第8章 四边形 最值问题 2025-2026学年 苏科版八年级数学下册

第八章 四边形 第八章 四边形 知识点9 最值问题 最值问题（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AB＝4，AD＝8，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最小值为 . 第1题图 第2题图 第3题图 2．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝10，BD＝24．点P是边BC上的动点，过点P作PM⊥BO，垂足为点M，PN⊥CO，垂足为点N，连结MN，则MN的最小值为 . 3．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的动点且EF＝CD，O为EF的中点，OQ⊥AD于点Q，OP⊥AB于点P，连接PQ．若AB＝4，AD＝6，则PQ的最小值为 . 4．如图1，两个正方形ABCD和CEFG共一个直角顶点C，连接BG、DE交于点H，连接BE、DG、BD、GE． （1）当AB＝4，EF＝3时， ①作图：请在图1中分别取BD、DG、BE的中点M、N、P（不要求尺规作图），并直接写出MN和MP的关系： ； ②若BE＝6，求此时DG的长； （2）当BG＝5，求DG+BE的最小值． 第八章 四边形 最值问题（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O最大距离是　 　 ． 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2．如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，且AF⊥EG．当CF＝2BF时，EF+AG的最小值为　 　 ． 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，M，N分别为边AD，CD上的两个动点，且始终有CN＝2AM．连接BM，过点N作NH⊥BM于点H，连接AH，则AH的最小值为　 　 ． 4．如图，在菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值为　 　 ． 5．同学在学习矩形时，发现了矩形的一些神奇性质，如图1，P为矩形ABCD内任意一点，PA、PB、PC、PD之间存在一种特殊的数量关系：PA2+PC2＝PB2+PD2，同学们发现勾股定理就可以快速证明出来如图2． （1）若点P在矩形ABCD外部，以上结论是否成立，若成立，请画图证明；若不成立，请说明理由； （2）若如图3，点P在正方形ABCD内，若PA＝1，PB＝2，PC＝3，则PD＝ 　 　 ； （3）如图4，△OAB中，E为内部一点，且OA＝2，OB＝3，OE＝1且AE⊥BE，求AB的最小值． 第八章 四边形 最值问题（三） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．如图，等腰三角形ABC的面积为20，底边BC＝4，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC、AB于E、F两点，点M为线段EF上一动点，点D为BC的中点，连接CM、DM．在点M的运动过程中，△CDM的周长的最小值为　 　 ． 2．如图，▱ABCD中∠A＝60°，AB＝4，AD＝1，P为边CD上一点，则的最小值为　 　 ． 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝8，E为BC中点，G为AB上动点且GF⊥CD，连接AF，GE，则AF+GE的最小值为　 　 ． 4．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值是　 　 ． 5．问题提出 （1）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别在边BC，CD上，连接AE，BF，交于点G，且AE⊥BF，求证：AE＝BF； 问题解决 （2）如图2，某公园有一块正方形ABCD的空地，园区管理员准备在这块空地内修四条小路AE，AG，GF，EF，其余部分种植各种不同的花卉．已知点E，F，G分别在边BC，AB，CD上，且AE⊥GF于点H．若AB＝60m，CE＝2BE，求小路AG+EF的最小值．（小路的宽度均忽略不计） 第八章 四边形 最值问题（四） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．如图，点F是矩形ABCD内部一个动点，E为AF上一点且，当AD＝4，AB＝AF＝8时，则BE+CF的最小值为　 　 ． 第1题图 第2题图 2．如图，P是矩形ABCD的对角线BD上一点，AB＝3，BC＝5，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，则AP+EF的最小值为　 　 ． 3．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，AC＝4，求AE的长； （3）在（2）的条件下，已知点P是线段AC上的一个动点，则PD+PE的最小值为 　 　 ． 4．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，连接EN、CN． （1）求证：EN＝CN； （2）求2EN+BN的最小值． 第八章 四边形 最值问题（五） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上一动点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F、G，连接DE、GF，正方形ABCD的周长是40cm． （1）求证：四边形EFBG是矩形； （2）求FG的最小值． 2．如图①所示，▱ABCD是某公园的平面示意图，A、B、C、D分别是该公园的四个入口，两条主干道AC、BD交于点O，请你帮助公园的管理人员解决以下问题： （1）若AB＝1km，AC＝2.4km，BD＝2km，公园的面积为 　　 km2； （2）在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道AN、MN、CM，其中点M在OB上，点N在OD上，且BM＝ON（点M与点O、B不重合），并计划在△AON与△COM两块绿地所在区域种植郁金香，求种植郁金香区域的面积； （3）若将公园扩大，此时AB＝2km，AC＝4km，BD＝4km，修建（2）中的绿道每千米费用为10万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值． 最值问题（一）参考答案 1.解：如图，连接AG，EF，过点A作AM⊥BC交BC于点M． ∵∠C＝120°，四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝8，∠B＝180°﹣∠C＝60°， ∵点E为AH的中点，点F为GH的中点， ∴EF是△AHG的中位线， ∴ ∵要使线段EF最小， ∴AG最小即可， 则当AG⊥BC时最小， ∵AM⊥BC， ∴∠AMB＝90°， ∴∠BAM＝180°﹣∠AMB﹣∠B＝30°， ∴， 在Rt△ABM中，由勾股定理得， ∴AG的最小值为， ∴． 2.解：如图，连接OP， ∵四边形ABCD为菱形，AC＝10，BD＝24， ∴BD⊥AC，OBBD＝12，OCAC＝5， ∴∠BOC＝90°， ∴BC， ∵PM⊥BO，PN⊥CO， ∴∠PMO＝∠PNO＝∠BOC＝90°， ∴四边形PMON为矩形， ∴MN＝PO， ∴当PO最小时，MN的值最小， 由垂线段最短可得，当OP⊥BC时，此时OP的值最小，MN的值最小， ∵， ∴OP， ∴MN的最小值为， 3.解：在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，连接OA，OC，AC， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝6， 由勾股定理得：， ∵EF＝CD，O为EF的中点，∠BCD＝90°， ∴EF＝CD＝4，， ∴， ∵OQ⊥AD，OP⊥AB， ∴四边形APOQ是矩形， ∴OA＝PQ， ∴当点O在AC上时，最小，即最小 4.解：（1）①依题意作图如图1所示：设BG与CD相交于点Q， MN和MP的关系是：MN＝MP，MN⊥MP，理由如下： ∵四边形ABCD和四边形EFGC都是正方形， ∴BC＝CD＝AB＝4，CG＝CE＝EF＝3，∠BCD＝∠ECG＝∠A＝∠F＝90°， ∴∠BCD+∠DCG＝∠ECG+∠DCG， ∴∠BCG＝∠DCE， 在△BCG和△DCE中， ， ∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE， 在△BCQ中，∠CBG+∠CQB+∠BCD＝180°， 在△DQH中，∠CDE+∠DQH+∠DHQ＝180°， 又∵∠CQB＝∠DQH， ∴∠DHQ＝∠BCD＝90°， 即BG⊥DE， ∵点M是BD的中点，点N是DG的中点，点P是BE的中点， ∴MN是△DBG的中位线，MP是△BED的中位线， ∴MNBG，MN∥BG，MPDE，MP∥DE， ∴MN＝MP，MN⊥MP， 故答案为：MN＝MP，MN⊥MP； ②在Rt△CBD中，由勾股定理得：BD， 在Rt△CEG中，由勾股定理得：EG， ∴BG⊥DE， 在Rt△HBD中，由勾股定理得：HD2+HB2＝BD232， 在Rt△HEG中，由勾股定理得：HE2+HG2＝EG218， ∴HD2+HB2+HE2+HG2＝32+18＝50， 在Rt△HDG中，由勾股定理得：HD2+HG2＝DG2， 在Rt△HBE中，由勾股定理得：HB2+HE2＝BE2＝62＝36， ∴DG2+36＝50， ∴DG2＝14， ∴DG，DG（不合题意，舍去）； （2）设BD，EG，BG，DG的中点分别是K，T，R，S，连接RK，RT，KT，KS，TS，如图2所示： ∴KS是DBG的中位线，ST是△GDE的中位线，RK是△BDG的中位线，Rt是△GBE的中位线， ∴KGBG，KS∥BG，TSDE，TS∥DE，RKDG，RTBE， ∴RK+RT（DG+BE） ∵BG＝5， 由（1）可知：DE＝BG＝5，BG⊥DE， ∴KD＝TS，KS⊥TS， 在Rt△DKT中，由勾股定理得：KT＝， ∵RK+RT（DG+BE）， ∴DG+BE＝2（RK+RT）， ∴当RK+RT最小时，DG+BE为最小， 根据“两点之间线段最短”得：RK+RT≤KT， ∴当K，R，T在同一条直线上时，RK+RT为最小，最小值为， 此时DG+BE＝2（RK+RT）， ∴DG+BE的最小值为． 最值问题（二）参考答案 1.解：取AB中点E，连接OE、DE、OD， ∵∠MON＝90°， ∴OEAB＝2． 在Rt△DAE中，利用勾股定理可得DE＝2． 在△ODE中，根据三角形三边关系可知DE+OE＞OD， ∴当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE＝22． ∴顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O最大距离是22． 2.解：∵正方形ABCD的边长为3，且CF＝2BF， ∴AB＝3，BF＝1，CF＝2． ∴AF， 如图，过点G作GQ⊥AB于Q，则得矩形AQGD， ∴DG＝AD， ∵四边形ABCD是正方形，AF⊥EG， ∴∠BAF+∠AEG＝90°，∠EGQ+∠AEG＝90°， ∴∠BAF＝∠EGQ， 在△ABF和△GQE中， ， ∴△ABF≌△GQE（ASA）， ∴AF＝EG， ∴EG＝AF， 过点F作FH∥EG，过点G作GH∥EF，FH，GH交于点H， ∴四边形EFHG是平行四边形， ∴GH＝EF，EG＝FH， ∴EF+AG＝GH+AG， ∵AG+GH≥AH， ∴当A，G，H三点共线时，AG+GH的值最小， ∵EG＝AF， ∴FH＝AF， ∵AF⊥EG，EG∥FH， ∴AF⊥FH， ∴△AFH是等腰直角三角形， ∴AHAF＝2， ∴EF+AG的最小值为2 3.解：延长HN交BC于E， ∵NH⊥BM， ∴∠BHE＝90°， ∴H在以BE为直径的圆上， ∵CN＝2AM， 矩形ABCD中，∠A＝90，∠BCD＝90°， ∴∠ECN＝90°， ∴∠A＝∠ECN， ∵NH⊥BM， ∴∠BHN＝90°， 则∠ABM+∠BEH＝90°， 又∵∠CEN+∠BEH＝90°， ∴∠ABM＝∠CEN， ∴△ABM∽△CEN， ∵相似比1：2， ∴CE＝2AB＝12， ∴E是定点，BE＝BC+CE＝4+12＝16， ∴A到圆心距离， ∴AH最小值＝10﹣8＝2， 4.解：∵四边形DAEF为平行四边形， ∴EF＝AD，DF＝AE， ∵E为线段AC上的动点， ∴可以看作EF是定线段，平行四边形DAEF在AC方向上水平运动， 则如图，点B的运动轨迹为线段MN， 过点E作关于线段MN的对称点E'， 由对称性得BE＝BE'， ∴BE+BF＝BE'+BF≥E'F， 当且仅当E'、B、F依次共线时，B'E+BF取得最小值E'F，此时如图， 设AC与BD交于点O，E'E交MN于点H，延长E'E交FD延长线于点G， 菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2， ∴，BO＝DOBD＝1，AC⊥BD， 由题可得AC∥MN， ∴由对称性可得EH⊥HB， ∴AC⊥GH， ∴∠OEH＝∠EOB＝∠EHB＝90°， ∴四边形EOBH是矩形， ∴EH＝EH＝OB＝1， ∵四边形DAEF为平行四边形， ∴DF＝AE，DF∥AC， ∴GD⊥DO， ∴∠GDO＝∠DOE＝∠GEO＝90°， ∴四边形DOEG是矩形， ∴GD＝EO，GE＝DO＝1， ∴GF＝GD+DF＝EO+AE＝AO＝2，GE'＝GE+EH+E'H＝3， ∴， 即BE+BF 的最小值为， 故答案为：． 5.解：（1）成立，理由如下： 如图， 过点P作MN垂直于AD、BC，垂足分别为M、N， ∴∠AMP＝∠BNP＝∠DMP＝∠CNP＝90°， 由勾股定理得， AP2＝AM2+MP2，BP2＝BN2+NP2，DP2＝DM2+MP2，CP2＝CN2+NP2， 又∵四边形ABCD为矩形， ∴四边形AMNB、四边形DMNC为矩形， ∴AP2﹣MP2＝BP2﹣NP2，DP2﹣MP2＝CP2﹣NP2， ∴AP2+CP2＝BP2+DP2，仍然成立； （2）连接PD， 由题意得，PA2+PC2＝PB2+PD2， ∵PA＝1，PB＝2，PC＝3， ∴； （3）如图， 以AE、BE为边作矩形AEBF，连接OE、EF， ∴AB＝EF， 由题意得，OE2+OF2＝OA2+OB2， ∵OA＝2，OB＝3，OE＝1， ∴， 当O、E、F三点共线时，EF最小，即AB最小， ∴AB的最小值＝EF的最小值． 最值问题（三）参考答案 1.解：连接AD，AM， ∵点D是BC边的中点，△ABC是等腰三角形， ∴AD⊥BC，， ∴， 解得AD＝10， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴MA＝MC， ∴MC+DM＝MA+DM≥AD， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴CM+MD+CD＝AD+CD＝10+2＝12． ∴△CDM的周长最短为12． 故答案为：12． 2.解：如图，过点P作PH⊥AD交AD延长线于点H，连接BH， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠PDH＝∠A＝60°， 在Rt△DHP中，∠DPH＝90°﹣∠PDH＝30°， ∴PD＝2DH， ∴PHPD， ∴PD+PB＝PH+PB≥BH， ∴当点H、P、B三点共线时，PH+PB有最小值，即PD+PB有最小值， 此时BH⊥AH， 在Rt△AHB中，∠ABH＝90°﹣∠A＝30°， ∴AHAB＝2， ∴BH2，即PD+PB的最小值为2， 故答案为：2． 3.解：连接DG，作点E关于直线AB的对称点H，连接GH，DH，BH； ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝∠ABC＝90°，DC＝AB＝9； ∵GF⊥CD， ∴∠BAD＝∠ADC＝∠GFD＝90°； ∴四边形ADFG是矩形， ∴DG＝AF； 由对称的性质得GH＝GE，∠ABH＝∠ABE＝90°， ∴点H在CB的延长线上； ∵点E为CB的中点，BC＝8， ∴， ∴CH＝BC+BH＝12； ∵AF+GE＝DG+GH≥DH， ∴当点G在线段DH上时，AF+GE取得最小值，最小值为线段DH的长； 4.解：如图，设PQ，AC交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，连接BD， 由条件可知PQ＝2PD，， ∵点D是AC的中点，为定点， ∴由垂线段最短可知：当PD⊥BC时，PD取得最小值，则PQ最小， 即当点P，E重合时，PD最小， ∴PD的最小值为DE， 由条件可知， ∵S△ABC＝S△ABD+S△BCD，即， ∴， ∴， ∴PD的最小值为， ∴PQ的最小值为 5.（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝90°， ∵AE⊥BF， ∴∠AGB＝90°， ∴∠ABF+∠FBC＝∠ABF+∠BAE＝90°， ∴∠FBC＝∠BAE， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE＝BF； （2）解：如图所示：过B作AE的垂线，交CD于点M，过点F作FK∥BC，交CD于K， 把线段AG平移至A′F，过点A′作A′H⊥BC于H，连接A′E， 由（1）可知：CM＝BE＝20m， 由平移得：AG＝A′F， ∴AG+EF＝A′F+EF≥A′E，当且仅当A′、F、E三点共线时，AG+EF＝A′E为最小值； 设BF＝xm， ∵FG∥BM，AB∥CD， ∴四边形BFGM是平行四边形， ∴GM＝BF＝xm， ∴GD＝CD﹣CM﹣GM＝（40﹣x）m， 同理DK＝AF＝（60﹣x）m， ∴GK＝DK﹣DG＝20m， 由平移得：A′H＝60﹣20＝40（m），BH＝60m， ∴EH＝BE+BH＝20+60＝80（m）， ∴A′E40（m）， ∴小路AG+EF的最小值为40m． 最值问题（四）参考答案 1.解：如图，在AB上截取AG＝AE，连接GF，CG， 在△ABE和△AFG中， ， ∴△ABE≌△AFG（SAS）， ∴BE＝GF， ∴BE+CF＝GF+CF≥CG，当且仅当C、F、G三点共线时取等， ∵AB＝AF＝8，且， ∴AE＝AG＝2， ∴BG＝AB﹣AG＝6， ∵四边形ABCD是矩形，AD＝4， ∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4， 在Rt△BCG中，CG2， 即BE+CF＝GF+CF≥CG＝2， ∴BE+CF的最小值为2 2.解：连接CP， ∵四边形ABCD是矩形， ∴EF＝CP， ∴AP+EF的最小值即为AP+CP的最小值， 当A，P，C三点共线时，AP+CP的值最小，且为AC的长度， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC， ∴AP+EF的最小值为， 故选：C． 3.（1）证明：∵AB∥DC， ∴∠BAC＝∠ACD（两直线平行，内错角相等）， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC（角平分线的定义）， ∴∠ACD＝∠DAC， ∴AD＝CD， ∵AB＝AD， ∴AB＝CD， ∵AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，， ∴，，AC⊥BD，， ∴在Rt△AOB中，， ∴， ∵AE⊥CD， ∴， ∴， （3）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC垂直平分线段BD， ∴PD＝PB， ∴PD+PE＝PB+PE≥BE， 当点P在线段BE上时等号成立，PD+PE取最小值， ∵AB∥DC，AE⊥CD， ∴AE⊥AB， ∴， 故答案为：． 4.解：（1）连接AN，如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴点A，点C关于直线BD轴对称， ∴AN＝CN， ∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N， ∴AN＝EN， ∴EN＝CN； （2）过点N作NG⊥BC于点G，连接AN，AG，过点A作AH⊥BC于点H， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠DBC＝30°， ∴BN＝2NG， ∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N， ∴EN＝AN， ∴2EN+BN＝2AN+2NG＝2（AN+NG）≥2AG≥2AH， ∴2EN+BN的最小值为2AH， ∵∠ABC＝60°，AB＝2， ∴AH＝AB•sin60°， ∴2EN+BN的最小值为2． 最值问题（五）参考答案 1.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝90°， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠EFB＝90°，∠EGB＝90°， ∴四边形EFBG是矩形； （2）解：由（1）知：四边形EFBG是矩形，如图，连接BE， ∴BE＝FG； 当BE⊥AC时，BE取最小值，即FG取最小值， ∵正方形ABCD的周长是40cm， ∴AB＝BC＝10cm，∠B＝90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2， ∴AC2＝102+102＝200， 解得：AC＝10， ∴， ∴， 解得：BE＝5； 即FG的最小值为． 2.解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝2.4km，BD＝2km， ∴OA＝OCAC＝1.2km，OB＝ODBD＝1km， 在△AOB中，过点B作BE⊥OA于点E，如图： ∵AB＝OB＝1km，OA＝1.2km，BE⊥OA， ∴AEOA＝0.6km， ∴BE0.8km， ∴S△AOBOA•BE1.2×0.8＝0.48km2， ∴S▱ABCD＝4S△AOB＝4×0.48＝1.92km2； ∴公园的面积为1.92km2； 故答案为：1.92． （2）连接AM、CN，如图： ∵在△ACM中，OA＝OC， ∴S△COM＝S△AOM， ∴S△AON+S△COM＝S△AON+S△AOM＝S△AMN， ∵OB＝BM+MO，BM＝ON，OB＝ODBD， ∴MN＝MO+ON＝OBBD， ∴S△AMNS▱ABCD＝0.48km2， ∴S△AON+S△COM＝S△AMN＝0.48km2． ∴种植郁金香区域的面积为0.48km2． （3）如图，过点N作NE∥CM，过点C作CE∥MN．过点E作EF⊥AC交AC的延长线于点F． ∵AB＝2km，AC＝4km，BD＝4km， ∴AO＝OC＝2（km），OB＝OD＝2（km）， ∵BM＝ON， ∴MN＝ON+OM＝BM+OM＝OB＝2km， ∴当AN+CM的值最小时，AN+MN+CM的值最小， ∵MN∥CE，NE∥CM， ∴四边形MNEC是平行四边形， ∵OD＝OC＝CD＝2km， ∴∠DOC＝∠ECF＝60°， ∴CFEC＝1km，EF（km）， ∴AE2（km）， ∵AN+CM＝AN+NE≥AE＝2km， ∴AN+CM的最小值为2km， ∴AN+MN+CM的最小值为2+2， ∴投入资金的最小值为：10×（22）＝（2020）（万元）． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $