精品解析：安徽淮北市濉溪县临涣中学2025-2026学年高二下学期第一次检测数学试卷

2025-2026安徽省省示范临涣中学 高二下学期第一次检测数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的： 1. 的展开式共12项，则等于（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的性质易得. 【详解】因为的展开式有项， 由，可得． 故选：C. 2. 已知，则等于（ ） A. 1 B. 4 C. 1 或 3 D. 3 或4 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数的性质计算可得. 【详解】因为，所以或， 解得或，经检验符合题意. 故选：C 3. 已知张同学射击中靶的概率为0.6，现给他10次射击机会，若击中靶子得5分，未击中靶子扣2分，记张同学10次射击完成后，总得分为，则的值为（ ） A. 30 B. 26 C. 22 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】10次射击中击中的次数为随机变量Y服从二项分布.先利用二项分布的期望公式先计算E(Y)，再计算E(X). 【详解】根据题意，击中的次数服从二项分布，所以， 所以. 故选：C. 4. 某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同的选法共有（ ） A. 26种 B. 84种 C. 35种 D. 21种 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知挑选5名队员参加比赛，种子选手必须在内，即需要的5名运动员已经确定2名，只要从余下的7名非种子队员中选择3个即可，利用组合数写出结果． 【详解】从7名非种子队员中选出3人有（种）选法． 故选：C． 5. 已知随机变量，且，则的值为（　　） A 0.2 B. 0.4 C. 0.7 D. 0.35 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性，即可求值. 【详解】因为随机变量，则正态分布曲线的对称轴为， 所以，即， 故选：B 6. 已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为．若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得样本中心，代入回归直线方程，即可求解. 【详解】因为，，所以，， 因为，且过点，所以，解得. 7. 设随机变量的分布列如表所示，且，则（ ） 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A. 0.2 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.4 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率和为1以及列方程组求解a、b即可． 【详解】由分布列的性质得，①， 又由，得②， 由①②解得， ． 故选：C． 8. 某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率加法公式和条件概率公式计算即可. 【详解】设考生甲答对第一道题和答对第二道题分别为事件，只答对一道题为事件，甲通过测试为事件， 则 ， ， 则在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错0分） 9. 已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】根据题意，随机变量分布列为， 则有，解得， 则， ． 故选：ABC. 10. 甲盒中有4个红球和3个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，这些球除颜色外其他都相同，分两次从盒子中取球，第一次从甲盒中随机取出1个小球放入乙盒中，第二次再从乙盒中随机取出2个小球.记事件表示从甲盒中取出的小球是红球，事件表示从甲盒中取出的小球是白球，事件表示从乙盒中取出2个颜色相同的小球，事件表示从乙盒中取出2个颜色不同的小球，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件概率公式和组合数可得A；由独立事件的乘法公式结合组合数可得B错误；利用条件概率公式和组合数可得C；由全概率公式结合组合数可得D 【详解】由题意可得，，则，A正确. ，B错误. ，C正确. ，D正确. 故选：ACD. 11. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（ ） A. 第10行所有数字的和为1024 B. C. 第9行所有数字的平方和等于 D. 若第行第个数记为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合二项式系数和计算判断A；根据组合数的性质计算判断B；结合的展开式的系数的关系判断C；根据第行的第个数为，结合逆用二项式定理化简求解判断D. 【详解】对于A，在杨辉三角中，第10行的所有的数字之和为，正确； 对于B：由公式得： ，错误； 对于C，在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字， 即， 因为 对应相乘可得的系数为， 而二项式展开式的通项公式，， 当时，，则的系数为， 所以， 所以第9行所有数字的平方和等于，正确； 对于D，第行的第个数为， 所以 即，正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在如图所示的电路图中，开关a，b，c正常工作的概率分别为，且是相互独立的，则灯亮的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用相互独立事件同时发生乘法公式，结合对立事件来求解即可. 【详解】设“开关a，b，c正常工作”分别为事件，由题意可知事件是相互独立的， 则灯亮这一事件为，所以 故答案为：. 13. 甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，采用5局3胜制（先胜3局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则在已知甲最终获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】在已知甲最终获胜的条件下，甲第一局获胜的情况有甲分别以3：0，3：1，3：2获胜，求出对应的概率，然后计算甲最终获胜的概率，最后根据条件概率公式计算即可. 【详解】由题意可得，在已知甲最终获胜的条件下甲第一局获胜的情况有 ①甲以3：0获胜，概率为； ②甲以3：1获胜，概率； ③甲以3：2获胜，概率为. 所以甲最终获胜的条件下甲第一局获胜的概率为. 甲获胜的总概率为. 所以条件概率为. 故答案为：. 14. 已知直线中的a，b，c是取自集合中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是_________． 【答案】11 【解析】 【分析】设倾斜角，由，对分情况讨论，利用计数原理计算即可． 【详解】设倾斜角为，，则，不妨设，则， 若，a有2种取法，b有2种取法，排除1个重复(与)，故这样的直线有条； 若，a有2种取法，b有2种取法，c有2种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有条， 从而，符合要求的直线有条． 故答案为：11． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙二人各自独立地破译一份密码，甲破译密码成功的概率为0.5，乙破译密码成功的概率为0.6，且两者结果相互独立，请回答下列问题： （1）求甲和乙同时成功破译密码的概率； （2）求密码被成功破译的概率． 【答案】（1）0.3 （2）0.8 【解析】 【分析】（1）由独立乘法公式即可求解； （2）由独立乘法公式、对立概率公式即可求解. 【小问1详解】 设甲破译成功为事件A，设乙破译成功为事件B， 两人都破译成功则为； 【小问2详解】 密码未被破译成功的概率， 所以密码被破译成功的概率为. 16. 为研究某市高三年级学生身高和性别的关系，随机抽取了名高三年级学生，得到如下列联表： 性别 身高 合计 低于 不低于 女 男 合计 （1）求列联表中的、的值；将样本频率视为概率，若在全市高三学生中随机抽取人，其中不低于的人数记为，求的期望． （2）依据小概率值的独立性检验，分析高三年级学生的身高是否与性别有关． 附：， 【答案】（1），， （2）有关 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据可得出、的值，分析可知，利用二项分布的期望公式可得出的值； （2）零假设为高三年级学生的身高与性别无关，计算出的观测值，结合临界值可得出结论. 【小问1详解】 由题意，，， 样本中抽取的不低于的学生的频率为， 将样本频率视为概率，若在全市高三学生中随机抽取人， 其中不低于的人数记为，则，所以． 【小问2详解】 零假设为高三年级学生的身高与性别无关， 由（1）可知， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即该市高三年级学生的身高与性别有关． 17. 有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同． （1）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； （2）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大． 【答案】（1） （2）该球是取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大 【解析】 【分析】（1）设相应事件，结合全概率公式运算求解即可； （2）根据（1）中数据，结合条件概率公式以及贝叶斯公式运算求解即可. 【小问1详解】 设事件表示“球取自号箱”（），事件表示“取到红球”， 则，， 可得， 所以取到红球的概率为. 【小问2详解】 由条件概率知：， ， ， 因为，故该球是取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大． 18. 将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中． （1）有多少种放法？ （2）每盒至多一球，有多少种放法？ （3）恰好有一个空盒，有多少种放法？ （4）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ （5）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 【答案】（1）256；（2）24；（3）144；（4）8；（5）12. 【解析】 【分析】（1）根据分步乘法计数原理即可求解. （2）利用排列数即可求解. （3）利用组合数以及分步乘法计数原理即可求解. （4）利用组合数以及分步乘法计数原理即可求解. （5）首先在4个盒子中选出1个，放入2个小球，再在剩下的3个盒子中，任选2个，分别放入1个小球，根据组合数以及分步乘法计数原理即可求解. 【详解】（1）根据题意，每个小球有4种放法，则4个小球有44＝256种放法， （2）根据题意，每盒至多一球，即每个盒子都只能放1个球，有＝24种放法， （3）根据题意，分2步进行分析：在4个球中任选2个， 放入1个盒子中，有＝24种放法， 在剩下的3个盒子中，任选2个， 放入剩下2个两个小球，有＝6种放法，则有6×24＝144种放法； （4）根据题意，分2步进行分析：在4个小球中任选1个， 放入编号相同的盒子中，有＝4种放法， 剩下3个小球放入编号不同的盒子中， 有2种放法，则有4×2＝8种不同的放法， （5）根据题意，在4个盒子中选出1个，放入2个小球，有4种选法， 在剩下的3个盒子中，任选2个，分别放入1个小球，有＝3中选法， 则有4×3＝12种不同的放法． 19. 乒乓球作为我国的“国球”，一直以来都深受广大人民群众的喜爱．某学校高三年级将要举办乒乓球比赛，为更好备战，甲、乙、丙三位选手练习打乒乓球，每局均分胜负，第一局甲、乙对打，丙轮空，此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，每局双方获胜的概率相同，每局的结果相互独立． （1）求前五局中甲恰好参与了四局的概率； （2）若至多进行12局练习，且如果有选手先获得6局胜利则提前结束练习，记总共练习局数为，求的分布列与期望． 【答案】（1） （2） 6 7 8 9 10 11 12 . 【解析】 【分析】（1）将前五局中甲恰好参与了四局的情况列出来求解即可； （2）写出的取值并求出它所对应的概率，再列表格代入期望公式即可. 小问1详解】 记＂前五局中甲恰好参与了四局＂为事件，记某选手获胜为＂√＂，失利为＂×＂， 轮空为＂＂，则甲在前五局中恰好参与四局的情况有如下四类： （1），第五局一定参与，概率为； （2），第五局一定参与，概率为； （3），第五局一定参与，概率为； （4），第五局一定轮空，概率为； 故所求概率为． 【小问2详解】 为总共练习局数，则可取， 因为除第一局之外，任何选手轮空之前必为失利，获胜之后必不轮空， 即＂×◯＂在一名选手对局结果中会相邻出现（除第一局为和最后一局为＂×＂之外）. 则丙不会在第局结束之后刚好赢得6局（因为丙第一局为＂＂， 最后一局需要丙自己获胜，则前面的对局过程必会有数对的相邻＂×◯＂）， 同理甲、乙不会在第局结束之后刚好赢得6局，且前11局至多只会有1人胜满6局． 故时是以甲或乙获胜结束（甲、乙情况相同）， （甲在第8局获胜，意味着甲在此前的比赛中胜5场负1场. 因负1场必轮空1场，故甲共参赛7场。甲必须赢得第8局，因此他不能在第7局失利. 所以甲的唯一一场失利发生在第1至第6局中的某一局，共6种情况）， 同理，时是以丙获胜结束， 同理,,， 所以，故的分布列如下： 6 7 8 9 10 11 12 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026安徽省省示范临涣中学 高二下学期第一次检测数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的： 1. 的展开式共12项，则等于（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 2. 已知，则等于（ ） A. 1 B. 4 C. 1 或 3 D. 3 或4 3. 已知张同学射击中靶的概率为0.6，现给他10次射击机会，若击中靶子得5分，未击中靶子扣2分，记张同学10次射击完成后，总得分为，则的值为（ ） A. 30 B. 26 C. 22 D. 18 4. 某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同的选法共有（ ） A. 26种 B. 84种 C. 35种 D. 21种 5. 已知随机变量，且，则的值为（　　） A 0.2 B. 0.4 C. 0.7 D. 0.35 6. 已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为．若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 设随机变量的分布列如表所示，且，则（ ） 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A. 0.2 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.4 8. 某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错0分） 9. 已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ） A. B. C. D. 10. 甲盒中有4个红球和3个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，这些球除颜色外其他都相同，分两次从盒子中取球，第一次从甲盒中随机取出1个小球放入乙盒中，第二次再从乙盒中随机取出2个小球.记事件表示从甲盒中取出小球是红球，事件表示从甲盒中取出的小球是白球，事件表示从乙盒中取出2个颜色相同的小球，事件表示从乙盒中取出2个颜色不同的小球，则（ ） A. B. C. D. 11. 南宋数学家杨辉所著《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（ ） A. 第10行所有数字和为1024 B. C. 第9行所有数字的平方和等于 D. 若第行第个数记为，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在如图所示的电路图中，开关a，b，c正常工作的概率分别为，且是相互独立的，则灯亮的概率是__________. 13. 甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，采用5局3胜制（先胜3局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜概率为，且各局比赛的结果相互独立，则在已知甲最终获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是___________． 14. 已知直线中的a，b，c是取自集合中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙二人各自独立地破译一份密码，甲破译密码成功的概率为0.5，乙破译密码成功的概率为0.6，且两者结果相互独立，请回答下列问题： （1）求甲和乙同时成功破译密码的概率； （2）求密码被成功破译的概率． 16. 为研究某市高三年级学生身高和性别的关系，随机抽取了名高三年级学生，得到如下列联表： 性别 身高 合计 低于 不低于 女 男 合计 （1）求列联表中的、的值；将样本频率视为概率，若在全市高三学生中随机抽取人，其中不低于的人数记为，求的期望． （2）依据小概率值的独立性检验，分析高三年级学生的身高是否与性别有关． 附：， 17. 有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同． （1）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； （2）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大． 18. 将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中． （1）有多少种放法？ （2）每盒至多一球，有多少种放法？ （3）恰好有一个空盒，有多少种放法？ （4）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ （5）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 19. 乒乓球作为我国的“国球”，一直以来都深受广大人民群众的喜爱．某学校高三年级将要举办乒乓球比赛，为更好备战，甲、乙、丙三位选手练习打乒乓球，每局均分胜负，第一局甲、乙对打，丙轮空，此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，每局双方获胜的概率相同，每局的结果相互独立． （1）求前五局中甲恰好参与了四局的概率； （2）若至多进行12局练习，且如果有选手先获得6局胜利则提前结束练习，记总共练习局数为，求的分布列与期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $