2024-2025高三综合能力调研检测数学B版（四）-【真题密卷】2025年高考数学综合能力调研检测（B版）

·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2024一2025学年度综合能力调研检测 数学（四） 一、选择题 7.A【解析】如图，分别取BC,B1C1的中点M,N,连接 1.C【解析】=1十 1+2i 1+2i (1+2i)(-1-i) MN,由题意，设三棱锥D-ABC外接球心为O,则O在 -1+i(-1+i)(-1-i) 线段MN上，连接OC,OD,ND,因为三棱锥D-ABC &氢所以1-+-四 外接球的体积为36π，所以外接球的半径为R=3,因为 2 2.C【解析】因为x2+(4-a)x+7-2a≥0，所以x2+ AC=AB=4,∠CAB=2,所以CM=2E,所以OM 4x+7≥a(x+2),因为x∈(-2，+∞)，所以 =√32-(2√2)=1，因为A1A=3,所以0N=2,所以 2十20板成立，即x+2+子g≥0返成立，因 x2+4x+7、 3 ND=√OD2-ON2=√5.在△NC1D中，NC1=2√2， 为x+2+千2≥25，当且仅当x=月-2时等号成 3 ND=5,∠NCD=开，由余弦定理可得5=8+DC 立，所以a≤25. -2X2EDC1c0s年，解得DC,=1或DC,=3,因为E 3.B【解析】因为a⊥(a+2b),所以a2+2a·b=0,因 为棱A1C1的中点，所以DE=1. 为2a-b=√13，|b|=1,所以4a2-4a·b+1=13, N B C 所以a·b=-1. E D 4.C【解析】因为N(2,o2),P(≤)=P(传≥m), A 所以k十m=4,m2+2k2=(4-k)2十2k2=3k2-8k+ 0 16=3e-吉}广+积，则当长=音时，m十2张取最小值 B M 3 A 5.A【解析】设|AF1=x,则BF1|=2x,由椭圆的定 8.D【解析】g(x)=f(x)一ax至少有两个不同的零 义可得|AF2|=2a-x,|BF2|=2a-2x, 点，等价于y=f)与)=a至少有两个不同的公共 1 在△ABF,中，因为cos∠ABF,=3所以(2a-x)2=(3x) .1 +(2a-2x)2-2X3x·(2a-2x)X3,整理得2x2-ax 点.y=f(x) 2+2e<0. In x xx>0, 0,解符x=号，在△BF,F:中，2c)2=a2十a2-2a2· 1 3 当x<0时y=+)y=(2+是)e= 3Q2,所以离心率e=C=3 1 整理可得c2= a3· (2x-1)(x+1)e2 x 6.A【解析】因为3a62+6=2,所以a=2-6, 362,a2+ 若x∈(-∞，-1)，y'>0,fx) 单调递增；若x∈ 262=2+562 3b23≥212×5b-2v10 V362 、3=3,当且仅当b= （一1,0y<0,2单明适减，故f的板大值为日 x x 5,a2=40 w10 时取到最小值。 15 当>0时w兰2，者e0ey>0, B 数学答案（四）·第1页（共5页） 真题密卷 综合能力调研检测（四） nx单调递增；若x∈(e,十o∞)y'<0 n工单调递减， 对于B,当a>0时，要求2≥2，解得0<≤1；当4<0 故的极大值为】且x→一∞时 f(x)0x→+∞ 时，符合题意，所以若f(x)在(0,2)上单调递减，则 a∈(-∞，0)U(0,1],故B错误； f(x) 时，x →0，作出简图如下， 对于C,高a>0时，报大值为了0)=1-子由1-8 =0,得a=3; 当a<0时，框大值为f0)=1-2由1-总=0，得 a=3(舍)，故C正确； 对于D,当a=1时，f(x)=x3一3x2-2, 由图可知，当y=f)与)y=a至少有两个不同的公共 f(2-x)=(2-x)3-3(2-x)2-2=-x3+3x2-6, x 因为f(2-x)十f(x)=一8，所以曲线y-f(x)的对 1 点时，a≤。 称中心为(1，一4)，故D正确. 11.ABD【解析】对于A,抛物线的焦点为F(0,2),显然 二、选择题 直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx 9.BD【解折】f(x)=2 2sin sin(e+3）+1=1 +2, sin2x.对于A,f(x)的最小正周期为元，故A错误； (y=kx+2, 联立 x2=8y, 8x2-kx-2=0, 对于B,令2红=受+长k∈Z得z=至+经k∈Z,故 故x1x2=-16,y1y2= (x1x2)2 B正确； 64 =4,故A正确； 对于C,令2z=k,k∈乙，得2=经，k∈乙，所以 对于By-写y-子，过点M的切线方枢为y一 f)图象的对卷中心为1小，k∈Z,故C鳞误： 号红-z),令x=0得%=君 8=-y,所以y6十y 对于D,当e0时，2re0,引此时y=sn2z =0,故B正确； 单调递增，所以f)在0，上单润适减，故D正确 对于C,由B可知，切线方程为 4x-y-8 =0,点 10.ACD【解析】f'(x)=3ax2-6.x=3x(ax-2), x -2 8 若a>0,当x∈(-∞，0)时，f'(x)>0,f(x)单调递 F(0,2)到切线的距离为d 增：当x(层+o)时，')>0，f)单洞递增 V16+1 当x6,）时)<0，)单适成 √16十x,显然不是定值，故C错误； 对于D,由题知，MF|=y1十2，|PF|=2-yo,又 若a<0,当x∈(60，)时，f'(x)<0,f)单调递 y。十y1=0,所以|MF|=|PF|,即△PFM为等腰三 角形，故D正确. 减；当x∈（层，0）时，f'()>0,fx)单词递增；当 三、填空题 x∈(0，+∞)时，f'(x)<0,f(x)单调递减. 12.84【解析】设公差为d,因为a2十ag=a1,所以a1十 对于A,由题意可知a<0且2=-1，解得a=一2，故 d+a1+8d=a1+l0d,解得d=a1=3,所以S,= A正确； 7a,+75d=84 数学答案（四）·第2页（共5页） B ·数学· 参考答案及解析 13.一【解析】因为9∈ [,引，所以0+ 所以曲线y=f(x)在点(-1，f(-1)处的切线方程 6 为y+1=0×(x+1),即y=-1. (6分) [所以m+》小 因为cos29= (2)令g(x)=f'(x)=(x-a+l)e+1+a, 所以g'(x)=(x-a十2)e2+1,令g'(x)=0,得x= 6sin(0+日)+/sin20+4,所以cos20-3sin20- a-2, (8分) 若a-2>-1,即a>1,当x∈(-1，a-2)时， 6sin0+君）+4，即2cos20+）=6sin(0+）+4, g'(x)<0,g(x)单调递减； 即1-2sn(0+）=3sma+8）+2.即2sim(0+g)十 当x∈(a-2,十∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增. 又g(-1)=0,g(a)=ea+1+a>0,所以3xo∈ 3sin(0+）+1=0,解得sin(0+）=-2或 (-1,a),使得g(xo)=0. 所以当x∈(-1，xo)时，g(x)=f'(x)<0,f(x)单 调递减；当x∈(xo,十∞)时，g(x)=f'(x)>0, 14.480【解析】解法一：不妨设票的编号为1一7，王老师 f(x)单调递增，此时f(x)在（一1，+∞）上只有一个 先留下两张连续编号的票，剩下的5张票分成4份，其 极值点. (11分) 中1份是2张连号的票，然后分给4人.当王老师留下 若a一2≤-1，即a≤1，当x∈(-1，十∞)时， 编号为1,2或6,7的票时，共有4XA=96种分法； g'(x)≥0，g(x)单调递增， 当王老师留下编号为2,3或3,4或4,5或5,6的票 所以g(x)>g(-1)=0,所以f(x)单调递增，此时 时，共有3×A4=72种分法，由分步加法计数原理可 f(x)在(-1，十∞)上无极值点， (13分) 得共有2×96十4×72=480种分法. 综上，f(x)在区间（一1，十∞）上有唯一的极值点时， 解法二：不妨把这7张票分成5组，其中2组是2张连 实数a的取值范围是(1，十∞). (15分) 续的票，3组是单张票，共有4十3十2十1=10种分法. 17.(1)证明：在直角梯形ABCD中，AD∥BC,AD⊥ 再将2组连号的票拿出一组给王老师，有C种分法， CD,AD=4,BC=3,CD=3, 再将剩下4组进行全排列，由分步乘法计数原理可得 所以AB=2,BD=2√3，因为AD=4,AB2+BD2= 共有10XC2×A1=480种分法. AD2,所以AB⊥BD (2分) 四、解答题 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面 15.解：(1)因为p⊥q,所以bsin A十√3 acos B=0.(2分) ABCD=AB,BDC平面ABCD, 由正弦定理得sin Bsin A十√3 sin Acos B=0. 所以BD⊥平面PAB, (5分) 又sinA≠0，故tanB=-√3， (4分) 因为PAC平面PAB,所以BD⊥PA. (7分) 因为0<B<π，所以B=2 (6分) (2)解：以B为坐标原点，BA,BD为x,y轴正方向， 31 建立如图所示的空间直角坐标系， (8分) 1 (2)因为S=2 acsin B-= ac 1 P 2 4 所以ac=9, (9分) 由余弦定理得b2=a2十c2-2 accos B=(a十c)2- 2ac十ac,即40=(a十c)2-9,解得a十c=7,(12分) 所以△ABC的周长为a+b+c=7+2√10.(13分) 16.解：(1)当a=1时，f(x)=(x-1)e+1十x+2, D f'(x)=xe+1+1. (2分) f(-1)=-1,f'(-1)=0, (4分) 设四棱锥P-ABCD的高为a,则P(1,0,a), B 数学答案（四）·第3页（共5页） 真题密卷 综合能力调研检测（四） D.)c 所以当p∈o,号）时，fp)>0,fp)单调递增： 励-(goi-(12, 当p∈(？，1)时，f'p)<0,f(p)单调递减.(9分) 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z), 所以当=号时，了(0)取得最大值，了(p)的最大值为 n·CD=0, 3 则 即/2x+ 2y=0, )- (10分) n·pD=0, -x+23y-az=0, (ⅱ)由题可设每名进入决赛的学生获得的奖金为随机 令y=-3,则x=3,之=-7 a,即n= 变量Y,则Y=0,50,100,200. P(Y=0)=(1-p)3, 3,-3,-73) (11分) P(Y=50)=C8p(1-p)2, a P(Y=100)=C号2(1-p), 易知平面PAB的一个法向量为m=(0,1,0),(12分) P(Y=200)=p3, (13分) 因为平面PAB与平面PCD的夹角为 子，所以 所以E(Y)=0×(1-P)3+50Cgp(1-p)2+ 100C号p2(1-p)+200p3=50p(p2+3), n·m 3 π1 n m =cOS 32’ (13分) 所以4E(Y)≥325，即200p(p2+3)≥325，(14分) 147 12+ 整理得p+3D≥0，设pp)=少十9D-日0p< 13 解得a=7V2 4 即四楼锥PACD的高为 4 (15分) 1,则p'(p)=3p2十3>0，所以p(p)在(0,1)上单调递增， 18.解：(1)由题意得，甲同学答对题目个数X=0,1,2,3,4. 且（兮》=0，故不等式的解集为[日小，即力的取值花 (1分) PX=o)-8-0Px-1)-c9=8 C41 图为2小 (17分) C35’ 19.(1)解：设OP=OP'=r,∠POx=a,则x=rcos a, P(X=2)=CC、18 5,P(X-3)= C8C48 y=rsin a,∠P'Ox=0+a, C 35 '=rcos (0+a)=rcos 0cos a-rsin 0sin a= P(X=4)= 41 C70 x cos e-ysin 0, (2分) y'=rsin(@+a)=rsin Ocos a+rcos 0sin a=xsin 0+ 故X的分布列为 ycos 0, (4分) X 0 2 4 所以P'的坐标为(xcos0-ysin0,xsin0+y cos). 1 8 P 70 35 35 35 70 (5分) (2)解：设曲线xy=2上任意一点(x,y)在旋转角是 (5分) 由上述分析可知，甲同学进入决赛的概率为 的旋转变换下所得点坐标为(x',y'). 16,117 P(X=3)+P(X=4)=70+70-70 (6分) z'=xcos x' 2x-y), (2)(i)由题意知，f(p)=C号p2(1-p)=32-3p 由(1)可知 即 (0<p<1), y'=xsin 2(x十y), f'(p)=6饣-9p2=3p(2-3p), (7分) (8分) 2 令f'(b)=0,得p=3或p=0(舍)， 得y2-x=2xy=4,则 4一4=1，故所求曲线方 数学答案（四）·第4页（共5页） B ·数学· 参考答案及解析 程为--1 (10分) 所以，十=-2+-2 (3)证明：设直线1的方程为x=my十2，M(x1,y1), (my2+2)(y1-2)+(my1+2)(y2-2) N(x2,y2), T172 x=my+2, 2my1y2+(2-2m)(y1+y2)-8-2 由《 得(1-m2)y2-4my-8=0,(11分) y2-x2=4, x1X2 1-m,14分) 因为直线1与C有两个交点，所以1一m2≠0，△>0， k,k,=yy:-2(y十y)+4_m+1 4m 1x2 m-1, 故m2<2且m≠1，y1十y=1-m,yy= k1十k2=-1, (16分) 8 一1-m2x1x2=(my1+2)(my2+2)=m2y1y2十 tan(a十B)=1-k1k2 2m(y1+y2)+4=4. (12分) 因为M在第一象限，所以0<a<,至<9<开，所以 由题意知A(0,2), 设AM,AN的斜率分别为k1,k2, 至<a+9<,所以a+月-平为定值。 (17分) B 数学答案（四）·第5页（共5页）2024一2025学年度综合能力调研检测 数学（四） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1.已知x(1+i)=2+,则z= ( 2 A.2 B.2 c.vio 2 D.√10 2.Hx∈(-2，+∞)，x2+(4-a)x+7-2a≥0恒成立，则实数a的最大值为 A.3 B.3 C.23 D.6 3.已知向量a,b满足2a一b=√13，a⊥(a十2b),b=1,则a·b= A-名 B.-1 C.1 n 4.若随机变量5~N(2,o2),且P(5≤k)=P(⑤≥m),则m2+2k2的最小值为 34 A.8 B.10 D.3 5已知F,F,分别是椭圆C:十1(@>b>0)的左、有焦点，过F的直线与C交于一 A,B两点，且BF,=2AP,若c0s∠ABF2三则C的离心率为 ( c D. 6 6.已知实数a,b满足3a2b2十b4=2,则a2+2b2的最小值为 ( 2√10 .3 B.0 C.√10 D.4 3 数学试题（四）·第1页（共4页） 真题密卷·综 aesae nat a .在直三棱柱ABCA,BC中，AC=AB=4,∠CAB=2,AA=3,E为棱A,C的中点，D 班级 在棱A1C1上，若过三棱锥D-ABC四个顶点的球的体积为36π，则DE的长为 （) 姓名 A.1 B.2 C.2 D.1或2 (2x+1)ex,x<0, 8.已知函数f(x)= 若g(x)=f(x)一ax至少有两个不同的零点，则 得分 (In x,x>0, 实数a的取值范围是 A.(-∞，0] B.（-∞，0) c.(, 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知函数f)=2 esin sin+）+1,则 A.f(x)的最小正周期为2π B于()图象的对称轴为直线x=至+经k∈乙 kπ。 C.fx)图象的对称中心为(2,0k∈Z D.f(x)在0,4 上单调递减 0,已知函数fz)=ax3-3x2+1二，则下列说法正确的是 A.若f(x)的增区间为（一1,0），则a=一2 B.若f(x)在(0,2)上单调递减，则0<a≤1 C.若f(x)的极大值为0，则a=3 D.若a=1,则曲线y=f(x)的对称中心为(1，一4) 11.已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,过焦点F的直线1交C于M(x1,y1), N(x2,y2)两点，过点M作C的切线交y轴于点P(0,yo),则 () A.y1y2=4 B.y0+y1=0 C.点F到直线PM的距离为定值 D.△PFM为等腰三角形 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）》 12.记等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,a2十ag=a11,则S,= 13.当9e[分，引时，eos29=6sim0+5）+5sin20+4,则9-， 2’2 能力调研检测 数学试题（四）·第2页（共4页） B 14.川剧变脸是运用在川剧艺术中塑造人物的一种特技，是揭示剧中人物内心思想感情的 一种浪漫主义手法，王老师获得了川剧演出的7张连号的票，王老师自己留下了2张连 号的票，其余的票赠送给4位朋友，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票连号，那 么共有 种不同的分法.（用数字作答） 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知向量p=(sinA,√3a), q=(b,cosB),且p⊥9. (1)求B; 答b=20,且△ABC的面积为，求△ABC的 16.(15分)已知函数f(x)=(x一a)ex+1十ax十2. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点（一1，f(一1）)处的切线方程； (2)若f(x)在区间（一1，十∞）上有唯一的极值点，求实数a的取值范围. 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,平面ABCD为直角梯 形，AD∥BC,AD⊥CD,BC=3,CD=√3，AD=4. D B D (1)求证：PA⊥BD. (2)若PA=PB,平面PAB与平面PCD的夹角为，求四棱锥P-ABCD的高. ◇ 数学试题（四）·第3页（共4页） 真题密卷·综 18.(17分)某校举办了一次安全知识竞赛，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决 赛.预赛从8道题中任选4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰， (1)若这8道题中甲同学能答对其中4道，记甲在预赛中答对的题目个数为X,求X的 分布列并计算甲进入决赛的概率. (2)决赛需要回答3道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，奖励200元；若答对2 道题目则获得二等奖，奖励100元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部 答错则没有奖励.假定进入决赛的同学答对每道题目的概率均为p(0<p<1),且每 次答题相互独立， (ⅰ)记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为f(p),求f(p)的最大值； (ⅱ)某班共有4名学生进入了决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325 元，求此时力的取值范围. 19.(17分)在平面内，一个图形绕着一个定点转动一定的角度得到另一个图形的变化叫做 旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角.在平面直角坐标系xOy中，点 P(x,y)绕坐标原点O逆时针旋转0得到点P'(x',y'). (1)用x,y,0表示出P'的坐标 (2)曲线xy=2绕原点O逆时针旋转元得到曲线C,求C的方程. (3)由(2)得到的曲线C的上顶点为A,过点(2,0)的直线1与C的两支分别交于M,N 两点（不同于点A),且M在第一象限，若直线AM,AN的倾斜角分别为a,B,求 证：a十B为定值. 合能力调研检测 数学试题（四）·第4页（共4页）