冲顶实战演练（四）-【真题密卷】2025年高考数学考前冲顶实战演练

密 2024一2025学年度考前冲顶实战演练 卺题 数学（四） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知命题p:Hx>2,x2一sinx<cosx,则命题p的否定为 () A.Hx≤2，x2-sinx≥cosx B.Hx>2,x2-sinx≥cosx C.]x≤2，x2-sinx≥cosx D.]x>2,x2-sinx≥cosx 2.若之·(2-i)=3+2i,则之的虚部是 () 7 7 A.5 B. D.- 3.已知集合A={xx2-2ax<0},B= 任-0，老AUB=A,则a的取值范闲为 () Bg+∞ C.[1,+∞) D.(1,+∞) 4.将1,4,5,8四个数字分别填入如图所示的方格中（每个方格仅填1个数字，每个数字只 允许使用1次)，则两列的数字之和均为3的倍数的概率为 () A c 2 D. 5.定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,f(x+1)=f(3-x),且f(17)=1,则 f)= () i=1 A.-254 B.-1 C.1 D.254 数学试题（四）第1页（共4页） 真题密卷·考 6.法国数学家蒙日发现椭圆两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日 班级 圆”，它的圆心与椭圆中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.已 椭圆C:十21a>b>0)的蒙日圆方程为C:z2+y=6,点P为C'与y轴的 姓名 点，过点P作C的两条切线，切点分别为M,N,若MN=5,则C的离心率为（注。 得分 当直线与椭圆有且仅有一个公共点时，直线与椭圆相切) ( 号 1 B.2 3 C. 2 D. 2 1 1 7.已知a=ln6-ln5,b=1.11.c=es,则 () A.b<c<a B.6<a<c C.a<c<b D.a<b<c 8.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中√3(bcos C+ccos B)= atanA,a≤b,若点M满足B7=BC,且AM=2,则a的最小值为 () A号 367 B.7 C.7 8√7 D.7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知正数a,b满足2a十b=4,则 A.0<a<2 B.ab≤1 c+83+9 D.4a2+b2≥8 4 10.已知甲、乙两人进行电子竞技比赛，比赛结果只有输赢两种情形，在第一局比赛中，甲 获胜的概率为3，从第二局比赛开始，若前一局比赛甲获胜，则下一局比赛甲再次获胜 3 的概率为4，若前一局比赛乙获胜，则下一局比赛甲获胜的概率为，以此类推，记第 局比赛中，甲获胜的概率为Pm,则 AP:=品 B.当n为奇数时，乙获胜的概率比甲大 7 C.当n为偶数时，P.≤12 D.随着比赛的局数越多，甲获胜概率越大 奇冲顶实战演练 数学试题（四）第2页（共4页） 11.已知抛物线C:z2=2py(p>0)的焦点为F,A(x14),B(x24M三点均在C上，且 A,B在第一象限，直线AF与BF关于y轴对称，则 A.p=4 B.若D(1,1),则|MF|+|MD的最小值为2 C.直线L过点0，-）且与直线AF平行，则点M到直线L的距离的最小值为 D.延长MF交C于点N,若Md-2MN,过点Q作C准线的垂线，垂足为P,则Pp MN 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量m=(3,一2)，n=(1,入)，若m⊥(3m一2n),则入= 13.已知3sin(a+β)sin(a-β)=1，则sin2a-sin3= 14.已知正方体ABCD-ABCD',球0与正方体的各面均恰有-个公共点，其体积为经 若将球O1放入正方体与球O的空隙中，则球O1表面积的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知数列{an}的前n项和为Sm,其中Sn=2”十n2一1，数列{bm}满足bn=am -2m-1. (1)证明：数列{bn}为等差数列. bm,n为奇数， (2)若cm= 求数列{cn}的前n项和Tn 3n+2,n为偶数， 16.(15分)M市举办了一次中学生法律知识竞赛，现将M市某区所有参加竞赛的学生的 成绩按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，得到如图所 示的频率分布直方图， 个频率组距 0.030 0.024 0.020 m 0.006 0.004 成绩 0405060708090100 (1)记该区参加竞赛的所有学生的成绩的平均数为a,求m与a的值； (2)以频率估计概率，若在该市所有中学生中随机抽取4人，记竞赛成绩在[40,80)的 人数为X,求X的分布列以及数学期望E(X). 数学试题（四）第3页（共4页） 真题密卷 17.(15分)如图(1)，在平面四边形ACBD中，BA⊥BC,BA=BC,E,F分别为AC,AB 的中点，将△DAB沿AB翻折至△PAB,如图(2)，使PE⊥AB. 图(1) 图(2) (1)证明：平面PEF⊥平面PAB. (2)若AC=22,BP=PE-AB,求直线AP与平面PEB所成角的正弦值， 18.(17分)已知函数f(x)=er-en (1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程. (2)若a=1,求F(x)=f(x)-ex的极值. (3)若ea+1<0,证明：f(x)>ea 19.(17分)定义：若椭圆C1的长轴的两个端点与双曲线C2的两个顶点重合，且C1,C2的 离心率互为倒数，则称曲线C1,C2为“互通曲线”.已知椭圆C1:x2+5y2=4与双曲线 C2为“互通曲线” (1)求C2的渐近线方程， (2)C2的左、右顶点分别为A,B,直线1过点(4,0)与C2交于P,Q两点，直线BP, AP,BQ的斜率分别记为k1,k2,k3· (1)判断1·(k2一k3)是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。 (i)设直线AP,BQ交点为E,△EPQ,△EAB的面积分别记为S1,S2,当S1= 2S2时，求直线1的方程. 考前冲顶实战演练 数学试题（四）第4页（共4页）真题密卷 考前冲顶实战演练（四） 参考答案及解析 2024一2025学年度考前冲顶实战演练数学（四） 一、选择题 f'(x)<0,f(x)单调递减，则f(0.1)<f(0)=0,故a 1.D【解析】命题“Hx>2,x2-sinx<cosx”的否定为 <b,则a<b<c. “]x>2,x2-sinx≥cosx” 8.B【解析】由正弦定理，得√5(sin Bcos C+sin Ccos B) 2.A【解析】依题意，：=3+2：-3+2)2+i》4 2-i(2-i)(2+i)=5+ =√3sinA=sin Atan A,则tanA=√3，因为0<A<π， 故：的庭都无写 7 故A-而Ai-号A访+号A亡，则a-(层+ 3.B【解析】依题意，A={xx(x一2a)<0},B={x2< 君A心)，*理得6十4c+2次c=360:南余孩定里得 x≤3}，因为AUB=A,故B二A,则需2a>3,解得 3 a72 6+e-灰-@是可科，兽-++微- 62+c2-bc 4.D【解析】1,4,5,8四个数字总的填法有A4=24种， 4()'+2(8)+1 其中满足条件填法的有CAA?X2=16种，故所求概 6=t,则fe)=42+2+1 ()-()+1 t2-t+1,因 率P=162 2431 为a≤b,则a2≤b2,故b2+c2-bc≤b2,则c≤b,故0< 5.C【解析】依题意，f(x)为奇函数，又f(x十1)= f(3-x),即f(x+1)=-f(x-3),故f(x+1)+ 1,又fa)=4+,%21令6-3=z-3x f(x-3)=0,则f(x十4)十f(x)=0,所以f(x)= 36x 3),则f()=4+x+27,当x=0时，f()=4:当x≠0 -fx十40=fx十8)，故8为f(x)的一个周期，则2f(i)= f(1)+f(5)+f(2)+f(6)+f(3)+f(7)+f(4)+ 时@)=4+写+g+-12. 27x+ x x+ f(8)=0,又f17)=f0=1,故登f6)=f0①)=1. 6.D【解析】由“蒙日圆”定义可知，PM⊥PN,由对称性 1fa7且04,2≤则e≥ 7,当x=3 可知，△PMN为等腰直角三角形，不妨设，点P在y轴 的正半轴，M,N分别在第一、二象限，记MN的中点为 时取等号，故。的最小值为 Qg1P01=25001-9kw) 二、选择题 故0<a<2,故A 8+解得a=4,6=2,则C的离心速为。 9ACD【解析】因为a>0, lb=4-2a>0, 正确；因为4=2a十b≥2√2ab,则ab≤2，当且仅当2a a2+b2=6, -6,即a=1,6=2时等号成立，放B候误；图为日十分 a 7D【解切]易知1.1-<0.2<<是 1 e下e,故b<c;令 -日+5)a+o=e+2+0)≥3+，s 2 且仅当√2a=b,即a=4-2√2，b=4√2-4时等号成 fe)-h2x+1》-+)+周f)-2z异 立，故C正确；2(4a2+b2)≥(2a十b)2=16,故4a2+b2 -2x3-3x2-2x ≥8，当且仅当2a=b,即a=1,b=2时等号成立，故D -1-十1)=2x+1)+1),故当x>0时， 正确. 数学答案（四）第1页（共4页）》 ·数学· 参考答案及解析 10.BC【解析】因为n≥2时，卫.=P.1十 3 18.号【解折】na十)血a-8)=n 2 cos2asinβ= 1-cos 2a 1+cos 28 1+cos 2a 2 2 2 1 》则 2 P- s29=号=2sr9-2sa,所以s8-s9=号 以-日为首项，为公比的等地数列藏卫.=号 14.(28-163)π【解析】若球O1表面积最大，则球O1与 以A1为出发，点的三个面和球O均有且仅有一个公共，点， 日·(》，故P,=品故A皓误：当n为专数 依题意，球O的半径为1，则AB=2.如图所示，研究截面 A1ACC1,分别过O和小球球心O1作A1C1的垂线，垂足 分别为K,H,则△A1OK△A1O1H,因为球O与小球 0,相切，球0半径为1，设小球0，的半径为，则二 %时卫，-+·（份》 单调递减，故D错误. -1-1,所以r=3-二1=2-，此时小球0，的表面 5 W3+1 11.BCD【解析】记点A关于y轴的对称点为A',由题 积为S=4π(2-√3)3=(28-163)元. 可知，A',F,B三点共线，设直线A'B:y=kx十，联 x2=2y, 立 之则-2px一p=0,则4×片 y=ka+2, (x1x2)2p2 4p2 =4,解得p=2,故A错误；过点M,D作准 线的垂线，垂足为M',D',则MF|+|MD|= 四、解答题 15.(1)证明：当n≥2时，an=Sn-Sm-1=2”十n2-1-[2-1 IMM1+MD|≥DD'1=2,当M1,4)时等号成 +(n-1)2-1]=2m-1+2n-1, 立，故B正确；直线AF的斜率为故直线1：y= 3 当n=1时，a1=S1=2,符合上式. 所以an=2m-1+2n-1, (3分) 2,则点M(m,n)到直线L的距离d= 3 bn=an-2m-1=2-1, (4分) 则bn+1一bn=2m+1-2m十1=2， (5分) 故数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列.(6分) 13m-4n-6l_|3m-m2-6l √32+(-4)了√32+(-4)7 5 (2)解：由(1)可知，cn= 2n-1,n为奇数， (7分) 3n十2，n为偶数， 3 3 ,当m=2时等号成立，故C正确；显然当MF与y +2-3)·2 当n为偶数时，Tn= 8+3+2)·号 轴垂直时D正确，当MF不与y轴垂直时，设 2 2 M(x3,y3),N(x4,y4),直线MN的斜率为'，则 -5n2+8n (9分) 十远=2'，则P(2',-1D,故km=一京，故友即· 1 4 2 当n为奇数时，Tn=Tm+1一cm+1= kMN=-1,PF⊥MN,故D正确. 56m+1)2+86a+1D-30u+1)-2-5m2+6m-7, 三、填空题 4 4 12.【解标】依题意，3m-2n=0,-6)-(2,2) (12分) (5n2+6n-7 ,n为奇数， (7,-6-2λ)，而m·(3m-2n)=21+12+4λ=0，解 4 故Tm= (13分) 得A=一33 15n2+8 4 4 ,n为偶数 数学答案（四）第2页（共4页） 真题密卷 考前冲顶实战演练（四） 16.解：(1)由图可知0.04+0.06+0.2+0.3+0.24+ 则E(0,1,0),B(1,0,0),P(0,0,2√2)，A(-1,0,0), 10m=1,解得m=0.016, (3分) (8分) 平均数a=45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3 所以EB=(1,-1,0),EP=(0,-1,22),AP= +85×0.24+95×0.16=76.2. (6分) (1,0,2√2)， (10分) （2)依题意，X~B,》: 设n=(x,y,x)为平面PEB的一个法向量， 则P(X=0) )-品 (x-y=0, 则 EB·n=0'即 EP.n=0, -y+22x=0, P(X=1)= 96 令x=1,则n=(22,22,1). (13分) 6251 设直线AP与平面PEB所成角为0，则sin0= P(X=2) c('() 216 6251 AP.n A可ImV7X3=i,即直线AP与平面 4√24√34 216 P(X=3) 6251 PEB所成角的正弦值为434与 (15分) P(X=4) 81 18.(1)解：依题意，fc)=e-eln工，则f'(x)=2e2:- x 0 2 3 4 e(1-In x) 16 96 216 216 81 (1分) P 625 625 625 625 625 x2 则f'(1)=2e2-e, (2分) (13分) 而f(1)=e2, (3分) 放EX)=4x号号 (15分) 故所求切线方程为y-e2=(2e2-e)(x-1), 17.(1)证明：因为E,F分别为AB,AC的中点，故EF∥ 即(2e2-e)x-y-e2+e=0. (5分) BC, (1分) (2)解：依题意，F(x)=e-eln工 x -ex,F'(x)= 因为AB⊥BC,所以AB⊥EF (3分) 又PE⊥AB,PE∩EF=E,PE,EFC平面PEF,故 (e*-e)+e(In z-1) (6分) x2 AB⊥平面PEF, （4分) 故当0<x<e时，F'(x)<0,F(x)单调递减； 因为ABC平面PAB,故平面PEF⊥平面PAB. 当x>e时，F'(x)>0,F(x)单调递增， (8分) (5分) 故当x=e时，F(x)有极小值F(e)=e(1-e)-1,无 (2)解：依题意，AB=BC=2,BP=PE=3,则EF= 极大值. (10分) FB=1,故△PFB≌△PFE,故∠PFE=∠PFB= PF-2. 3)证明：ea+1<0,即a<-, (7分) 故FB,FE,FP两两相互垂直，以FB为x轴，FE为 fr)>ea,即证e_enx-ea>0,即i证xer1 x y轴，FP为之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， Inx-ax>0, (11分) 个z 令ge)=ge-hx-a则ga)是a+a）· (xear-1-1), 设h(x)=xer-1-1,则h'(x)=(a.x十1)ex-1, (12分) 1 当0<x<-时，h'(z)>0,h(x)单调递增；当x> E -时，h'(x)<0,h(c)单调递减， 故h)=h(←-）=-(e+a)=- 1 c(ae +1)<0, (13分) 数学答案（四）第3页（共4页）》 ·数学· 参考答案及解析 又x>0,故当0<x<-时，g'(x)<0,g)单调递 12 a m2-4 3 减；当>时，g)>0,g)单调递增， 12m2 4” (8分) m2-4-2m 8m m4十4 放ge)-g(-）=-2e-1n(-)+1 xi」 2k1=y1 y=y4-1 1 (9分) =ag+la(-a)+1, x1+2‘x1-2-4-x-4-4’ (14分) 令-a=t,由ae2十1<0得-a>e2,故t>e2, 故：·0，-6)=e,-k:=子-（←）=1 ()-m()( 故1·(k2一3)为定值1. (10分) (i)由(2)可知，2my1y2=-3(y1+y2), (11分) o y1 k2 x1十2 y1(x2-2)=y1(my2+2) 故m(t)在(e2,十o∞)上单调递增， (16分) 因此 y2 y2(x1+2) y2(my1+6) 所以g(x)nmin=m(t)>m(e2)=0, x2-2 即f(x)>ea. (17分) myiy2+2y1 21+y2)+2y 1 3 2y1-2y2 x2,y2 19.解：1)依题意，C1:4+4 =1, (1分) myiy2+6y2 2y1+y2)+6y2 + 3 5 1 4 =一3，故k,=一3k2: (13分) x2 y2 设C:4一6=16>0)，则√1 /1+ =1, 设直线AP与直线BQ的方程分别为y=k(x十2)，y 4 =一3k(x一2)，联立两直线方程可得交点E的横坐 (2分) 标为1， 解得b2=1, (3分) 放C,:号-=1，其断近线方程为y= 2x.(4分) z|EP|·|EQ|·sin∠PEQ EPEQ S2 EA|·EB·∠AB EA EB (2)(i)设直线l:x=my+4,P(x1y1),Q(x2,y2), /x2 联立4-y=1·得m-)y+8my+12=0, x1-1.x?-1=(my1+3)(my2+3)l 3 1 x=my+4, =myiy2+3m01+y)+9l_ |-m2-12 (5分) 3 m2-4 =2, 由m2一4≠0且△>0，得m2≠4， 所以m2+12=±2(m2-4), (14分) 则y1十y=一 8m 12 m2-4y1y2= m2-41 (6分) 解得m=20或m=一号（合去)， yiy2 由m2=20得m=士2√5，满足m2≠4， x1-2`x2-2(my1+2)(my2+2) 故直线l的方程为x=士25y十4. (17分) yiy2 m2y1y2+2m(y1+y2)+4 数学答案（四）第4页（共4页）2024一2025学年度考前冲顶实战演练 数学（四) 姓名 准考证号 填涂范例 考场号： 正确填涂■ 错误填涂☑ ☒ 边 )①))①))①)① D D 座位号 B 333I3I33I33 缺考 (填涂说明：缺考考生由监考员用2B ④ 4④ 4④④4④4I4④4I4④ 4④ 姓名××× 准考证号×××××× 标记 口 铅笔填涂准考证号及左边缺考标记) I a 6 贴条形码区 图 I I (77 I a 开考15分钟以后，缺考考生由监考员粘贴条形码， 8 8]8 88I 8]8] 8 考场号×× 座位号×× 并用2B铅笔填涂上方的缺考标记 选择题 单项选择题 1AIB]C☒D 3 AB]C 5B田WD 7IB田I) 2四B围☑D 4AB CD 6团B围☑四 8四B☒四) 多项选择题 9AIB图C☒D 10AB☑四 11风☒☑四 非选择题 12 13 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸数学（四）第1页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 15.(13分) 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸数学（四)第2页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.(15分) E列 图(1) 图(2) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸数学（四）第3页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 18.（17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸数学（四)第4页（共5页） ■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.(17分) 擗 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸数学（四）第5页（共5页）2024一2025学年度考前冲顶实战演练 数学（四） 姓名： 准考证号 填涂范例 考场号： 正确填涂■ 错误填涂区 e 拉 MIM①II)I o0000000▣ 座位号 2] 2刀 33 K 3 B 33 B 4444=444号+4 姓名××× 准考证号×××××× 缺考 (填涂说明：缺考考生由监考员用2B ④ ④4④④4印4I4④4I44I 标记 铅笔填涂准考证号及左边缺考标记) 66 66 66 6 6 贴条形码区 (77 IIII刀 刀 刀 开考15分钟以后，缺考考生由监考员粘贴条形码， 88I 8I8I88I8 8 8 考场号×× 座位号×× 并用2B铅笔填涂上方的缺考标记 9 选择题 单项选择题 : IA ID 3☒团四 5IB田UI 7四B团U 2四B@D 4IB☒C) 6四围四 8四团D 多项选择题 9AB C 10因☒☑四 11四B四 非选择题 12 14 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸数学（四）第1页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 15.(13分) 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸数学（四)第2页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.(15分) E 图(1) 图(2) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸数学（四）第3页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 18.（17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸数学（四)第4页（共5页） ■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.(17分) 紫 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸数学（四）第5页（共5页）