精品解析：江苏省扬州市梅岭集团2025-2026学年九年级第一次模拟考试数学试卷

2025-2026学年初三第一次模拟考试试卷 数学学科 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 的倒数是（ ） A. B. 2026 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，即乘积为1的两个数互为倒数，根据定义计算即可求解. 【详解】解：的倒数为 故选D. 2. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上运算法则；根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方的运算法则计算即可； 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 故选：． 3. 为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称与轴对称定义进行判断即可．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．中图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； C．中图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 4. 下列事件中，为必然事件的是（ ） A. 任意买一张电影票，座位号是偶数 B. 13个人中至少有2人的出生月份相同 C. 掷一枚骰子，向上一面的点数是7 D 抛掷一枚硬币，正面朝上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、任意买一张电影票，座位号是偶数是随机事件，故A不符合题意； B、13个人中至少有2人的出生月份相同是必然事件，故B符合题意； C、掷一枚骰子，向上一面的点数是7是不可能事件，故C不符合题意； D、抛掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，故D不符合题意； 故选：B． 5. 已知函数，则自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：， 解得． 6. 如图，在中，过、、三点的与相交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的对角相等可得，再由四边形是圆内接四边形，可得，得出的度数，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ． 7. 数轴上A、B、C三点分别对应实数a、b、c，点A、C关于点B对称，若a＝，b＝3，则下列各数中，与c最接近的数是（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】D 【解析】 【分析】先求得AB的长度，根据点A、C关于点B对称，即可得出BC的长，可得出点C所对应的实数，再进行估算即可． 【详解】解：∵A、B两点对应的实数是， ∴， ∵点A与点C关于点B对称， ∴， ∴点C所对应的实数是， 故选：D． 【点睛】本题考查了实数和数轴，两点之间线段的长度就是用右边点表示的数减去左边点表示的数，掌握无理数的估算方法是解本题的关键． 8. 如图，在中，，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，则长的最大值是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定点C与点E的运动轨迹，继而得到，当最大时，最大，当最小，最大，再进行计算最大值即可． 【详解】解：， ， 点是在以为直径的圆上运动． ，且是绕点旋转， 点是以点为圆心，以为半径的圆上运动． ， 当最大时，最大，即最小，最大． 如图，当与相切于点，且点在内部时，最小，最大． ， ， ， ， ， 此时，即的最大值为． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 据江苏省第七次全国人口普查结果显示，扬州市常住人口约为4559000人，将4559000用科学记数法表示为______． 【答案】4.559×106 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：将4559000用科学记数法表示为：4.559×106． 故答案为：4.559×106 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 10. 因式分解：a3－a=______． 【答案】a（a－1）（a + 1） 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键． 11. 若分式方程的解是，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0． 分式方程去分母转化为整式方程，将1代入整式方程即可求出值． 【详解】解：分式方程去分母得：， 由分式方程的解为， 代入整式方程得：， 解得：， 故答案为：． 12. 某正多边形的一个内角是其外角的两倍，则该正多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据正多边形的一个内角是其外角的两倍求出外角，结合多边形外角和直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵正多边形的一个内角是其外角的两倍， ∴外角度数是：， ∵， ∴该正多边形的边数是6， 故答案为：6； 【点睛】本题考查正多边形性质：每个内角（外角）都相等，多边形外角和． 13. 某圆锥的母线为4cm，底面半径为2cm，则圆锥的侧面积为_________cm2． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积=底面周长×母线长计算． 【详解】解：由题意得：圆锥侧面积=cm2． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积及扇形面积表达公式． 14. 已知代数式的值为3，则代数式的值为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，由题意可得，再将整体代入所求式子，结合完全平方公式计算即可得解． 【详解】解：∵代数式的值为3， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数性质的应用，几何意义及三角形面积与底、高的关系的应用是解题关键．延长交y轴于E，连接，根据矩形面积求出面积，再利用，求出面积，利用相似求出与的比，求出面积，即可利用几何意义求出k． 【详解】解：如图，延长交y轴于E，连接， ∵矩形的面积是8， ， ， ， ， ， ， ， 由几何意义得，， ， ， 故答案为：16． 16. 如图，在四边形中 ，，，以为圆心、为半径的弧恰好与相切，切点为，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设，由是的半径，，证明是的切线，而与相切于点， 由切线长定理得，，由 ，得，所以，则，求得，所以，再由即可求解． 【详解】解：连接， 设， ∵是的半径，， ∴是的切线， ∵与相切于点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，切线长定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 17. 如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H，得到，平分，，求出，然后证明出，得到，代数求出，，，然后证明出，得到，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H， ∵中，，，点是中点， ∴，平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 18. 如图，在四边形中，且为锐角，，当长取得最大时，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，等腰梯形的性质和判定，平行线的性质，二次函数的最值；先证明梯形和梯形是等腰梯形得到，，再利用平行线的性质得出，得出，设，，可得出与的函数关系，最后利用二次函数的最值，即可得出结果． 【详解】解：如图所示，过D作，交延长线于E，过B作，交延长线于F， ∵，，， ∴梯形是等腰梯形， ∴， ∵，， ∴梯形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，即当时，长取得最大． 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算、解不等式组 （1）计算：． （2）解不等式组 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算零次幂，特殊角度的三角函数值，负整数幂，再进行计算即可； （2）先分别求解两个不等式，再写出解集即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为：． 20. 先化简，再求值：，其中且为整数，请你选一个合适的整数并求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式．（选一个即可） 【解析】 【分析】根据分式混合运算法则计算即可化简，然后把符合题意的a的值代入化简式计算即可． 【详解】解： ， ∵，且为整数， ∴当时，原式；当时，原式．（选一个即可） 21. 某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表： 成绩统计表 组别 成绩x（分） 百分比 A组 B组 C组 a D组 E组 根据所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的成绩统计表中 ，并补全条形统计图； （2）这200名学生成绩的中位数会落在 组（填A、B、C、D或E）； （3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数． 【答案】（1）20，见解析 （2）D （3）估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）有300人 【解析】 【分析】本题主要考查了统计表和统计图的综合运用、用样本估计总体等知识．综合运用所学知识并且正确计算是解题的关键． （1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得a的值，进而可求出C组人数，补全条形统计图即可． （2）按照中位数的定义解答即可． （3）用总人数乘以D组人数所占百分比即可． 【小问1详解】 ， C组人数为：， 补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 ， ， ∴200名学生成绩的中位数会落在D组． 【小问3详解】 （人） 估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人． 22. 2026年春节档电影票房火爆，根据观众推荐，现甲、乙两人决定从以下3部电影中任意选一部观看，A：《惊蛰无声》，B：《飞驰人生》，C：《镖人》．每人只选择其中一种． （1）甲选择《飞驰人生》的概率是__________． （2）请用列表或画树状图的方法，求出甲，乙2人选择同一部电影的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有9种等可能的结果，甲、乙两人选择同一部电影的结果有3种，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：甲选择《飞驰人生》的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中，甲、乙两人选择同一部电影的结果有3种， ∴甲、乙两人选择同一部电影的概率为：． 23. “双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同． （1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ （2）由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，请你求出学校花钱最少的购买方案． 【答案】（1）跳绳和毽子的单价分别是8元，5元 （2）当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少 【解析】 【分析】此题考查了分式方程和一次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同．据此列出方程，解方程并检验即可； （2）设学校购买跳绳根，则购买毽子个，花费为，根据总花费列出函数解析式，要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，据此列不等式并解不等式求出的取值范围，根据一次函数的性质求出答案． 【小问1详解】 解：设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元， 由题意得：， 解得 经检验，是原方程的解 跳绳和毽子的单价分别是8元，5元； 【小问2详解】 解：设学校购买跳绳根，则购买毽子个，花费为， 由题意得， 跳绳的数量不少于毽子数量的3倍， ， ， ， 随着的增大而增大， 当时，有最小值， 当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少． 24. 如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明对角线互相平分，继而得到四边形是平行四边形，再由即可证明为矩形； （2）由矩形的性质得到，，得到二元一次方程组，求出，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴的长为10． 25. 如图，在直角三角形中，． （1）先作的平分线；设它交边于点，再以点为圆心，为半径作（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：与相切； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据要求作图即可； （2）过作垂直于，根据角平分线的性质定理得到，即可证明． 【小问1详解】 解：作图如下： 【小问2详解】 解：过作垂直于， 平分，，， ， 是的半径， 是的切线． 26. 某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用） （1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式； （2）求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？ （3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？ 【答案】（1）y=x2，z=﹣x+30；（2）W=﹣x2+30x，年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；（3）今年最多可获得1080万元的毛利润. 【解析】 【分析】（1）结合图象，利用待定系数法求出y与x以及z与x之间的函数关系式即可；（2）根据毛利润=销售额﹣生产费用可得w与x之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可；（3）令y=0，解方程求得x的值，根据图象结合y的取值范围，求得x的取值范围，再由二次函数的性质即可解答. 【详解】（1）图①可得函数经过点（100，1000）， 设抛物线的解析式为y=ax2（a≠0）， 将点（100，1000）代入得：1000=10000a， 解得：a=， 故y与x之间的关系式为y=x2． 图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20）， 设z=kx+b，则 解得： 故z与x之间的关系式为z=﹣x+30； （2）W=zx﹣y=﹣x2+30x﹣x2 =﹣x2+30x =﹣（x2﹣150x） =﹣（x﹣75）2+1125， ∵﹣＜0， ∴当x=75时，W有最大值1125， ∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元； （3）令y=360，得x2=360， 解得：x=±60（负值舍去）， 由图象可知，当0＜y≤360时，0＜x≤60， 由W=﹣（x﹣75）2+1125的性质可知， 当0＜x≤60时，W随x的增大而增大， 故当x=60时，W有最大值1080， 答：今年最多可获得毛利润1080万元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意构造二次函数模型，利用二次函数的性质解决问题是解此类题目的基本思路. 27. 定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“集团平衡点”．例如，点是函数的图象的“集团平衡点”． （1）在函数①，②，③，④的图象上，存在“集团平衡点”的所有函数是__________（填序号） （2）设函数与的图象的“集团平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值； （3）若将函数图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有1个“集团平衡点”时，求的坐标． 【答案】（1）③④ （2）的值为或或或0 （3） 【解析】 【分析】（1）在中，令得，方程无解，可知的图象上不存在“平衡点”；同理可得的图象上不存在“平衡点”， 和的图象上存在“平衡点”； （2）在中，令得，在中，令得，当时，，可得，，，分三种情况列方程可得答案； （3）设，求出抛物线的顶点为，而点关于的对称点为，可得旋转后的抛物线解析式为，令得，根据旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，知有两个相等实数根，故，，从而得的坐标为． 【小问1详解】 解：根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数， 在中，令得，方程无解， 图象上不存在“平衡点”； 在中，令得，方程无解， 的图象上不存在“平衡点”； 在中，令得， 可得， ， 则方程有解， 的图象上存在“平衡点”； 在中，令得， 可得 ， 则方程有解， 的图象上存在“平衡点”； 故存在“集团平衡点”的函数是③④； 【小问2详解】 解：在中，令得， 解得或， ， ； 在中，令得， 解得， ， 当时，， ，，， 若，则， 解得； 若，则， 解得或； 若，则， 解得或（此时，重合，舍去）； 的值为或或或0； 【小问3详解】 解：设， ， 抛物线的顶点为， 点关于的对称点为， 旋转后的抛物线解析式为， 在中，令得： ， ， 旋转后的图象上恰有1个“平衡点”， 有两个相等实数根， ，即， ， 的坐标为． 28. 如图1，数学探究：中，，，D是边的中点，是线段上的动点（不与点、点重合），边关于对称的线段为，连接． （1）当为等腰直角三角形时，求的大小． （2）如图2，延长，交射线于点． ①试探究的大小是否变化？如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由．②若，则的面积最大为__________，此时__________． 【答案】（1） （2）①不变，②， 【解析】 【分析】（1）由对称性质得，由三角形外角的性质得，即可求解； （2）①设，则，由对称性质得，由三角形外角的性质得，即可求解； ②点以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，过点作于，交优弧于点，连接，当时，即点位于点时，的面积最大，即可求解． 【小问1详解】 解：为等腰直角三角形， ， ， 边关于对称的线段为， ， ； 【小问2详解】 解：①的大小始终不变，大小为， 设，则， 边关于对称的线段为， ，， ， ， ， ， ； ②由①得， ， 点以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，如图，过点作于，交优弧于点，连接， 当时，即点位于点时，的面积最大， ， ，垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 面积最大值是， 此时，点的位置如图所示，过点作于， 则，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 【点睛】利用圆的基本性质找出点的运动轨迹和取得最值时点的位置是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年初三第一次模拟考试试卷 数学学科 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 的倒数是（ ） A. B. 2026 C. D. 2. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 3. 为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，为必然事件的是（ ） A. 任意买一张电影票，座位号是偶数 B. 13个人中至少有2人的出生月份相同 C. 掷一枚骰子，向上一面的点数是7 D. 抛掷一枚硬币，正面朝上 5. 已知函数，则自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 6. 如图，在中，过、、三点的与相交于点．若，则的值为（ ） A B. C. D. 7. 数轴上A、B、C三点分别对应实数a、b、c，点A、C关于点B对称，若a＝，b＝3，则下列各数中，与c最接近的数是（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 8. 如图，在中，，，线段绕点在平面内旋转，过点作垂线，交射线于点．若，则长的最大值是（ ） A. 4 B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 据江苏省第七次全国人口普查结果显示，扬州市常住人口约为4559000人，将4559000用科学记数法表示为______． 10. 因式分解：a3－a=______． 11. 若分式方程的解是，则________． 12. 某正多边形的一个内角是其外角的两倍，则该正多边形的边数为______． 13. 某圆锥的母线为4cm，底面半径为2cm，则圆锥的侧面积为_________cm2． 14. 已知代数式的值为3，则代数式的值为_________． 15. 如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，________． 16. 如图，在四边形中 ，，，以为圆心、为半径的弧恰好与相切，切点为，，则的值是______． 17. 如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 18. 如图，在四边形中，且为锐角，，当长取得最大时，则的值为__________． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算、解不等式组 （1）计算：． （2）解不等式组 20. 先化简，再求值：，其中且为整数，请你选一个合适的整数并求值． 21. 某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表： 成绩统计表 组别 成绩x（分） 百分比 A组 B组 C组 a D组 E组 根据所给信息，解答下列问题： （1）本次调查成绩统计表中 ，并补全条形统计图； （2）这200名学生成绩的中位数会落在 组（填A、B、C、D或E）； （3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数． 22. 2026年春节档电影票房火爆，根据观众推荐，现甲、乙两人决定从以下3部电影中任意选一部观看，A：《惊蛰无声》，B：《飞驰人生》，C：《镖人》．每人只选择其中一种． （1）甲选择《飞驰人生》的概率是__________． （2）请用列表或画树状图的方法，求出甲，乙2人选择同一部电影的概率． 23. “双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同． （1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ （2）由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，请你求出学校花钱最少的购买方案． 24. 如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 25. 如图，直角三角形中，． （1）先作的平分线；设它交边于点，再以点为圆心，为半径作（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：与相切； 26. 某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用） （1）请直接写出y与x以及z与x之间函数关系式； （2）求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？ （3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？ 27. 定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“集团平衡点”．例如，点是函数的图象的“集团平衡点”． （1）在函数①，②，③，④的图象上，存在“集团平衡点”的所有函数是__________（填序号） （2）设函数与的图象的“集团平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值； （3）若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有1个“集团平衡点”时，求的坐标． 28. 如图1，数学探究：中，，，D是边的中点，是线段上的动点（不与点、点重合），边关于对称的线段为，连接． （1）当为等腰直角三角形时，求的大小． （2）如图2，延长，交射线于点． ①试探究的大小是否变化？如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由．②若，则的面积最大为__________，此时__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $