精品解析：2026年四川内江市威远县凤翔中学九年级下学期第一次模拟考试数学试题

凤翔中学2026年上学期一模检测九年级数学试题 考试时间：120分钟 【A卷 满分100分】 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 有理数的绝对值为（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在多个领域具有重要的应用前景，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为米，此键长用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 6. 函数y=的自变量x的取值范围在数轴上可表示为（　　） A. B. C. D. 7. 4月23日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示： 人数 6 7 10 7 课外书数量（本） 6 7 9 12 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（　　） A. 8，9 B. 10，9 C. 7，12 D. 9，9 8. 将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图， 是 的直径， ， 是 上的两点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 用A，B两个机器人搬运化工原料，A机器人比B机器人每小时多搬运，A机器人运所用时间与B机器人搬运所用时间相等，设A机器人每小时搬运化工原料，那么可列方程（ ） A. B. C. D. 11. 定义新运算“*”：对于实数， ， ，有，例如，若关于 的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 12. 矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交， 于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交 ， 于点M，N，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 因式分解：________． 14. 暑假将至，广饶县教育局向全县师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水；不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“河”和“沟”两字出现的频率为_____． 15. 如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了______米． 16. 观察下列运算，并回答问题： ，，，则结果中的常数项的个位数字为______． 三、解答题（有5个小题，共48分） 17. 计算或化简： （1） （2） 18. 如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）若AE=4，CF=2，求菱形的边长． 19. 某学校为丰富课后服务内容，计划开设经典诵读，花样跳绳、电脑编程、倒画赏析、民族舞蹈五门兴趣课程．为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，完成下列问题： （1）本次调查共抽取了____________名学生； （2）补全条形统计图； （3）计算扇形统计图中“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数； （4）若全校共有1200名学生，请估计选择“民族舞蹈”课程的学生人数； （5）在经典通读课前展示中，甲同学从标有A《出师表》、B《观沧海》、C《行路难》的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到A《出师表》的概率． 20. 如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度 ，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的倾斜角为，．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为，在D点处测得楼顶端A的仰角为（点A，B，C，D在同一平面内）． （1）求C、D两点的高度差； （2）求居民楼的高度 ．（结果保留根号） 21. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段 上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 【B卷 满分60分】 一、填空题（每小题6分，共24分） 22. 若α 、β是方程的两个实数根，则的值为____________． 23. 如图，已知是一块含有角的直角三角板，点A是函数的图象上一点，点B是函数的图象上一点，则k的值_____． 24. 已知的三边a、b、c满足，则的面积为____； 25. 如图，在四边形中，，点在 上，且，则的最小值为_______． 二、解答题（每小题12分，共36分） 26. 某商店决定购进A、B两种纪念品．已知每件A种纪念品的价格比每件B种纪念品的价格多5元，用800元购进A种纪念品的数量与用400元购进B种纪念品的数量相同． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于800元，且不超过850元，那么该商店共有几种进货方案？ （3）已知商家出售一件A种纪念品可获利m元，出售一件B种纪念品可获利（6﹣m）元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价） 27. 如图， 是 的直径，点 是圆上的一点，直线 交 延长线于点 ，过点 作于点 ， 交 于点，连接，若平分． （1）求证：是 的切线； （2）若，求的值； （3）过点作于点 ，交于点 ，在（2）的条件下，求的值． 28. 如图，抛物线交 轴于，，与轴交于点 ．连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若在线段上有点D，使得以点O、A、D为顶点的三角形与相似，求线段 的长； （3）如图2，点 为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点 ．交于点 ，于点 ，求线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凤翔中学2026年上学期一模检测九年级数学试题 考试时间：120分钟 【A卷 满分100分】 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 有理数的绝对值为（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数即可计算得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 2. 石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在多个领域具有重要的应用前景，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为米，此键长用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将表示成的形式，其中， 为整数即可． 【详解】解：∵原数中，左边第一个非零数字1前面有9个0，且， ∴，即选项A符合题意． 【点睛】科学记数法就是将数据表示成的形式，其中， 为整数，确定a、 的值是解题关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据积的乘方，完全平方公式以及同底数幂的除法进行检验即可． 【详解】解：A、，选项说法错误，不符合题意； B、，选项说法正确，符合题意； C、，选项说法错误，不符合题意； D、，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了积的乘方，完全平方公式以及同底数幂的除法；解题的关键是熟练掌握相关运算公式． 4. 如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．根据从正面看的图形是主视图即可求解． 【详解】解：该几何体的主视图是： 故选：A． 5. 四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项合题意； 故选：D． 6. 函数y=的自变量x的取值范围在数轴上可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵函数y=有意义， ∴分母必须满足， 解得：， ∴x＞1； 故选B． 【点睛】在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画）．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 7. 4月23日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示： 人数 6 7 10 7 课外书数量（本） 6 7 9 12 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（　　） A. 8，9 B. 10，9 C. 7，12 D. 9，9 【答案】D 【解析】 【分析】利用中位数，众数的定义即可解决问题．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字（或者两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：中位数为第15个和第16个的平均数为：，众数为9． 故选：D． 【点睛】本题考查了中位数和众数，解题的关键是掌握平均数、中位数和众数的概念． 8. 将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图， ， 根据题意，得，， ∴， ∵直尺对边互相平行， ∴． 9. 如图，是的直径， ，是上的两点，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据是直径得出，然后利用圆周角定理的推论得出，最后利用直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】∵是的直径， ． ∵和都是所对的圆周角， ∴， ． 10. 用A，B两个机器人搬运化工原料，A机器人比B机器人每小时多搬运，A机器人运所用时间与B机器人搬运所用时间相等，设A机器人每小时搬运化工原料，那么可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据A机器人运所用时间与B机器人搬运所用时间相等，列出方程即可． 【详解】解：设A机器人每小时搬运，则B机器人每小时搬运， ∵ A搬运所用时间为，B搬运所用时间为，且时间相等， ∴， 故选A． 11. 定义新运算“*”：对于实数 ， ， ，有，例如，若关于 的方程有两个实数根，则 的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】由新定义的运算，可得到关于的一元二次方程 再利用根的判别式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得且， 故选：C． 【点睛】本题主要考查根的判别式, 解答的关键是正确运用根的判别式． 12. 矩形 中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交 ，于点M，N，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查尺规作图作已知角的平分线，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定；设交于点Q，先由矩形的性质和勾股定理可求出，然后证明可得，，进而求出，由等腰三角形的性质和判定可得，最后由勾股定理可求出. 【详解】解：设交于点Q， 在矩形 中，，， ∵，， ∴， 由作图得：平分， ∴， ∵过点C作的垂线分别交 ，于点M，N， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 故选：A. 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】观察多项式的各项，发现都含有公因数，先提取公因式得到；接着观察括号内的式子，它符合平方差公式的形式，再利用平方差公式进一步分解即可． 【详解】解： ． 14. 暑假将至，广饶县教育局向全县师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水；不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“河”和“沟”两字出现的频率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据“河”和“沟”两字出现的次数除以总的字的个数即可． 【详解】解：“不去河沟游玩，防落水；不去河沟游泳，防溺水”，共有18个字，其中河”和“沟”两字出现的次数为：4次， ∴“河”和“沟”两字出现的频率为， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查频率的计算，理解频率的计算方法是解题关键． 15. 如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了______米． 【答案】120 【解析】 【详解】 解：∵360÷30=12， ∴他需要走12次才会回到原来的起点， 即一共走了12×10=120米， 故答案为：120． 16. 观察下列运算，并回答问题： ，，，则结果中的常数项的个位数字为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了规律问题． 找出常数项的个位数字的规律，进而作答即可． 【详解】解：结果中的常数项为，个位数字为 ； 结果中的常数项为，个位数字为 ； 结果中的常数项为，个位数字为； 结果中的常数项为，个位数字为； 结果中的常数项为，个位数字为 ； …… 可知个位数字以4为周期循环，一个循环内顺序为 ， ，，， ， 故的个位数字为 ． 故答案为： ． 三、解答题（有5个小题，共48分） 17. 计算或化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简，再进行加减运算即可； （2）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）若AE=4，CF=2，求菱形的边长． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD（菱形的四条边相等），∠B=∠D（菱形的对角相等）， ∵AE⊥BC AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD=90°（垂直的定义）， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF(AAS)； （2）5 【解析】 【分析】（1）利用AAS即可证明△ABE≌△ADF； （2）设菱形的边长为x，利用全等三角形的性质得到BE=DF=x−2，在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设菱形的边长为x， ∴AB=CD=x，CF=2， ∴DF=x−2， ∵△ABE≌△ADF， ∴BE=DF=x−2（全等三角形的对应边相等）， 在Rt△ABE中，∠AEB=90°， ∴AE2+BE2=AB2（勾股定理）， ∴42+(x−2)2=x2， 解得x=5， ∴菱形的边长是5． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 19. 某学校为丰富课后服务内容，计划开设经典诵读，花样跳绳、电脑编程、倒画赏析、民族舞蹈五门兴趣课程．为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，完成下列问题： （1）本次调查共抽取了____________名学生； （2）补全条形统计图； （3）计算扇形统计图中“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数； （4）若全校共有1200名学生，请估计选择“民族舞蹈”课程的学生人数； （5）在经典通读课前展示中，甲同学从标有A《出师表》、B《观沧海》、C《行路难》的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到A《出师表》的概率． 【答案】（1）300 （2） 补全条形图如下： （3）120° （4）200 （5） 【解析】 【分析】（1）由国画赏析的人数除以所占的百分比，即可得到答案； （2）利用抽取的总人数减去其他项目的人数，再补全条形图即可； （3）先求电脑编程所占百分比，然后乘以360°，即可得到答案； （4）先求民族舞蹈所占百分比，然后乘以1200，即可得到答案； （5）先列出表格得出所有等可能的结果数，再根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：本次调查共抽取的学生人数为：（人）； 故答案为：300； 【小问2详解】 解：根据题意， 花样跳绳的人数为：（人）； 【小问3详解】 解：根据题意， “电脑编程”所对应扇形的圆心角度数为：； 【小问4详解】 解：全校选择“民族舞蹈”课程的学生人数为：（人）； 【小问5详解】 解：列表如下： A B C A A，A B，A C，A B A，B B，B C，B C A，C B，C C，C 共有9种等可能的结果，其中甲乙两人至少有一人抽到A有5种， 所以两人至少有一人抽到A《出师表》的概率为． 【点睛】本题考查了列表法或树形图、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图等知识点，能根据题意列出算式是解此题的关键． 20. 如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的倾斜角为，．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为，在D点处测得楼顶端A的仰角为 （点A，B，C，D在同一平面内）． （1）求C、D两点的高度差； （2）求居民楼的高度．（结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，交 的延长线于点，在中，可得，再利用勾股定理可求出，即可得出答案． （2）过点作于 ，设，在中，，解得，在 中，，，，求出 的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：过点作，交 的延长线于点， 在中，，， ． ． 答： ，两点的高度差为． 【小问2详解】 过点作于 ， 由题意得：四边形是矩形， ∴，， 设， 在中，， 解得， 在 中，，， ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ． 答：居民楼的高度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 21. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式； （2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求； （3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，可得， 解得， 反比例函数解析式为； 在图象上， ， ， 将，代入，得： ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）可知， 当时，， 此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为， 即满足时，x的取值范围为； 【小问3详解】 解：设点P的横坐标为， 将代入，可得， ． 将代入，可得， ． ， ， 整理得， 解得，， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想． 【B卷 满分60分】 一、填空题（每小题6分，共24分） 22. 若α 、β是方程的两个实数根，则的值为____________． 【答案】2021 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程得到，再根据根与系数关系得到，进而代值求解即可． 【详解】解：∵α 、β是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2021． 23. 如图，已知是一块含有 角的直角三角板，点A是函数的图象上一点，点B是函数的图象上一点，则k的值_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 由是一块含有 角的直角三角板可得，如图：过点A作轴于C，过点B作轴于D，证明可得，设，则；根据反比例函数图象上点的坐标特征得，据此求解即可． 【详解】解：∵是一块含有 角的直角三角板， ∴， ∴， 如图：过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵点A是函数的图象上一点，点B是函数的图象上一点， ∴， ∴． 故答案为：． 24. 已知的三边a、b、c满足，则的面积为____； 【答案】 【解析】 【分析】先根据，得出，求出，，，过点B作 于点D，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，根据三角形面积公式求出． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴，，， 解得：，，， ∴，，， 如图，，，过点B作 于点D， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，完全平方公式，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是根据非负数的性质求出，，． 25. 如图，在四边形 中，，点在 上，且，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，连接，得到点 与点 关于 对称，过点 作，使得，连接交 于点，连接，证明四边形是平行四边形，得到则当三点共线，即点与点重合时，取得最小值，即取得最小值，最小值为的长，求出，由勾股定理求出得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， 点 与点 关于 对称， ， 过点 作，使得，连接交 于点，连接， ， ，四边形是平行四边形， ， 当三点共线，即点与点重合时，取得最小值，即取得最小值，最小值为的长， ，， 是等边三角形， ， 在中， 的最小值为． 故答案为：． 二、解答题（每小题12分，共36分） 26. 某商店决定购进A、B两种纪念品．已知每件A种纪念品的价格比每件B种纪念品的价格多5元，用800元购进A种纪念品的数量与用400元购进B种纪念品的数量相同． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于800元，且不超过850元，那么该商店共有几种进货方案？ （3）已知商家出售一件A种纪念品可获利m元，出售一件B种纪念品可获利（6﹣m）元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价） 【答案】（1）购进 种纪念品每件需要10元， 种纪念品每件需要5元；（2）共有11种进货方案；（3）当； 种70件， 种30件时可获利最多；当， 种60件， 种40件时可获利最多 【解析】 【分析】（1）设购进 种纪念品每件价格为 元， 种纪念币每件价格为元，根据题意得出分式方程，解方程组即可得出结论； （2）设购进 种纪念品 件，根据题意列出关于 的一元一次不等式组，解不等式组得出 的取值范围，即可得出结论； （3）找出总利润关于购买 种纪念品 件的函数关系式，由一次函数的性质确定总利润取最值时 的值，从而得出结论． 【详解】解：（1）设购进 种纪念品每件价格为 元， 种纪念币每件价格为元，根据题意可知： ，解得：， ． 答：购进 种纪念品每件需要10元， 种纪念品每件需要5元． （2）设购进 种纪念品 件，则购进 种纪念品件，根据题意可得： ， 解得：， 只能取正整数， ，共有11种情况， 故该商店共有11种进货方案分别为： 种70件， 种30件； 种69件， 种31件； 种68件， 种32件； 种67件， 种33件； 种66件， 种34件； 种65件， 种35件； 种64件， 种36件； 种63件， 种37件； 种62件， 种38件； 种61件， 种39件； 种60件， 种40件． （3）销售总利润为， 商家出售的纪念品均不低于成本价， ， 根据一次函数的性质， 当时，即， 随着 增大而增大， 当时，取到最大值； 即方案为： 种70件， 种30件时可获利最多； 当时，即， 随着 增大而减小， 当时，取到最大值； 即方案为： 种60件， 种40件时可获利最多． 【点睛】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式组以及一次函数的性质，解题的关键：（1）列出关于两种纪念品单价的分式方程；（2）列出关于购买 种纪念品件数 的一元一次不等式组；（3）根据一次函数的性质确定最值．本题属于中档题，难度不大，但考到的知识点稍多，解决该类题型时，明确解题的方法是关键，通过审题确定解题思路才能更快捷的解决该类问题． 27. 如图，是的直径，点 是圆上的一点，直线交延长线于点，过点 作于点，交于点 ，连接，若平分． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值； （3）过点 作于点，交于点，在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵ ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，等边对等角和角平分线的定义，推出，得到，进而得到，即可得证； （2）设，则，根据，得到，进而得到，求解即可； （3）证明，得到，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， 设，则， ∴，，， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 由（2）知：， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 28. 如图，抛物线交 轴于，，与 轴交于点 ．连接， ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若在线段上有点D，使得以点O、A、D为顶点的三角形与相似，求线段的长； （3）如图2，点 为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，可知只存在和这两种情况，据此利用相似三角形的性质讨论求解即可； （3）求出直线的解析式为；证明，可推出；设，则，则可得到，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线交 轴于，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当 时，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $