精品解析：江西省上高二中2025-2026学年高一下学期数学学科阶段性练习

2028届高一年级数学学科阶段性练习 一、单选题 1. 下列四个式子中可以化简为的是（ ） ①；②；③；④ A. ①④ B. ①② C. ②③ D. ③④ 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加法、减法法则逐个判断即可. 【详解】依题意，，①正确； 假定，则，即，因此， 无法确保，假设是错的，②错误； 是为一组邻边的平行四边形的以点为起点的对角线所对应的向量，不等于，③错误； ，④正确. 故选：A 2. 已知是第一象限角，则下列一定为正值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设可判断终边位置，然后判断三角函数值的符号. 【详解】对于A，由题终边可能在第一象限，轴正半轴，或第二象限，则可能为正值，负值或0，故A错误； 对于B，终边可能在第一象限或第三象限，则可能为正值或负值，故B错误； 对于C，由B分析，可能为正值或负值，故C错误； 对于D，由B分析，一定为正值，故D正确. 故选：D 3. 已知向量，，满足，，且与的夹角、与的夹角均为，则在方向上的投影数量为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影数量的定义由数量积直接计算即可. 【详解】在方向上的投影数量为 ． 故选：A. 4. 已知向量.若三点共线，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用三点共线的概念进行求解. 【详解】若，，三点共线，则向量与共线， 因为，， 由共线条件可得：， 化简可得：，求解得：. 故选：A. 5. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底表示即可求出. 【详解】因为，所以， 则， 因为，所以，即， 则. 故选：C 6. 若平面向量两两夹角相等，且，则（ ） A. B. 36 C. 或6 D. 3或36 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得夹角为或，再分夹角为和两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为平面向量，，两两夹角相等，所以夹角有两种情况， 即，，两两夹角为或， 当夹角为时，； 当夹角为时，， 则 ； 综上所述：或. 7. 如图，是的中线，G为的中点，过点G的直线分别与交于点，且，，其中，则的最小值为（ ） A. 4 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算用表示出，由平面向量基本定理可知，其系数和为1，可得到关于的等式，利用基本不等式中“1”的妙用即可求得的最小值. 【详解】因为G为的中点，所以， 又是的中线，即为的中点，所以， 所以. 由，，其中，得，， 所以. 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 8. 若函数的图象关于对称，且在区间上单调递增，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用正弦函数对称轴的性质求出的表达式，再结合函数在给定区间上的单调性确定的值，进而得到函数的表达式，最后求出的表达式. 【详解】函数图像关于对称，说明在时成立，解得：， 函数在上单调递增，说明在该区间内满足正弦函数的单调递增条件， 所以且， 则当时，解得：， 结合和，得到； 将代入原函数，得到， 则. 故选：A. 二、多选题 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则，且、、、四点构成平行四边形 B. 若为非零实数，且，则非零向量与共线 C. 在中，若，则点一定在角的平分线上 D. 若向量，则与的方向相同或相反 【答案】BC 【解析】 【分析】利用向量得定义、共线向量得概念判断A、B、D，利用单位向量得定义与加法得平行四边形法则判断与的角平分线的关系，即可判断C. 【详解】对于A，如果在线段上，，为线段的四等分点，满足，且，但、、、四点不能构成平行四边形，故A错误； 对于B，设为非零实数，且，则非零向量与共线，故B正确； 对于C，因为，分别为向量，方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线重合， 又，可得向量所在直线与的角平分线重合，所以点一定在角的平分线上，故C正确 对于D，若向量，则与的方向相同或相反，或与中至少有一个为零向量，故D错误. 故选：BC 10. 已知函数，为的一个零点，的图象关于点对称，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】先由函数的性质可得，，进而可得，从而判断各个选项可得. 【详解】因为的一个零点为，的图象关于点对称，且在上单调递增， 所以，所以，A正确； 由及，得，B错误； 所以，C正确； 因为时，不存在，因为， 所以函数在上单调递增，故D错误． 11. 已知，，分别为的边，，的中点，且，，交于点，令，，表示相应图形的面积，则（ ） A. B. C. D. ，，可作为一个三角形的三边长 【答案】BCD 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算判断AB选项，由题意得为的重心，得到为三等分点以及分别为中点得到三角形的面积关系，判断C选项；由重心的性质得到，从而得到结果，判断D选项. 【详解】由题意可知为的重心， ∵分别为中点，则，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项正确； ∵，∴，即， ∴可作为三角形三边，D选项正确. 故选：BCD. 三、填空题 12. 若，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积运算求解即可. 【详解】因为，所以， 即， 因为，所以. 故答案为： 13. 已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，解得：, 则在方向上的投影向量的坐标为 14. 已知为偶函数，若，恒成立，则实数的取值范围________. 【答案】 【解析】 【分析】由偶函数求出，再由不等式恒成立，分类讨论求解即可. 【详解】因为为偶函数， 所以，即， 又，，即恒成立， 当时，恒成立，满足题意； 当时，由不等式恒成立可得，解得， 综上实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知向量，满足，，. （1）求与的夹角； （2）若，求的值. 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）由数量积的运算律求得，再根据数量积的定义求得夹角； （2）模的平方转化为数量积运算后求解． 【小问1详解】 由已知， ， ，， 又，所以； 【小问2详解】 ， 解得或． 16. 如图所示，某地夏天从时的用电量变化曲线近似满足函数． （1）写出时的函数的解析式； （2）若每日时的用量变化也满足图中曲线关系，当用电量大于等于45万会导致供电设备供能紧张，求出每日供能紧张的时间段． 【答案】（1） （2）时 【解析】 【分析】（1）由图象确定的值，根据周期求得，再利用特殊点坐标求得，即可得答案； （2）由题意得，计算即可得答案. 【小问1详解】 由图象可知从时的图象是的半个周期的图象， ． ， ， 将代入上式，得， 即，即， 又， 所求解析式为． 【小问2详解】 由题意得， 即， 则， 解得， 又， ， 因此每日供能紧张的时间段为时. 17. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题： （1）已知向量，满足，，，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； （3）已知向量，，，求的最小值． 【答案】（1）4 （2）7 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知得出，结合数量积公式得出的值，进而求出的值，根据定义代入数值计算即可得出答案； （2）根据已知得出的坐标，进而根据向量模及其数量积的坐标表示得出的值，进而求出，然后代入公式求解即可得出答案； （3）由已知可得，进而根据向量模的坐标表示得出向量的模，根据定义公式并化简得出.换元令，根据基本不等式即可得出答案. 【小问1详解】 由已知可得，. 又，， 则. 又，所以， 所以，. 【小问2详解】 由已知可得，，， 所以有，，， 则. 又， 所以， 所以，. 【小问3详解】 由已知可得， 所以，，则，. 又， 所以，. 因为，所以. 令，则， 当且仅当，，即时等号成立， 所以，的最小值为， 所以的最小值为. 【点睛】思路点睛：根据题意可知与向量的数量积相似，可结合课本已学的知识点，结合新定义公式求解. 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求b的值与函数的解析式； （2）设且.判断函数在上的单调性，及求的取值范围. （3）若，使成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1）， （2）单调递增， （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义求解； （2）利用单调性的定义判断并证明的单调性；求出，利用二次函数的性质求出的范围，再利用函数的单调性即可求得的范围； （3）利用是奇函数和增函数推得，从而将问题转化为，求出二次函数的最小值即得的范围. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 即，整理得恒成立， 即，所以， 因不恒为0，则，故； 【小问2详解】 函数在上是增函数， 证明如下： 由（1）可得，函数， 任取，， ， 因为，所以，又，，所以， 即，所以函数在上是增函数； ，， 该函数的图象对称轴为，，则当时，取最小值1， 当时，，当时，， 则的最大值为，故， 因函数在上是增函数，故， 又，故的取值范围为. 【小问3详解】 因为存在，使成立，即 又因函数是定义在上的奇函数，则不等式可转化为， 因为函数在上是增函数，所以， 依题意，，使成立，即， 因为， 因为，故当或时，取得最小值0，即， 故的取值范围为. 19. 如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点． （1）用和表示； （2）求； （3）设，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算化简求解即可； （2）设，利用向量的共线求出即可得解； （3）令，利用向量基本定理可得的关系，转化为关于的二次函数求最值即可得解. 【小问1详解】 依题意， ， ； 【小问2详解】 因交于，由（1）知， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则， 所以，所以，即； 【小问3详解】 由已知， 因是线段上动点，则令， ， 又不共线，则有，得， 因为， 所以在上递增， 所以，故的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高一年级数学学科阶段性练习 一、单选题 1. 下列四个式子中可以化简为的是（ ） ①；②；③；④ A. ①④ B. ①② C. ②③ D. ③④ 2. 已知是第一象限角，则下列一定为正值的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，满足，，且与的夹角、与的夹角均为，则在方向上的投影数量为（ ） A. B. 4 C. D. 8 4. 已知向量.若三点共线，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 5. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 若平面向量两两夹角相等，且，则（ ） A. B. 36 C. 或6 D. 3或36 7. 如图，是的中线，G为的中点，过点G的直线分别与交于点，且，，其中，则的最小值为（ ） A. 4 B. 9 C. D. 8. 若函数的图象关于对称，且在区间上单调递增，则＝（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则，且、、、四点构成平行四边形 B. 若为非零实数，且，则非零向量与共线 C. 在中，若，则点一定在角的平分线上 D. 若向量，则与的方向相同或相反 10. 已知函数，为的一个零点，的图象关于点对称，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 在上单调递增 11. 已知，，分别为的边，，的中点，且，，交于点，令，，表示相应图形的面积，则（ ） A. B. C. D. ，，可作为一个三角形的三边长 三、填空题 12. 若，且，则______． 13. 已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________． 14. 已知为偶函数，若，恒成立，则实数的取值范围________. 四、解答题 15. 已知向量，满足，，. （1）求与的夹角； （2）若，求的值. 16. 如图所示，某地夏天从时的用电量变化曲线近似满足函数． （1）写出时的函数的解析式； （2）若每日时的用量变化也满足图中曲线关系，当用电量大于等于45万会导致供电设备供能紧张，求出每日供能紧张的时间段． 17. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题： （1）已知向量，满足，，，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； （3）已知向量，，，求的最小值． 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求b的值与函数的解析式； （2）设且.判断函数在上的单调性，及求的取值范围. （3）若，使成立，求实数k的取值范围. 19. 如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点． （1）用和表示； （2）求； （3）设，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $