1.1 第1课时 三角形内角和定理（课件）--2025--2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件） 1.1 第1课时 三角形内角和定理 第一章 三角形的证明 授课教师： Home . 班 级： 八年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月4日 北师大版数学八年级下册1.1 第1课时 三角形内角和定理 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 本套练习题围绕“三角形内角和定理”核心内容设计，侧重定理的理解、证明思路辨析及简单应用，贴合本节课重难点，助力掌握三角形内角和为180°的核心结论，能运用定理求三角形未知内角的度数，理解定理的推导过程（平行线辅助线的运用），规避角度计算、定理应用中的常见错误。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 三角形内角和定理的内容是（ ） A. 三角形的任意两个内角之和大于第三个内角 B. 三角形的任意两个内角之和等于第三个内角 C. 三角形的三个内角之和等于180° D. 三角形的三个内角之和等于360° 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 锐角三角形的三个内角都是锐角，且和为180° B. 直角三角形的内角和大于180° C. 钝角三角形的内角和小于180° D. 任意三角形的内角和都不等于180° 3. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，则∠C的度数为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 4. 下列选项中，不能作为三角形内角和定理推导依据的是（ ） A. 平角的度数为180° B. 平行线的性质（两直线平行，内错角相等、同位角相等） C. 三角形的任意两边之和大于第三边 D. 邻补角的和为180° 5. 在△ABC中，∠A=∠B=45°，则△ABC的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 三角形内角和定理：任意三角形的三个内角的和等于________°。 2. 推导三角形内角和定理时，常用的辅助线做法是：过三角形的一个顶点作其对边的________，利用平行线的性质将三个内角转化为一个________，从而证明定理。 3. 在△ABC中，∠A=50°，∠B比∠C大20°，则∠B=________°，∠C=________°。 4. 直角三角形的两个锐角之和为________°；钝角三角形的两个锐角之和________90°（填“＞”“＜”或“=”）。 5. 若一个三角形的三个内角之比为1:2:3，则这个三角形是________三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）。 三、解答题（每题10分，共20分） 1. 运用三角形内角和定理，求下列三角形中未知角的度数（写出完整步骤）。 （1）在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，求∠C的度数； （2）在△ABC中，∠A=∠C，∠B=100°，求∠A和∠C的度数； （3）在Rt△ABC中，一个锐角为35°，求另一个锐角的度数。 2. 辨析题：判断下列说法或解题过程是否正确，若不正确，请改正并说明错误原因（结合三角形内角和定理）。 （1）判断：一个三角形的三个内角分别为50°、60°、70°，符合三角形内角和定理； （2）解题：在△ABC中，∠A=20°，∠B=30°，求∠C的度数。解：∠C=180°-20°-30°=130°，所以△ABC是锐角三角形； （3）推导：证明三角形内角和为180°时，过顶点A作EF∥BC，则∠B=∠EAB，∠C=∠FAC，因为∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°，所以∠B+∠BAC+∠C=180°，该推导正确。 四、拓展题（10分） 已知在△ABC中，∠A比∠B小20°，∠C比∠A大40°，求△ABC三个内角的度数，并判断△ABC的形状。 五、应用题（10分） 一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，第三个内角是60°，求这个三角形的三个内角的度数，并说明该三角形的形状。 参考答案提示：一、1.C 2.A 3.C 4.C 5.B；二、1.180 2.平行线，平角 3.75，55 4.90，＜ 5.直角；三、1.（1）∠C=180°-40°-70°=70°；（2）∠A=∠C=(180°-100°)÷2=40°；（3）另一个锐角=90°-35°=55°；2.（1）不正确，改正：50°+60°+70°=180°，符合三角形内角和定理（原说法未判断和为180°，表述不完整）；（2）不正确，改正：∠C=130°，△ABC是钝角三角形，错误原因：混淆锐角三角形与钝角三角形的定义；（3）正确；四、设∠A=x°，则∠B=(x+20)°，∠C=(x+40)°，x+(x+20)+(x+40)=180，解得x=40，故∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°，△ABC是锐角三角形；五、设较小的内角为x°，则另一个内角为2x°，x+2x+60=180，解得x=40，三个内角分别为40°、80°、60°，该三角形是锐角三角形。 2026年4月4日星期六8时17分5秒 2026年4月4日星期六8时17分7秒 方法二：折叠法 1 1 2 2 3 3 方法三：拼凑法 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来证明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 如果不实际移动角，通过什么方式来改变角的位置呢？ 剪拼折叠角的目的什么？ 构造平角 1 三角形的内角和定理的证明 A B C 已知：如图，△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 如何改变角的位置构造平角？ 延长 BC 到 D，过点 C 作射线CE∥BA 分析： E D 这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线. 证一证 证法1：延长 BC 到 D，过点 C 作 CE∥BA， 则∠1 =∠A (两直线平行，内错角相等)， ∠B =∠2 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°(平角的定义)， ∴∠A +∠B +∠ACB = 180° (等量代换). A B C E D 1 2 三角形内角和定理 三角形的内角和等于 180°. 在△ABC 中，∠A +∠B +∠C = 180°. 几何语言： 知识要点 A B C 你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗? 求证：∠A +∠B +∠C = 180°. 已知：△ABC . 证法2：过点 A 作 l∥BC， 则∠B =∠1，∠C =∠2 (两直线平行，内错角相等). ∵∠1 +∠2 +∠BAC = 180° (平角的定义)， ∴∠B +∠C +∠BAC = 180° (等量代换). 1 2 证一证 A B C 证一证 C B A E D F 证明：过点 D 作 DE∥AC，DF∥AB. ∴∠C =∠1，∠B =∠3 (两直线平行，同位角相等). ∠A+∠AED=180°，∠AED+∠2=180° (两直线平行，同旁内角互补). ∴∠A=∠2(等量代换). ∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义)， ∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换). 1 2 3 求证：∠A +∠B +∠C = 180°. 已知：△ABC . 思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？ 借助平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m 1 2 A B C 例1 如图，在△ABC 中，∠B = 38°，∠C = 62°，AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数. A C B D 解：在△ABC中，∠B +∠C +∠BAC = 180° (三角形内角和定理). ∵∠B = 38°，∠C = 62°， ∴∠BAC = 180° - 38° - 62° = 80°. ∵ AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD = ∠CAD = ∠BAC = ×80° = 40°. 在△ADB 中，∠B +∠BAD +∠ADB = 180° (三角形内角和定理). ∵∠B = 38°，∠BAD = 40°， ∴∠ADB= 180° - 38° - 40°= 102°. A C B D 解：∵ DE⊥AB，所以∠FEA＝90°． 在△AEF 中，因为∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. 又∵ ∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. 则在△CDF 中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°. 【练一练】如图，△ABC 中，D 在 BC 的延长线上，过 D 作 DE⊥AB 于 E，交 AC 于 F. 已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 思考：我们已经证明了 SSS，ASA，SAS 的成立，怎么用这些定理证明 AAS 成立呢？ 已知： 在△ABC 和△DEF 中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF. 求证：△ABC≌△DEF. A C B D F E 证明：在△ABC 中，∠A +∠B +∠C＝180°， ∴∠C＝180°－∠A－∠B. 同理，∠F＝180°－∠D－∠E. 又∵∠A＝∠D，∠B＝∠E， ∴∠C＝∠F. 2 全等三角形的判定和性质 ∠B＝∠E， BC＝EF， ∠C＝∠F， ∴△ABC≌△DEF (ASA). 在△ABC 和△DEF 中， A C B D F E 问题1：AAS 和 ASA 有什么联系？ 问题2：AB 和 DE 有什么关系？AC 和 DF 呢？ 根据三角形内角和定理，已知两个角可以推出另外一个角的大小，因此证明AAS 成立可以转化为 ASA 的证明. AB＝DE， AC＝DF 定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（ AAS ） 根据全等三角形的定义，我们可以得到 全等三角形的对应边相等、对应角相等. 【知识要点】 1．如图，在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝60°，则∠C的度数为(　　) A．65° B．75° C．85° D．95° C 返回 中考考法 15 2．[唐山月考]如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠AEB＝60°，则∠D的度数为(　　) A．30° B．40° C．50° D．60° A 返回 中考考法 16 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为(　　) A．50° B．60° C．70° D．80° C 返回 中考考法 17 4．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝4∠C，则∠C＝________。 20° 返回 中考考法 18 5．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，若∠B＝70°，∠C＝ 30°，则∠BAE的度数是________。 40° 返回 中考考法 19 6. 数学课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和等于180°。下面是小彬的课堂笔记，请阅读操作方法，补全证明过程。 中考考法 20 如图①，△ABC的三个内角分别为∠1，∠2，∠3。将∠2和∠3撕下，按图②的方式摆拼，使∠2和∠3的顶点均与∠1的顶点重合，∠2的一边与AB重合，∠3的一边与AC重合。 中考考法 21 证明：由操作可知∠B＝∠2， ∴AD∥BC(________________________)。 同理，∠C＝∠3，∴________∥________。 ∵经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴点D，A，E在同一条直线上， ∴∠DAE＝________°， 即∠1＋________＋________＝________。 内错角相等，两直线平行 返回 AE BC 180 ∠2 ∠3 180° 中考考法 22 7．(8分)[教材P44复习题T1变式]如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝50°。 中考考法 23 (1)求∠C的度数； (2)若∠BDE＝30°，DE∥BC交AB于点E，求∠BDC的度数。 解：∵∠A＝70°，∠ABC＝50°， ∴∠C＝180°－∠A－∠ABC＝180°－70°－50°＝60°。 解：∵DE∥BC，∠BDE＝30°，∴∠CBD＝∠BDE＝30°。 又∵∠C＝60°， ∴∠BDC＝180°－∠CBD－∠C＝180°－30°－60°＝90°。 返回 中考考法 24 8．如图，AB与CD相交于点O，且OA＝OB，添加下列选项中的一个条件，不能判定△AOC≌△BOD的是(　　) A．OC＝OD B．∠A＝∠B C．AC＝BD D．AC∥BD C 返回 中考考法 25 9．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，∠A＝∠ECF，若AB＝4，CF＝3，则BD的长为(　　) A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 B 返回 中考考法 26 10．[邯郸模拟]如图，∠POQ＝70°，直线l与OP，OQ都相交(不经过点O)，随着直线l位置的改变，α，β的度数之和(　　) A．始终等于70° B．始终等于100° C．始终等于110° D．随着直线l位置的改变而改变 C 返回 中考考法 27 11．如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为点E，BE交AD于点O。若∠CBD＝31°，则∠BOD的度数为(　　) A．118° B．111° C．101° D．62° A 返回 中考考法 28 12．如图，△ABC的顶点A在△CDE的边DE上，若AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3，则DE等于(　　) A．BC B．AB C．DC D．AE＋AC B 返回 中考考法 29 三角形的 内角和定理 全等三角形的判定和性质 三角形的内角和定理 $