1.4 第2课时 三角形三边的垂直平分线-（配套课件）【鼎成中考·活页好题】2025-2026学年新教材八年级下册数学（北师大版2024）

第2课时 三角形三边的垂直平分线 北师版八年级数学下册 4 线段的垂直平分线 第一章 三角形的证明及其应用 新课导入 作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么？ P 三条边的垂直平分线相交于一点P 新课探究 例 2 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. P A B C 已知：如图，在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线与边 BC 的垂直平分线相交于点 P. 求证：边 AC 的垂直平分线经过点 P，且 PA = PB=PC. 证明：∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线上， ∴ PA = PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）. 同理，PB = PC. ∴PA = PB = PC. ∴ 点 P 在线段 AC 的垂直平 分线上（到一条线段两个端点的 距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）， 即 边 AC 的垂直平分线经过点 P. P A B C 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 议一议 （1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？ A1 D C B A a h ( ) D C B A a h A1 D C B A a h A1 可以画出无数个三角形 （2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？ 可以画出无数个三角形 （3）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？ 这样的等腰三角形能作两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧. 例 3 已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形. 已知：如图，线段 a，h. 求作：△ABC，使 AB = AC，且 BC = a，高 AD = h. a h 作法： （1）作线段 BC = a. （2）作线段 BC 的垂直平分线 l，交 BC 于点 D. （3）在 l 上作线段 DA，使 DA = h. （4）连接 AB，AC. △ABC为所求的等腰三角形. B C D A l 10 做一做 已知直线 l 和 l 上的一点 P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P.　 A B m 你明白这个作法吗？ A B P m l P l 如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢？说说你的作法，并与同伴交流. A B m P l 议一议 随堂演练 1. 如图，在△ABC 中，已知 AC = 27，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 50，求 BC 的长. A B E D C 解：∵ DE 为 AB 的垂直平分线， ∴ AE = BE. ∴△BCE的周长为 d = EC + BE + BC = EC + AE + BC = AC + BC = 27 + BC = 50. ∴ BC = 23 . A B E D C 2. 分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置. 在三角形内 在斜边中点 在三角形外 3. 如图，在△ABC 中，BC = 2，∠BAC ＞ 90°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 F ，请找出图中相等的线段，并求出△AEF 的周长. A B C E F A B C E F 解：AE = BE，AF = CF. （线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） ∴ AE + EF + AF = BE + EF + CF = BC = 2 4. 如图，已知线段 a，求作以 a 为底边、以 a 为高的等腰三角形，这个等腰三角形有什么特征？ 1 2 A B P a a 1 2 这个等腰三角形的 顶角是直角 5. 已知：△ABC 中，AB = AC，AD 是 BC的中线，AB 的垂直平分线交 AD 于 O. 求证：OA = OB = OC. A B C D O 证明：∵AB = AC， AD 是 BC 的中线， ∴AD 垂直平分 BC（等腰三角形三 线合一）. ∵AB 的垂直平分线与AD交于点 O， ∴OB = OC = OA（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）. A B C D O 课堂小结 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，作这个等腰三角形： 课后作业 1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $