精品解析：安徽淮北市第五中学2024-2025学年度第一学期期末考试高一数学试题

准北五中2024-2025学年度第一学期期末考试 高一数学学科试题卷 考试时间：120分钟 考试满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试题卷上无效. 3．考试结束后，将答题卷交给监考老师，试题卷保留. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 样本数据的分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据百分位数的定义可得结果. 【详解】将给定样本从小到大排列，得到： ，样本容量 . 计算分位数位置： , 根据高中百分位数的计算规则，若不是整数，将向上取整，对应位置的数据即为所求分位数。 此处向上取整为，对应排序后第3个数据，为. 所以样本数据的分位数为. 【点睛】 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，集合， 所以. 3. 掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（ ） A. 事件和事件是互斥但不对立事件 B. C. 事件和事件是对立事件 D. 以上均不对 【答案】C 【解析】 【详解】由互斥事件和对立事件的定义知，事件和事件互斥且对立，所以A错误，C正确， 又（必然事件），所以B错误. 4. 若“，”是真命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，再结合一元二次不等式恒成立的条件可得. 【详解】因为，”是真命题， 当时， 原不等式化为，对任意恒成立，符合题意； 当时 是二次函数，要使是对任意恒成立， 所以 ，即, 解得. 综上，的取值范围为. 【点睛】 5. 函数的大致图象为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将函数表达式化为，由函数奇偶性得到BC不正确，再由特殊值得到最终结果. 【详解】因为是奇函数排除，且当时，. 故答案为A. 【点睛】这个题目考查了已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限. 6. 某校为调查高一年级的某次考试的数学情况，选取高一年级甲班和乙班进行调查.若甲班学生数学成绩的平均数为90，方差为3，乙班学生数学成绩的平均数为81，方差为5，且甲乙两班的学生人数之比为，则这两班数学的总成绩平均分和方差分别为（ ） A. 85.5； B. ； C. 85.5； D. ； 【答案】B 【解析】 【详解】设两个班级的总人数为，则甲班的学生数为，乙班学生数为， 所以两班数学的总成绩平均分为， 两班数学的方差为. 7. 设，，，则，，的大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 且， 所以 8. 已知函数，若的零点个数为3，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，将问题转化成与的图象有个交点，作出的图象，数形结合，即可求解. 【详解】令，得到，令，因为的零点个数为， 则与的图象有个交点， 当时，，易知在区间上单调递增，又时，，且，所以当时，， 当时，，作出的图象，其图象如图所示， 由图知，. 二、多选题（本大题共4小题，在每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错的得0分共20.0分.） 9. 已知函数在R上严格单调递增，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由条件，可推得且，再结合单调性逐一分析选项. 【详解】因为，所以. 因为在R上严格单调递增， 所以. 选项A：例如，，满足， 但，故A错误. 选项B：由，得，即，故B正确. 选项C：由，得，即，故C错误. 选项D：由且，两式相加得：，故D正确. 10. 已知函数定义域为R，则的值可能为（ ） A. 5 B. 0 C. 8 D. 6 【答案】ACD 【解析】 【详解】因为函数定义域为R， 所以对恒成立， 若，则对不恒成立，故不符合题意； 若，则，解得， 所以的取值范围为. 11. 已知，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【详解】选项A. ，取，则， 则不成立，故选项A错误； 选项B. ，，，，故选项B正确； C.，，， ，，，，，，故选项C错误； D. ， ，，， ，故选项D正确. 12. 已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. C. 的单调递减区间为 D. 的值域 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.由求解；B. 根据函数为奇函数，由求解；C.利用指数函数的单调性求解；D.由时，，得到，再由是奇函数求解. 【详解】A.由，得，所以的定义域为，故正确； B. 因为函数是定义域为的奇函数，所以， 即，解得，经检验，符合题意，正确； C. 当时，，且在上递增，则在上递减， 所以在上递减，又是奇函数， 所以的单调递减区间为和，错误； D.由选项B可知，，当时，，则， 所以，又是奇函数，当时，， 所以的值域，正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【详解】令，则，得， 则函数的定义域为. 14. 写出一个同时满足下列条件（1）和（2）的幂函数：________． （1）在上单调递增 （2） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】设，因在上单调递增，所以， 由，得， 故，其中且，故符合题意. 15. 已知，，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】对所求式子变形，将，代入原式得：，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为， ， 则， 当，即，且等号成立， 解得，均满足， 因此的最小值为. 16. 已知函数在单调递增，则取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】令，分析可知在内单调递增，且在内恒成立，结合二次函数性质运算求解. 【详解】令，原题意等价于函数在单调递增， 可知在内单调递增，且在内恒成立， 则，解得， 所以的取值范围为. 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知集合，集合 （1）求的真子集 （2）若，求的值． 【答案】（1），， （2），或 【解析】 【分析】（1）解方程得集合，再求真子集； （2）因为，所以，分和进行求解. 【小问1详解】 解方程得，或 因此集合， 其真子集为，，，共3个． 【小问2详解】 因为，所以， ①当时，，此时符合题意 ②当时，因为，此时易知 要使得，即或，解得，或． 综上所述，要使得，则，或. 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合指数幂运算求解即可； （2）根据题意结合对数运算求解即可. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式 . 19. 已知幂函数：，且函数在上单调递增 （1）求函数的解析式； （2）判断并证明函数的奇偶性． 【答案】（1） （2）奇函数,证明见解析 【解析】 【分析】(1)由幂函数的概念可得，再结合幂函数在单调递增可确定a的值，则解析式可求； (2)首先判断定义域是否关于原点对称，再看与的关系即可判断. 【小问1详解】 由幂函数的概念可知，解得或， 又因为幂函数在单调递增，故，即； 【小问2详解】 为奇函数， 证明如下：定义域为，， 故是奇函数. 20. 已知二次函数过点，点，点 （1）求的解析式； （2）若，对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法，设二次函数一般式 ，代入已知三点坐标，得到三元一次方程组，解出系数即得解析式； （2）令，将范围转化为的范围，原不等式化为对恒成立，故需小于在该区间上的最小值，由单调性得该最小值，随即得到实数的取值范围. 【小问1详解】 设二次函数解析式，因二次函数过点，点，点， 因而，，解得，所以. 【小问2详解】 要使得，对任意恒成立，即，任意 不妨令，因为，因此， 即，，，由（1）得， 对称轴方程为，因此在单调递增，则， 所以，即. 21. 某班进行了一次数学测试，并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这次测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）在测试成绩位于区间[80，90）和[90，100]的学生中，采用分层抽样，确定了5人，若从这5人中随机抽取2人向全班同学介绍自己 的学习经验，设事件A＝“抽取的两人的测试成绩分别位于[80，90）和[90，100]”，求事件A的概率P（A）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解； （2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解； （3）根据题意确定抽样比，利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件中所包含的基本事件的个数，利用古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由频率分布直方图的性质，可得， 解得. 【小问2详解】 解：根据频率分布直方图的平均数的计算公式， 这次测试成绩的平均数为 （分）. 【小问3详解】 解：测试成绩位于的频率， 位于的频率， 因为，所以确定的5人中成绩在内的有3人，分别记为，成绩在内的有2人，分别记为， 从5人中随机抽取2人的样本空间：共有10个样本点， 其中，即， 所以概率为. 22. 已知函数 （1）证明：函数是奇函数； （2）判断函数的单调性，并用定义证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）在上单调递增，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由对数复合函数的定义域结合奇函数的定义即可得证. （2）直接由函数单调性的定义结合对数函数的性质即可得证. 【小问1详解】 由题可得，， 由，解得，所以定义域为，关于原点对称， 又， 所以是奇函数. 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下， 因为 易知定义域为，取，且， 则. 因为，所以，则 同理可得，，因此， 所以，即，， 所以在上单调递增． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 准北五中2024-2025学年度第一学期期末考试 高一数学学科试题卷 考试时间：120分钟 考试满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试题卷上无效. 3．考试结束后，将答题卷交给监考老师，试题卷保留. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 样本数据的分位数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（ ） A. 事件和事件是互斥但不对立事件 B. C. 事件和事件是对立事件 D. 以上均不对 4. 若“，”是真命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的大致图象为 A. B. C. D. 6. 某校为调查高一年级的某次考试的数学情况，选取高一年级甲班和乙班进行调查.若甲班学生数学成绩的平均数为90，方差为3，乙班学生数学成绩的平均数为81，方差为5，且甲乙两班的学生人数之比为，则这两班数学的总成绩平均分和方差分别为（ ） A. 85.5； B. ； C. 85.5； D. ； 7. 设，，，则，，的大小关系（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若零点个数为3，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，在每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错的得0分共20.0分.） 9. 已知函数在R上严格单调递增，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数定义域为R，则值可能为（ ） A. 5 B. 0 C. 8 D. 6 11. 已知，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 12. 已知函数为奇函数，则下列结论正确是（ ） A. 的定义域为 B. C. 的单调递减区间为 D. 的值域 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 函数的定义域为________． 14. 写出一个同时满足下列条件（1）和（2）幂函数：________． （1）在上单调递增 （2） 15. 已知，，且，则最小值为________． 16. 已知函数在单调递增，则的取值范围为________． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知集合，集合 （1）求的真子集 （2）若，求的值． 18. 计算： （1） （2） 19. 已知幂函数：，且函数在上单调递增 （1）求函数的解析式； （2）判断并证明函数的奇偶性． 20. 已知二次函数过点，点，点 （1）求的解析式； （2）若，对任意恒成立，求实数的取值范围． 21. 某班进行了一次数学测试，并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这次测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）在测试成绩位于区间[80，90）和[90，100]的学生中，采用分层抽样，确定了5人，若从这5人中随机抽取2人向全班同学介绍自己 的学习经验，设事件A＝“抽取的两人的测试成绩分别位于[80，90）和[90，100]”，求事件A的概率P（A）. 22. 已知函数 （1）证明：函数是奇函数； （2）判断函数的单调性，并用定义证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $