江西重点中学2025-2026学年高一下学期4月学科素养阶段训练数学试卷

江西省重点中学高一年级4月学科素养阶段训练数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小时选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标题涂黑，非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各 题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效， 4.本卷命题范围：北师大版必修第二册第一至第二章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.1730°角的终边在 A,第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.在△ABC中，a=1,b=√2，B=45°，则A= A.45° B.30° C.45或135 D.30°或150 3.下列关于平面向量描述正确的是 A.若|a<Ibl,则a<b B.若a·b>0,则向量a与b的夹角为锐角 C.若a∥b,b∥c,则a∥c ☆体， D.若a为非军向量，则后与a的方向相同的 月△ 4.已知扇形的面积为16cm2,弧长为8cm,则此扇形的圆心角a的弧度数为 A.2 B号 C.3 D.4 5.已知在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin2C=sinA十sin2B+ sin Asin B,则C= A哥 B骨 c D.号 6.已知函数f(x)=sin ,x∈[2，)有最小值且无最大值，则实数t的取值范围是 A.[4,+o∞) B.(4,5] C.[3,5] D.(4,十∞) 7.太行山在河南的最高峰一一济源斗顶，远近闻名.如图，某校高 年级数学实践小组为了测其高度，在山脚A测得山顶P的仰角为 a,沿倾斜角为B的斜坡向上走am到达B处，在B处测得山顶P 的仰角为y,若a=45°，8=30°，y=75°，a=2000m,则山高1PQ1为 (图中的点A,B,P,C,Q均在同一个铅直平面内) A.2000m B.2000√2m C.1000m D.1000√2m 【高一数学第1页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 8.如图， 在四边形ABCD中， $$\overrightarrow { A E } = 2 \overrightarrow { E D } ， \overrightarrow { B F } = 2 \overrightarrow { F C } ，$$ $$\overrightarrow { A B } = a ， \overrightarrow { D C } = b ，$$ D 则 $$\overrightarrow { E F } =$$ F E $$A . \frac { 1 } { 3 } a + \frac { 2 } { 3 } b$$ $$B . \frac { 2 } { 3 } a + \frac { 1 } { 3 } b$$ $$C . \frac { 1 } { 2 } a + \frac { 1 } { 2 } b$$ $$D . \frac { 1 } { 4 } a + \frac { 3 } { 4 } b$$ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. .已知函数 $$f \left( x \right) = 3 \cos \left( 2 x - \frac { \pi } { 4 } \right) ，$$ 则下列说法正确的是 A.f(x)的最大值是3，最小值是一3 B.f (x) 两个相邻的对称轴之间的距离为 π C. f \left.x) 的图象关于点 $$\left( \frac { 3 \pi } { 8 } ， 0 \right)$$ 对称 D.将 f(x) 的图象向右平移 $$\frac { \pi } { 4 }$$ 个单位长度后得到的函数是奇函数 10.已知 A(1，2)，B(-1，6)，C(2，3)， ，则 A.向量 $$\overrightarrow { A B } = \left( 2 ， - 4 \right)$$ B.与向量 $$\overrightarrow { A B }$$ 垂直的单位向量坐标为 $$\left( \frac { 2 \sqrt 5 } { 5 } ， \frac { \sqrt 5 } { 5 } \right)$$ 或 $$\left( - \frac { 2 \sqrt 5 } { 5 } ， - \frac { \sqrt 5 } { 5 } \right)$$ C.若 $$\overrightarrow { B P } = \frac { 1 } { 4 } \overrightarrow { B A } ，$$ 则 $$P \left( - \frac { 1 } { 2 } ， 5 \right)$$ $$D . \overrightarrow { A B }$$ 在 $$\overrightarrow { A C }$$ 上的投影向量的坐标为 $$\left( \sqrt 2 ， \sqrt 2 \right)$$ 11.在 △ABC 中，角A，B，C所对的边分别为 a z，b，c且 $$\sin ^ { 2 } 2 B + \sin 2 B - 2 \ge 0 ，$$ ，下列说法正 确的是 $$A . B = \frac { \pi } { 4 }$$ B.若 b=2 且 △ABC 有两解，则 $$2 < a \le 2 \sqrt 2$$ C.若： $$\sin C = \sqrt 2 \sin A ，$$ ，则 △ABC 为等腰直角三角形 D.若b=2，则 △ABC 面积的最大值为 $$1 + \sqrt 2$$ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数 $$f \left( x \right) = \tan \left( \omega x + \frac { \pi } { 6 } \right) \left( \omega > 0 \right)$$ )的最小正周期为 2π， 则 $$f \left( \frac { \pi } { 3 } \right) =$$ 13.已知向量 $$a = \left( - 1 ， 2 \right) ， b = \left( 3 ， - 6 \right) ， | c | = 2 \sqrt 5 ，$$ ，若 a 和c的夹角为 $$6 0 ^ { \circ } ，$$ ，则(2a+3b)·c= . 14.已知 a，b，c 分别为 △ABC 三个内角A，B，C的对边，且 $$\tan \frac { \pi } { 4 } + \frac { \sin ^ { 2 } A } { \sin B \cdot \sin \left( A + B \right) } = \frac { b } { c }$$ $$+ \frac { c } { b } ， \triangle A B C$$ 的面积为 $$\sqrt 3 ， M$$ 为 C的中点，则AM的最小值为. 【高一数学第2页(共4页)】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 四、解答题：本题共5小题，共T7分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15、(本小题满分13分) 已知角a的始边为x轴非负半轴，终边过点P(2,3). (1)求sina,cosa,tana的值， (2)求sin(x+acos受+a)+tana+2x)+tan(侵+a的值. 在”温W径程明的风，长行明这金家 是的两丁，一八过位9 0 16.(本小题满分15分) ) 已知向量a=(2,3),b=(-1,4),c=(m+2,-2),m∈R. (1)当(a-2b)⊥(a+b)时，求实数A的值， (2)当b∥(2a一c)时，求向量a与c的夹角的余弦值. 17.(本小题满分15分) 如图，在△ABC中，点D,E在边BC上，且BD=D正=EC.设AB=a,AD=b, (1)用a,b表示A它，AC, (2)若AB=1,AD=1,∠BAD=等，求coS∠DAC 【高一数学第3页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.(本小题满分17分) 已知f(x)=sin(ux-君)（其中w>0),相邻两个对称中心之间的距离为受 (1)求函数f(x)的解析式及其对称轴； (2)求不等式2f(x)-√5≥0的解集； (3)若关于工的方程[f(x]-9m·f(x)+子=0在[品，]上有四个不相等的实数根， 求实数m的取值范围。 一，正数小四的出的小亦，处地，化量小量，微小共率圆 如三 281如 推诗比最现可 19.(本小题满分17分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,m=(2b,c),n=（ sin B cosA·cosC1 tanC),且m∥m. (1)求角A (2)若bc=4 sin Bsin C,△ABC是钝角三角形 (i)求b十c的范围； (i)若点D在BC上，且AD为∠BAC的角平分线，求AD的取值范围. 11m000 m80008a 00 m00001d 0001 【高一数学第4页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP高一年级4月测评·数学 参考答案、提示及评分细则 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B D A C B A A 题号 0 10 11 答案 AC BC ACD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.【答案】D 【解析】1730°=1440°+290°，290°角的终边在第四象限，所以1730°角的终边在第四象限，故选D. 2.【答案】B 【解折1在△ABC中.a=1b=.B=5,由正弦定理得：A品B则mA=0B_5= b √2 ,因为a<b,所以 A<B,则A=30°，故选B. 3.【答案】D 【解析】对A,向量不能比较大小，所以A错误；对B,当a·b>0时，a与b的夹角可以为0°，所以B错误；对C,当b=0 时，a和c可以是任意向量，所以C错误：对D,&为a的同方向单位向量，所以D正确.故选D. 4.【答案】A 【解折1设确形的半径为~流长为1，则S==161=8,则=40=-受=2.放选入 5.【答案】0 【解析】因为sinC=sin2A+sinB+sin Asin B,由正弦定理得：c2=a2+b十ab,所以a2+b-c2=-ab,所以cosC= a2+B-c2=-ab=-1 2ab 2ab ，又因为0<C<,所以C-经故选C 6.【答案】B 【解析】函数的最小正周期是4，结合函数()=sin(受)的图象可知，2x<受1<号，得1(4,5].故选B 7.【答案】A 【解析】因为AQ∥BC,∠CBA=180°-3=180°-30°=150°，又因为Y=75°，所以∠PBA=360°-150°-75°=135°， ∠BAP=a-B=45°-30°=15°，所以∠APB=30°.在△ABP中，∠APB=30°，∠BAP=15°，∠PBA=135°，AB=2000, 由正孩定理得：mB-n2Pm即=品0，解得AP=200y区.在R△PAQ中，AP=200E, AP AB ∠PQA=90°，∠PAQ=45°，所以PQ=APsin∠PAQ=2000√2×sin45°=2000，故选A. 8.【答案】A 【解析】连接C,EB,因为成=2F心.所以E序-房=2（正心-，即E求=}E成+号E式又因 D EB=EA+AB.EC=ED+DC,AB=a.DC=b, 所以E成=号筋+号武=号(Ei+A+号(E市+D心=号(E+2动)+a+号b,因为 A正=2D所以-A花+2ED=i+2ED=0,所以成=？a+号6，放选A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分 选对的得部分分，有选错的得0分」 9.【答案】AC 【解析】f(x)=3cos(2x-于)小f(x)mx=3,f()m=-3,A正确； f(x)的最小正周期是π，相邻对称轴之间的距离是半个周期，距离为牙，所以B错误： 2×-至=受，所以x)的图象关于（餐0）成中心对称，C选项正确： 将fx)的图象向右平移天个单位长度后得到y=3cos(2x-)并不是奇函数，D错误，故选AC. 【高一数学参考答案第1页（共4页）】 B 10.【答案】BC 【解析】对A,因为A(1,2),B(-1,6),所以AB=(-2,4),所以A错误： 对B.因为A店=（一2,4），先找一个与A垂直的向量，不妨取a=(4,2),所以与向量A垂直的单位向量即为：日或 日·又因为a=V个+2=26，所以与向量A睡直的单位向量坐标为(5，号)或(-25，-），所以B正确： 对C=青成-子2，-)=（合-1）设P(,.则(+1y-6》=(合，-1小，所以+1=之，解得 y-6=-1 x=一乞，所以P(-25),所以C正确： y=5 对D.店=(-2,4，心=1,1).所以店在AC上的投影向量为.店：ACC=2牛4.1,1)=1,1).所以D错误. |AC12 2 综上，故选BC 11.【答案】ACD 【解析】由sin22B+sinB-2>0,得(sin2B-1)(sin2B+2)≥0，，'sin2B+2>0,.sin2B-1>≥0，sin2B>l,又：sin2B≤ 1,所以sin2B=1,:B∈(0，x)B=于，故A正确： 由正弦定理得AB运 b。=2=22,即a=2√2sinA,又△ABC有两解，所以2<a<2V2,故B错误： 由nC=EA,知c=Ea8=G+2-2ac·cosB=G+2a-2aEa,竖=db=a,则A=B=子，此 时△ABC为等腰直角三角形，故C正确： 若b=2,则由余弦定理得b2=a2+c2-2 accos B=a2+c2-√2ac=4,所以有a2+c2=√2ac+4≥2ac,即ac≤4十2√2，当 且仅当a=C时取等号，△ABC的面积为号acsin B=号，<号×(4+2E)=1+亿，放D正确，放选ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案V3 【解析】r-无=2，w-2,f(）=1am(答+若)）-E. 13.【答案】-35 【解析】因为a=(-1,2),所以|a=√5，又因为c=2√5，若a和c的夹角为60°，所以a·c=√5×25×cos60°=5；因 为a=(-1,2),b=(3,-6),所以b=-3a,所以b·c=-3a·c=-15,则(2a+3b)·c=2a·c+3b·c=2×5+3× (-15)=-35. 14.【答案V3 【解折】原式等价于1+爱-名+台+c-心-c=0,osA=8+公4-号 2bc 2,又：A∈(0，，所以A=号，因为 △ABC的面积为5，所以2 besin A=5,即气c=5,所以bc=4:因为M为BC的中点，所以A立=2(AB+AO,所 以A萨=子(A+AC+2A店.Ad=G++bc)≥(2x+b)=是c=3,所以AM3,当且仅当b=c时取 等号，所以AM的最小值为√3. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.【答案1122是 13 .3 【解析】1)由题意可知tana=2,r=√2+3=V3,所以sina= 13°，c0sa=2=2V13 3=313 13 …6分 /13 13 (②原式=（←一血o)ma+ma。一是+多-号-是 1 …13分 16.【答案1)-琴(2)30 130 【解析】(1)由题意可得a-2b=(4,-5),a十b=(2x,3x)十(-1,4)=(2-1,3入十4)，…3分 因为(a-2b)⊥(a+b),所以4(21-1)-5(3x+4)=0→A=- 24 7 ……………………………7分 【高一数学参考答案第2页（共4页）】 B (2)2a-C=(2-m,8),…8分 因为b∥(2a-c),所以8-4m十8=0→m=4,…10分 所以C=(6,-2),…11分 所以cos(a,c)= a·c 6 3√130 Tac-3×2o 130 ，…13分 即向量a与c的夹角的余弦值为330 130 …15分 17.【答案】1)Ai=-a+2b,A心=-2a+3b(2)2y7 7 【解析】(I)因为BD=D正=EC, 所以AE=AB+B驼=AB+2Bd=AB+2(AD-AB)=-AB+2AD=-a+2b:…3分 AC=AB+BC=AB+3 BD=AB+3(AD-AB)=-2AB+3AD=-2a+36;.....................................6 (2)因为AB=1,AD=1,∠BAD=5, 即a=1,b1=1,a,b)=吾，所以a·b=1X1Xc0s号-2 ……8分 AD.AC=b.(-2a十3b)=-2a·b+3b=-1十3=2，…10分 1AC2=AC=(-2a十3b)2=4a2-12a·b+9b=4-6+9=7,所以AC1=√7，… 12分 所以cos∠DAC=cos(A市，AC=A方·AC =227 AD1·|AC1X√77 …15分 18.【答案)=sin(2:-吾)=经+晋，k∈7(2[kx+子x+x]k∈z(3)(得，6） 【解折1)因为f)=n(r-吾)，所以号=于 因为两个相邻对称中心之间的距离为乏， 所以有=受，解得。=2，… …2分 则f(x)=sin(2x-）小… 3分 令2x-吾-受+x,k∈Z解得x=吾+经k∈Z. 放f(x)的对称轴方程为x=经+子，k∈Z …5分 (2)由w=2,因此f(x)=sim(2x-晋），2f)-5≥0，即fx)≥。 …7分 所以智+2≤2x-吾<暂+2kx,k∈Z,得受+kx<r<径+，k∈Z。 故不等式2f(x)-B≥0的解集为[kx+牙，kx+是]，k∈乙： ……10分 (3)由是<≤受，得0≤2x-吾<晋，故0≤sm(2x-吾)<1. 因此函数y=f(x)的值域为[0,1门，设1=f(x)=sin(2x-否)， 要使关于x的方程[f(x)]3一9mf(x)十子=0在[及，受]上有四个不相等的实数根，…12分 当且仅当关于的方程2一9m+是=0在[21)上有两个实数根，…13分 令g0)=f-9m+是， 4=81m2-3>0 <<1 有 0?可写<易前以实截的取怎得为停】 …17分 g(3)=1-号m≥0 【高一数学参考答案第3页（共4页）】 B 19.【答案】1)5(2)√5,3) 8o.29) 【解析】(1)因为m=(2b,c),n= sin B cosA·cosC,tanC),m∥n, 所以2 btan C=c sin B osA·cosC ……1分 所以2 sin C cos C=c sin B cosA·cosC' …………………………………………………………2分 cos C=sin C-sin B 由正弦定理得：2 sin B sin C cos Acos C' 因为sinB>0,sinC>0,cosC≠0，化简得：cosA= 2· …3分 因为0<A<π，所以A三g…匹 ……………………4分 (2)D由正弦定理ABsC-2RR为△ABC外接圆的半径)· b C 得a=2 Rsin A=-2Rsin号=5R,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C,… ……5分 所以bc=4 sin Bsin C转化为：4 R2sin Bsin C=4 sin Bsin C,解得R=1,……6分 所以a=√3，b=2sinB,c=2sinC, 所以b什c=2(sinB+sinC)=2[snB+sin(A+B)]=2[sinB+sim(B+于)] 因为△ABC是钝角三角形，且A=号，则B或C为钝角，且B十C=红 7分 当B为钝角时，则受<B<,所以<B+吾<，此时函数f(B)=2[smB+sim(B+于)门单调递减，（受）=3， f(号)= 所以b+c∈(w3,3); ……… …9分 当C为钝角时，则0<B<否，所以号<B+号<受，此时函数f(B)=2sinB十sin(B+号)门单调递增，f(0)=5, f()=3. 所以b+c∈（√3,3）. 综上，b十c∈(W3,3)； …… …………10分 (i)因为AD为∠BAC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD=否， 因为SaAm十SAeD=SaAE,所以2AB·ADsin∠BAD+2AC·ADsin∠CAD=2AB·ACsin∠BAC. 即c…AD+b·AD=c,所以AD=,午2 …11分 在△ABC中，由余弦定理，得a2=十c2-2 bccos A, 再由a=5,A=号，得3=+c2-bc=(h叶c)2-3hc,… …………………12分 所以be=(b+c)2-3 …………………………………………13分 3 (b+c)2-3 所以AD=B×午。-5 3 b+c …14分 3 b十c 3 令b+c=t,由(i)知，t∈(W3,3), 所以AD=(-）5,3),… …15分 令f)=号(-），因为f)在(5.3上单调递增，… …16分 所以∈(o,25)则ADe(o,2) …17分 【高一数学参考答案第4页（共4页）】 B