1.4 第2课时 三角形三边的垂直平分线及作图 课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件） 1.4 第2课时 三角形三边的垂直平分线及作图 第一章 三角形的证明 授课教师： Home . 班 级： 八年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月4日 北师大版数学八年级下册1.4 第2课时 三角形三边的垂直平分线及作图 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 本套练习题围绕“三角形三边的垂直平分线及作图”核心内容设计，侧重三角形三边垂直平分线的性质（交点到三个顶点距离相等）、尺规作图步骤，以及性质与作图的综合应用，贴合本节课重难点，助力掌握三角形三边垂直平分线的特点，能规范完成尺规作图，运用性质解决线段相等、最值等问题，规避作图步骤不规范、性质应用混淆等常见错误。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 三角形三边垂直平分线的交点叫做三角形的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 2. 下列关于三角形三边垂直平分线的性质，正确的是（ ） A. 三角形三边垂直平分线的交点到三边的距离相等 B. 三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 C. 锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部 D. 钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部 3. 用尺规作三角形三边的垂直平分线时，用到的基本作图是（ ） A. 作一条线段等于已知线段 B. 作一个角等于已知角 C. 作线段的垂直平分线 D. 作角的平分线 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 任意三角形三边的垂直平分线都相交于一点 B. 直角三角形三边垂直平分线的交点在斜边上 C. 三角形三边的垂直平分线有三条，且永不相交 D. 三角形三边垂直平分线的交点一定在三角形内部 5. 已知△ABC的三边垂直平分线相交于点P，若PA=5cm，则PB、PC的长度分别为（ ） A. 5cm，5cm B. 4cm，5cm C. 5cm，6cm D. 无法确定 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 三角形三边的垂直平分线相交于________点，这个点叫做三角形的________，它到三角形三个________的距离相等。 2. 尺规作线段垂直平分线的步骤：①分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段长度________的长为半径作弧，两弧交于两点；②过这两点作________，即为线段的垂直平分线。 3. 锐角三角形的外心在三角形________；直角三角形的外心在________；钝角三角形的外心在三角形________。 4. 已知△ABC的外心为点O，若OA=6cm，则△ABC外接圆的半径为________cm，OB=________cm。 5. 若一个三角形的三边垂直平分线的交点与这个三角形的一个顶点重合，则这个三角形是________三角形。 三、解答题（每题10分，共20分） 1. 作图与计算（写出作图步骤或完整解题过程）。 （1）用尺规作△ABC三边的垂直平分线，保留作图痕迹，指出其外心O； （2）已知△ABC中，AB=AC=8cm，BC=6cm，求△ABC三边垂直平分线交点O到点A的距离； （3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，求△ABC的外心到点C的距离。 2. 辨析题：判断下列说法或作图、解题过程是否正确，若不正确，请改正并说明错误原因（结合本节课知识点）。 （1）判断：三角形的外心到三角形三边的距离相等； （2）作图：用尺规作线段AB的垂直平分线时，以A、B为圆心，以等于AB长度的长为半径作弧，两弧交于两点，过两点作直线即为垂直平分线； （3）解题：已知△ABC的外心O在三角形外部，且OA=5cm，求BC的长度。解：∵O是△ABC的外心，∴OB=OC=OA=5cm，故BC=5cm。 四、拓展题（10分） 已知△ABC的三边垂直平分线相交于点O，OD⊥AB于点D，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，求证：OD=OE=OF（提示：结合线段垂直平分线性质和全等三角形判定求解）。 五、应用题（10分） 某工地有A、B、C三个钢筋堆放点，现要搭建一个材料仓库P，使仓库P到A、B、C三个堆放点的距离相等，用尺规作出仓库P的位置（保留作图痕迹），并说明理由；若AB=12m，BC=10m，AC=8m，求仓库P到A点的距离（结果保留根号）。 参考答案提示：一、1.B 2.B 3.C 4.A 5.A；二、1.一，外心，顶点 2.一半，直线 3.内部，斜边中点，外部 4.6，6 5.直角；三、1.（1）作图步骤：①分别作AB、BC、AC的垂直平分线（尺规作图，保留弧痕），三条垂直平分线的交点即为外心O；（2）连接AO、BO、CO，设AD⊥BC于D，BD=3cm，AD=√(8²-3²)=√55cm，设AO=xcm，OD=(√55 - x)cm，由BO²=OD²+BD²，得x²=(√55 - x)²+3²，解得x=37√55/55 cm；（3）直角三角形外心在斜边中点，故外心到C的距离=1/2AB=5cm；2.（1）不正确，改正：三角形的外心到三个顶点的距离相等，到三边距离相等的是内心，错误原因：混淆外心与内心的性质；（2）不正确，改正：应以大于AB长度一半的长为半径作弧，错误原因：半径过短，两弧无法相交或交于一点；（3）不正确，改正：仅知道OA=OB=OC=5cm，无法直接求出BC的长度，需结合三角形边长或角度计算，错误原因：误用外心性质；四、证明：∵O是△ABC的外心，∴OA=OB=OC，又∵OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∴OD、OE、OF分别是AB、BC、AC的垂直平分线的一部分，∴AD=BD，BE=CE，AF=CF，由HL定理可证Rt△AOD≌Rt△BOD，Rt△BOE≌Rt△COE，故OD=OE=OF；五、作图：作△ABC三边的垂直平分线，交点即为仓库P（保留作图痕迹），理由：三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等；连接PA、PB、PC，PA=PB=PC，设PA=xcm，结合勾股定理和三角形边长，可求得PA=√(208/3) = 4√42/3 m（具体计算可结合垂直平分线和勾股定理分步求解）。 2026年4月4日星期六8时17分22秒 2026年4月4日星期六8时17分28秒 情境导入 C N M B A 前面我们用尺规作出了满足一定条件的直角三角形。 a c 那么，你能用尺规作出满足一定条件的等腰三角形吗？ 尺规作图 1 尝试交流： (1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗? 如果能，能作几个? 所作出的三角形都全等吗? (2) 已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？ 梳理上述作图过程，请你总结“已知底边和底边上的高，用尺规作这个等腰三角形”的方法和步骤。 已知：线段 a，h. 求作：△ABC，使 AB = AC，BC = a， 高 AD = h. l D C B a h A 作法：1. 作线段 BC = a； 2. 作线段 BC 的垂直平分线 l 交 BC 于点 D； 3. 在 l 上作线段 DA，使 DA＝h . 4. 连接 AB，AC. 则△ABC 为所求的等腰三角形. 思考交流 还记得用尺规过直线 l 上一点 P 作 l 的垂线的方法吗？这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题。如果点 P 在直线 l 外呢？此时，还能运用这种转化的方法吗？请你试一试，并与同伴进行交流。 3. 作线段 AB 的垂直平分线 m. 2. 以点 P 为圆心，以 PQ 的长为半径作弧，交直线 l 于 A，B. B A 作法： ● P C D l m 1. 任取一点 Q，使点 Q 与点 P 在直线 l 两旁. 直线 m 就是所要作的直线. Q 已知直线 l 和线外一点 P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P. 例2 已知：如图，在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线 PD 与边 BC 的垂直平分线 PE 相交于点 P。 求证：边 AC 的垂直平分线经过点 P。 B C A P D E 分析：要证明点 P 在边 AC 的垂直平分线上，需要什么条件？ 已知的两条垂直平分线相交于点 P，由此你能得到哪些相关的结论？ 三角形三边的垂直平分线的性质 2 证明：如图，连接 PA，PB，PC。 ∴点 P 在 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)， ∴ PA = PB = PC。 ∴PA = PB，( 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 )。 同理，PB = PC。 ∵点 P 在 AB 的垂直平分线上， B C A P D E 即边 AC 的垂直平分线经过点 P。 应用格式： ∵ 点 P 为 △ABC 三边垂直平分线的交点， ∴ PA = PB = PC． A B C P 归纳总结 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 1.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置. 锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内； 直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边中点处； 钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外. 试一试 1．如图，已知线段a，h，作等腰三角形ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h。 张红的作法是：①过点B作射线BE， 截取BC＝a；②作线段BC的垂直平分线 MN，MN与BC相交于点D；③在直线MN上截取线段h； ④连接AB，AC，△ABC为所求作的等腰三角形。 上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是(　　) A．① B．② C．③ D．④ C 返回 中考考法 11 2．如图，在△ABC中，∠C＝40°，根据作图痕迹可知∠DBC的度数为(　　) A．100° B．80° C．50° D．40° D 返回 中考考法 12 3．(4分)西安模拟如图，已知线段a，b，求作以3a为底边、以b为底边上的高的等腰三角形。(不写作法，保留作图 痕迹) 解：如图，△ABC即为所作。 返回 中考考法 13 4．[滨州模拟]观察如图的作图痕迹，所作CD为△ABC的(　　) A．中线 B．高线 C．角平分线 D．AB的垂直平分线的一部分 B 返回 中考考法 14 5．(4分)如图，在△ABC中，∠B＝40°。请利用尺规在边BC上求作一点P，使得∠BAP＝50°。(保留作图痕迹，不写作法) 解：点P如图所示。 返回 中考考法 15 6．[清远模拟]如图，三角形三条边的垂直平分线相交于一点P，则以下结论正确的是(　　) A．AB＝PB B．BC＝AC C．AC＝AP D．PA＝PB＝PC D 返回 中考考法 16 7．如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，∠PAC＝22°，∠PCB＝33°，则∠PAB的度数是(　　) A．33° B．35° C．37° D．39° B 返回 中考考法 17 8．(8分)如图，A，B，C表示三个村庄，AB＝1 000 m，BC＝600 m，AC＝800 m，拟建一个文化活动中心P，要求这三个村庄到活动中心P的距离相等。 (1)∠ACB的度数为________； 90° 中考考法 18 (2)求活动中心P到村庄A的距离。 解：由(1)可知△ABC是以AB为斜边的直角三角形，要使活动中心P到这三个村庄的距离相等，则易得活动中心P的位置应在斜边AB的中点处，故活动中心到村庄A的距离为500 m。 返回 中考考法 19 C 返回 中考考法 20 10．在△ABC中，∠ACB为钝角，用直尺和圆规在边AB上确定一点D，使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是(　　) C 返回 中考考法 21 12 返回 中考考法 22 1. 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. A B C P l1 l2 l3 2. 已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形. 9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点A、点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连接BD， 则△BCD的周长为(　　) A．7 B．8 C．10 D．12 11．[广安中考]如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧相交于点F；③画射线AF交BC于点E。 若∠C＝2∠B，BC＝23，BD＝13， 则AE的长为________。 $