-cs40)cos40°(cos20°+cos20°-cos40) cos10° cos10° c0s40° cos20°-2sin 20°+40°20°-40° -sin- 2 2 cos40[cos20°-2sin30°sin(-10] cos10° cos10° cos40°(cos20°+sin10)cos40(cos20°+cos80) cos10° cos10° 20°+80°。20°-80° cos40° 2cos -cos 2 2 2cos40°cos50°c0s-30°) cosl0° cosl0° V3cos40°cos50°V32cos40°sin40°V3sin80°V3cos10°V3 cos10° 2 cos10° 2cos10°2cos10°2 17.16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积 恒等式.积化和差： sinasinp-To)os)]oocos)co sincosp-[sin()+sin(a-B)]cossin-[sin(B)-sin()] 和差化积： 7/39 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 sina+sinB=2sincoB,sina-sinB-2cossin 2 2 2 2 cosa+cosB=2coscoscos-cos=-2sinsin 2 2 2 2 运用上面的公式解决下列问题： (1)i证明：cos2a-sin2B=cosa+B)cosa-B)； (2)若a+B+y+o=π，证明：sin(a+B)sin(a+y)=sina sin@+sin Bsiny: 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】(1)根据二倍角公式与和差化积恒等式得： cosa-sinB=1+cos2a1-cos2B-(cos2a+c0s2B)=cos(a+B)eos(a-B). 2 2 2 (2》左边=eoB-）-cos(2a+B+y川=Jfcos(p-7)-costa+-o】 =zlcos(B-y)+cos(a-w)]. 1 右边=2[cosa-o)-cos(a+o1+2cosB-Y)-cos(B+y】 c)+coB--co+o+). 由a+B+y+0=π，得cos(a+o)+cos(B+y)=0, 所以sin(a+β)sin(a+y)=sina sin+sin B siny, 题型四、三角恒等变换之给值求值问题 18.已知a、月e0,,且m(B-a)=分ana=-7则2B-a的值是（) A哥 B. 4 【答案】B 【群样1为mg-a-宁na-9 11 27 -15 所以tanB=mB-a+a-1=tan(B-tana1了33 2(7 又因为a、Be(0,,所以5死<a<,0<B<石。 6 6 8/39 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则0<2B< 3’-<-a<- ,所以-<2B-a< 6 因为tan2p= 2tanβ 2× 3 3 1-tan2β 4 1- 3 3,1 所以tan(2B-a)= tan 2B-tan a 47 1+tan 28 tana 1,故2-a=-3 故选：B 19.设a0,f是方程F+65x+7-0的两银，且a,B号引 则a+B=() A骨 B D.3 π 【答案】B 【详解】因为tana,tanB是方程x2+6√5x+7=0的两根， 所以tana+tanβ=-6V3,tana tanB-7, 所以tana<0,tanβ<0， 因为aB(引所a,Be所以a+e-0, 则tan(a+B)= tana+tnA. 1-tanotanβ1-7 所以a+B=-2红 3 故选：B 20.若a, 且ua- ,则下列结论正确的是() A.2a-B=2 B.2a+B-月 C.- D.2a+B= 5π 2 【答案】D cos B cos2B -sin2 B 2 -sin B 2 cosB 1-tan B 【详解】tana= tan π_ 1+sinβ co 1+tan 42 2 2 2+s 2 因为号小以号小 所以a=x+经号料2a+B- 9/39 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：D 21.已知a,Be(0,x),且cosa= √5 sina+f)=2 则a-B=(） 10 A π B.4 或 D. 4 【答案】A 【详解1因为cu59所以a学受测品a之 52 5 所以sin2a=2 sinacosa=2x25x5-4 5x55 -X cos2a=1-2sin2a=1-2× 因为Be(0,π)， 所以a+Be42 π3π 又0<sin(a+β)= +小 102 所以cosa+B)=--sina+B=-75 10 sin(a -B)=sin(2a -(a +B))=sin 2a cos(a +B)-cos 2a sin(a +B) 因为a( Be@所以a-B(经引 则a-B-子 故选：A 22.已知a∈ 0引，B经osB=了sa+)-4点，则a的值为 6 【答案】孕45 【详解】因为Be气（径：cosB=有，所以mB=-o时B=25 3 因为a引n，所以u+B） 又因为sin@+)=4-5,所以cosa+B)=--sina+A们=-4+5 6 6 于是sina=sin(a+B-β)=sin(a+B)cosB-cos(a+B)sinβ， 10/39