2024-2025高三综合能力调研检测数学A版（四）-【真题密卷】2025年高考数学综合能力调研检测（A版）

·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2024一2025学年度综合能力调研检测 数学（四） 一、选择题 当a=0时，显然g(x)有两个零，点，不符合题意； 1+2i1+2i(1+2i)(-1-i) 1.C【解析】z=+0--1中-1+D(-1-D 当a<0时，y=f(x)和y=ax至多有一个公共点，不 符合题意； 所以=+(-四 2. 当a>0时，设y=ax与y=lnx相切于点A(xo,yo), 2.C【解析】因为x2+(4-a)x十7-2a≥0，所以x2+ 1 4x十7≥a(x+2),因为x∈(-2，十∞)，所以 ,所以 y=nx的导数为y'=1, -=a, 解得a= axo=In xo, 3 42≥a恒成立，即x+2十十2≥a恒成立，因 1 .1 ，由图可知，当0<a≤一时，g(x)至少有三个不同的 为x十2+3」 e 十2≥23，当且仅当x=5-2时等号成 零点 立，所以a≤25. 7.A【解析】如图，分别取BC,B1C1的中点M,N,连接 3.B【解析】因为a⊥(a十2b),所以a2+2a·b=0,因 MN,由题意，设三棱锥D-ABC外接球心为O,则O在 为|2a-b|=√13，|b|=1,所以4a2-4a·b+1=13, 线段MN上，连接OC,OD,ND,因为三棱锥D-ABC 所以a·b=-1. 外接球的体积为36π，所以外接球的半径为R=3,因为 4.C【解析】因为N(2,2),P(≤k)=P(≥m), 所以k十m=4,m2十2k2=(4-k)2+2k2=3k2-8k十 AC=AB=4,∠CAB=受，所以CM=2E,所以OM 16=3-号}+号则当0=号时m+2取最小值 =√32-(2√2)2=1，因为A1A=3,所以ON=2,所以 ND=√OD2-ONz=5.在△NC1D中，NC1=2√2， 5.A【解析】设AF1=x,则BF1=2x,由椭圆的定 ND=5,∠NC,D=4,由余弦定理可得5=8+DC 义可得|AF2|=2a-x,|BF2|=2a-2x, 在△AB那，中，周为m乙ABr,-号所以a-)P=( -2X22DC:c0s年，解得DC:=1或DC=3,因为E 为棱A1C1的中，点，所以DE=1. +(2a-2x)2-2X3x·(2a-2x)×写，整里得2x2-ax B,下 C 1 0,解得x=,在△BF,P:中，(2c)=a2+a2-2a2· E D 3' A 整理可得6=0，所以高心率8--写 a 3 6.D【解析】由题意，在同一坐标系中作出y=f(x)和 M y=ax的简图如下， A 8B【解析】由x=-2e得e+2z=0,由y n二》+1得y=ln(二y)+1=n(-y,即eg卫 e ey=0,设函数f(t)=e+t,f'(t)=e+1>0,所以 A 数学答案（四）·第1页（共5页） 真题密卷 综合能力调研检测（四） f(t)为增函数，因为f(2x)=f(ey),所以2x=ey,即 f(2-x)=(2-x)3-3(2-x)2-2=-x3+3x2-6, xe 因为f(2-x)十f(x)=一8，所以曲线y=f(x)的对 y 2. 称中心为(1，一4)，故D正确. 二、选择题 11.ABD【解析】对于A,抛物线的焦点为F(0,2),显然 9.BD【解析】f(x)=2 2sin xsin(e+3）十1=1 直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx +2, sin2x.对于A,f(x)的最小正周期为π，故A错误； 对于B,◆2x=智十6∈Z得x=晋+经∈Z,故 联立 =k虹+2”得 x2=8y, 8x2-x-2=0, B正确； 故x1x2=-16,y1y2= (x1x2)2 64 =4,故A正确； 对于C,令2x=k,∈Z,得x=,&∈乙，所以 于红)国象的对格中心为修经，1)，∈Z故C错误： 对于8y-看w 4,过点M的切线方程为y一一】 子红-，冷2=0得测= -8=一y1,所以y0十y 对于D,当x∈ ,时，2x∈0，引此时y=sin2 π =0,故B正确； 单调适增，所以f)在0，上单调道减，放D正确， 对于C,由B可知，切线方程为 xi 4x-y-8 =0,点 10.ACD【解析】f'(x)=3ax2-6.x=3x(ax-2), xi -2 若a>0,当x∈(-∞，0)时，f'(x)>0,f(x)单调递 8 F(0,2)到切线的距离为d= 2 增；当x∈（层，+）时，f'()>0,fx)单调递地， V16+1 当xo,）时，f')<0,fu)单羽递减。 √16十x,显然不是定值，故C错误； 对于D,由题知，|MF|=y1十2，PF|=2-yo,又 若a<0,当x∈(o,)时，f'(x)<0,fx)单调递 yo十y1=0,所以|MF|=|PF|,即△PFM为等腰三 角形，故D正确. 减；当x(层，0时，f')>0,fc)单词递增；当 三、填空题 x∈(0，十∞)时，f'(x)<0,f(x)单调递减. 12.84【解析】设公差为d,因为a2十ag=a11,所以a1十+ 对于A,由题意可知0<0且2=-1，解得a=一2，故 d+a1+8d=a1+l0d,解得d=a1=3,所以S,= A正确； 7a+75=-4 对于B,当e>0时，要求后≥2，解得0a≤1；当a<0 1-【解析】因为9∈【引，所以9+ 时，符合题意，所以若f(x)在(0,2)上单调递减，则 [三所以血0+）[，周为29 a∈(-∞，0)U(0,1],故B错误； 对于C,当a>0时，板大值为f0)=1-3,由1-3 6sing+8）+5sin20+4,所以cos20-万sin20- a a =0,得a=3; 6sin(0+g)+4,即2cos(20+5）=6sin(8+）+4, 当a<0时，框大位为f0)=1-2由1-是=0，符 即1-2sin(0+8)=3sim(0+8)+2,即2sir(0+)十 a=3(舍)，故C正确； 对于D,当a=1时，f(x)=x3-3x2-2, 3sin(0+）+1=0,解得sin(0+)=-2或 数学答案（四）·第2页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 m+）-1合)，所以9+音-一云即0=一子 g'(x)<0,g(x)单调递减： 当x∈(a-2,+o∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增. 14.480【解析】解法一：不妨设票的编号为1一7，王老师 又g(-1)=0,g(a)=e+1+a>0,所以]xo∈ 先留下两张连续编号的票，剩下的5张票分成4份，其 (-1,a),使得g(xo)=0. 中1份是2张连号的票，然后分给4人，当王老师留下 所以当x∈(-1，xo)时，g(x)=f'(x)<0,f(x)单 编号为1,2或6,7的票时，共有4×A=96种分法； 调递减；当x∈(xo,十∞)时，g(x)=f'(x)>0, 当王老师留下编号为2,3或3,4或4,5或5,6的票 时，共有3XA=72种分法，由分步加法计数原理可 f(x)单调递增，此时f(x)在（一1，十∞）上只有一个 得共有2×96十4×72=480种分法. 极值点. (11分) 解法二：不妨把这7张票分成5组，其中2组是2张连 若a-2≤-1，即a≤1，当x∈(-1，+∞)时， 续的票，3组是单张票，共有4十3+2+1=10种分法 g'(x)≥0，g(x)单调递增， 再将2组连号的票拿出一组给王老师，有C种分法， 所以g(x)>g(-1)=0,所以f(x)单调递增，此时 再将剩下4组进行全排列，由分步乘法计数原理可得 f(x)在(-1，十∞)上无极值点 (13分) 共有10×C2×A4=480种分法. 综上，f(x)在区间（一1，十∞）上有唯一的极值点时， 四、解答题 实数a的取值范围是(1，十∞). (15分) 17.(1)证明：在直角梯形ABCD中，AD∥BC,AD⊥ 15.解：(1)因为p⊥q,所以bsin A+√3 acos B=0.(2分) 由正弦定理得sin Bsin A十√3 sin Acos B-0. CD,AD=4,BC=3,CD=√5， 又sinA≠0，故tanB=-√3， (4分) 所以AB=2,BD=2√3，因为AD=4,AB2+BD2= AD2,所以ABBD. (2分) 因为0<B<π，所以B=2 3 (6分) 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面 (8)因为S=cnB-c…日-9y5 ABCD=AB,BDC平面ABCD, 2 4Γ 所以BD⊥平面PAB, (5分) 所以ac=9, (9分) 因为PAC平面PAB,所以BD⊥PA, (7分) 由余弦定理得b2=a2十c2-2 accos B=(a十c)2一 (2)解：以B为坐标原点，BA,BD为x,y轴正方向， 2ac十ac,即40=(a+c)2-9,解得a+c=7,(12分) 建立如图所示的空间直角坐标系， (8分) 所以△ABC的周长为a+b+c=7+2√10.(13分) 16.解：(1)当a=1时，f(x)=(x-1)e+1十x+2, f'(x)=xe+1+1. (2分) f(-1)=-1,f'(-1)=0, (4分) 所以曲线y=f(x)在点(-1，f(-1)处的切线方程 为y+1=0×(x+1),即y=-1. (6分) D (2)令g(x)=f'(x)=(x-a+1)ex+1+a, 所以g'(x)=(x-a+2)e+1,令g'(x)=0,得x= 设四棱锥P-ABCD的高为a,则P(1,0,a), a-2, (8分) 若a-2>-1,即a>1,当x∈(-1，a-2)时， Do,a5oid号3d A 数学答案（四）·第3页（共5页） 真题密卷 综合能力调研检测（四） -(go币-(12- 令fp)=0,得力-号或力=0（合， 设平面PCD的法向量为n=(x,y,之)， 所以当p(0,号)时，f'(p)>0,f(p)单调递增； n·Cd=0, 3 3 则 即2x+ y=0, 当p∈（兮，1）时，f'p)<0,fp)单调递减.(9分) n·PD=0, -x+23y-az=0, 所以当力=号时，f(p)取得最大值，p)的最大值为 ,即n 令y=-3,则x=5,之=-75 f()- (10分) 3,-3, 73 (11分) a (ⅱ)由题可设每名进入决赛的学生获得的奖金为随机 易知平面PAB的一个法向量为m=(0,1,0),(12分) 变量Y,则Y=0,50,100,200. P(Y=0)=(1-p)3, 因为平面PAB与平面PCD的夹角为3，所以 P(Y=50)=C3(1-p)2, n·m 3 π1 n m 147 =cos3=2’ (13分) P(Y=100)=C3p2(1-p), /12+ P(Y=200)=p3, (13分) 所以E(Y)=0×(1-P)3+50Cgp(1-p)2+ 即四楼能PABD的高为' 解得a=7v2 (15分) 100C号p2(1-p)+200p3=50p(p2+3), 18.解：(1)由题意得，甲同学答对题目个数X=0,1,2,3,4. 所以4E(Y)≥325，即200p(p2+3)≥325，(14分) (1分) 整理得p+办品≥0，设p(p)=p十8D是.0<< 13 P(X=0)= -0PX-1S- C41 1,则p(p)=32+3>0,所以p(p)在(0,1)上单调递增， P(X=2)= CC_18 CiC 且9（分）=0，放不等式的解集为[合小，即p的取值范 C =35,P(X=3)= C Γ35 P(X=4) C41 固为日小 (17分) C=70 19.(1)解：由题意设双曲线C的方程为mx2-ny2=1, 故X的分布列为 因为A(2,2√3)，B(3,-2√2)在C上，所以 X 0 1 2 3 4 m=1, 1 8 18 8 1 4m-12n=1, 70 35 35 35 70 解得 1 3m-8n=1, m4' (5分) 由上述分析可知，甲同学进入决赛的概率为 所以C的方程为之学-1 (4分) PX=3)+PX=40-8+。- (2)(ⅰ)证明：由(1)可知C的渐近线方程为y=土2x. 70千70-701 (6分) 不妨设ln:y=4x十bm, (2)(i)由题意知，f(p)=C号p2(1-p)=3p2-3p x2、y2 (0<p<1), 联立 -4=1, 消去y可得12x2+8bnx十b号+4= f'(p)=6p-9p2=3p(2-3p), (7分) y=4x+b,; 数学答案（四）·第4页（共5页） A ·数学· 参考答案及解析 0,△=64b-48(b+4)>0,该方程有两个正根， (ⅱ)证明：由题意得P的坐标为(xm,xn),直线 26 根据韦达定理可得xM,十xN,= Mm+1Nm+1方程为y=4x一3.xm, 3 >0,IM.IN b员+4 12· (7分) x2-y2 =1, 4 联立 得12x2-24xmx十9x十4=0， 直线MnPm的方程为y一yM=一2(x一xM,）, y=4x-3xn, 而yM.=4xM,十bm,即y=一2x+6xM,十bm； 直线N,P。的方程为y一yN,=2(x一xN.),而yN,= 9x7+4 故xM+1十xN+1=2xm,xM+1xN+1 12, 4xNn+bn,即y=2x+2xN,十bn, (y=-2x+6xM +bn 3xM+1一xN+1 联立方程 ly=2x+2xN,+b, 得yPn=3xM.十xN, 由(i)知xm+1= (13分) 2 3xMn一xNn 故|OPm|2=2x员，|PnPm+12=2(xn+1-xn)2 十bm,xPn= (9分) 2 =2/3zM1一xN1_M1十xN+ 2 2 =2(xM+1-ZN1)2 xNn十bm=一bm一2xNn, -2(M+1+N)2-8MN1 =2(2xn)-8×9+4 122xg-8 3, (16分) In-IP 2 ”=-bn-2xNn 所以义=1，即点P1,P2,…,P.,…在定直线y=x上. 所以oP.-P.P=号即oP.3-PP2 (11分) 为定值. (17分) A 数学答案（四）·第5页（共5页）2024一2025学年度综合能力调研检测 数学（四）》 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1.已知z(1+i)=2+,则x= A图 B.√2 C.10 2 D.√/10 2.Hx∈(-2，十∞)，x2+(4-a)x+7-2a≥0恒成立，则实数a的最大值为 A.3 B.3 C.23 D.6 3.已知向量a,b满足2a-b=√13，a⊥(a+2b),b=1,则a·b= ( A- D.6 7 B.-1 C.1 4.若随机变量~N(2,o2),且P(传≤k)=P(传≥m),则m2十2k2的最小值为 32 34 A.8 B.10 C.3 D.3 x2 5,已知F,F,分别是椭圆C土1(a>b>0)的左、右焦点，过F,的直线与C交 A,B两点，且|BF,=2AR,若cos∠ABF:=了，则C的离心率为 () 1 3 2 C.3 6 D. 3 x-1,x≤0， 6.已知函数f(x) 若g(x)=f(x)一ax至少有三个不同的零点，则实数 In x,x>0, a的取值范围是 A.(0,e) B.(0,e] c(o.) 。1 D.0,e 数学试题（四）·第1页（共4页） 真题密卷·综 a=ge■ .在直三棱柱ABCA,BC中，AC=AB=4,∠CAB=2,AA=3,E为棱A,C的中点，D 班级 在棱A1C1上，若过三棱锥D-ABC四个顶点的球的体积为36π，则DE的长为 ( ) 姓名 A.1 6.2 C.2 D.1或2 8白x2x,乏=人1. e 。,则的值为 得分 A- C-2 e D.e 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知函数fe)=2snsm女+3+1.则 A.f(x)的最小正周期为2π B了G)图象的对称轴为直线x=至+经k∈乙 C.f(x)图象的对称中心为伦π，0） 20,k∈z Df(x)在0，习上单调递减 0已知函数f(z)=ax3-3x2+1二S,则下列说法正确的是 A.若f(x)的增区间为（一1,0），则a=一2 B.若f(x)在(0,2)上单调递减，则0<a≤1 C.若f(x)的极大值为0，则a=3 D.若a=1,则曲线y=f(x)的对称中心为(1，一4) 11.已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,过焦点F的直线l交C于M(x1,y1), N(x2,y2)两点，过点M作C的切线交y轴于点P(0,yo),则 () A.y1y2=4 B.yo+y1=0 C.点F到直线PM的距离为定值 D.△PFM为等腰三角形 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.记等差数列{am}的前n项和为Sm,a1=3,a2十ag=a1,则S,= 13.当0∈ 分2]时，cos29=6sin0+）+5sin20+4,则0= ππ 14.川剧变脸是运用在川剧艺术中塑造人物的一种特技，是揭示剧中人物内心思想感情的 一种浪漫主义手法，王老师获得了川剧演出的7张连号的票，王老师自己留下了2张连 号的票，其余的票赠送给4位朋友，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票连号，那 么共有 种不同的分法.（用数字作答） 能力调研检测 数学试题（四）·第2页（共4页） A 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知向量p=(sinA,W3a), q=(b,cosB),且p⊥q. (1)求B; 2)若b=210,且△ABC的面积为3求△ABC的周长 16.(15分)已知函数f(x)=(x-a)ex+1+ax十2. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(-1，f(-1))处的切线方程； (2)若f(x)在区间（一1，+∞）上有唯一的极值点，求实数a的取值范围. 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,平面ABCD为直角梯 形，AD∥BC,AD⊥CD,BC=3,CD=√3，AD=4. B D (1)求证：PA⊥BD, (2)若PA=PB,平面PAB与平面PCD的夹角为，求四棱锥P-ABCD的高. Y 数学试题（四）·第3页（共4页） 真题密卷·综 18.(17分)某校举办了一次安全知识竞赛，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决 赛.预赛从8道题中任选4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰。 (1)若这8道题中甲同学能答对其中4道，记甲在预赛中答对的题目个数为X,求X的 分布列并计算甲进入决赛的概率. (2)决赛需要回答3道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，奖励200元；若答对2 道题目则获得二等奖，奖励100元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部 答错则没有奖励.假定进人决赛的同学答对每道题目的概率均为p(0<p<1),且每 次答题相互独立. (ⅰ)记进人决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为f(p),求f(p)的最大值； (ⅱ)某班共有4名学生进入了决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325 元，求此时p的取值范围. 19.(17分)已知双曲线C过点A(2,2√5)，B(3,-2√2). (1)求C的方程. (2)若直线l1:y=4x+b1与C的右支交于点M1,N1,以线段M1N1为边向右侧作 △M1N1P1,其中M1P1,N1P1均与一条渐近线平行，得到点P1,再过点P1作与 l1平行的直线L2交C于M2,N2,以线段M2N2为边向右侧作△M2N2P2,其中 M2P2,N2P2均与一条渐近线平行，得到点P2,…,以此类推，可以得到一列点 P(x1y1),P2(x2y2),…,Pn(xm,ym),…,n∈N. (1)证明：点P1,P2,P3,…,Pm,…在定直线上. (i)证明：OPn2一PnPm+12为定值 合能力调研检测 数学试题（四）·第4页（共4页）