专题06正方形期中复习讲义(14大题型+题型突破)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题06正方形与三角形中位线期中复习讲义 1.明确定义：邻边相等 + 直角的平行四边形 2.吃透性质：四边等、四角直、对角线垂直相等平分 3.掌握判定：矩形 + 邻边等 / 菱形 + 直角 / 定义直接判 4.理清关系：正方形 = 矩形 + 菱形 1.秒算：边长、对角线、面积、周长 2.会证：全等、垂直、相等、共线 3.善辨：不混矩形、菱形、正方形 4,能用：搞定折叠、旋转、几何综合 1.选择填空：快、准、不踩坑 2.证明题：步骤规范，逻辑满分 3.避易错：判定不缺条件、性质不记混 4.综合题：会转化、能建模，稳稳拿分 题型01.正方形的性质及应用 题型02.正方形折叠问题 题型03.证明四边形是正方形 题型04.由正方形的性质与判定证明 题型05.由正方形的性质与判定求角度 题型06.由正方形的性质与判定求线段长 题型07.由正方形性质与判定求面积 题型08.正方形性质与判定的实际应用 题型09.正方形与最值问题 题型10.正方形规律探究问题 题型11.正方形动点问题 题型12.正方形与平面直角坐标系综合 题型13.正方形多结论判断题 题型14.三角形中位线综合 解答题6题 知识点01.正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 本质：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形（邻边相等的矩形）、特殊的菱形（有一个直角的菱形），集合了矩形与菱形的所有特征。 知识点02.正方形的性质（核心） 正方形具备平行四边形、矩形、菱形的全部性质： 类别 性质描述 几何语言（以正方形 ABCD 为例，对角线交于 O） 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03.正方形的判定（核心） 知识点04.正方形与特殊平行四边形的关系 性质对比： 图形 对边平行 四边相等 四角直角 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 √ × × × × 矩形 √ × √ √ × 菱形 √ √ × × √ 正方形 √ √ √ √ √ 知识点05.三角形的中位线（重点掌握） 1.基本概念 三角形中位线：连接三角形两边中点的线段。. 一个三角形有 3 条中位线。 2.核心定理（必背、必考） 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，若 M、N 分别是 AB、AC 中点，则MN∥BC,MN=BC 题型01.正方形的性质及应用 【典例】如图，是正方形对角线上一点，且，连接并延长，交于点，则的度数是___________． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，首先由正方形得到，，，然后结合得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，四边形是正方形，点在上，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，由正方形的性质可知，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在中，，即， 在中，， 故选：A ． 【跟踪专练2】如图：矩形内有两个相邻的正方形，且左右两边的正方形面积分别为和，那么图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】根据正方形的面积求出矩形的长和宽，再用矩形的面积减去两正方形的面积即为阴影部分的面积． 【详解】解：如图 由两个相邻的正方形，面积分别为和， 得， ∴， 故 ． 【跟踪专练3】如图，四边形是正方形，，那么等于_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质．过点N作于F，证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点N作于F． ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案是：． 【跟踪专练4】如图，在正方形的外侧作等边，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正方形和等边三角形的性质以及三角形内角和定理进行求解． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ． 【跟踪专练5】如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用折叠性质得到，然后在直角三角形中设未知数，通过勾股定理列方程求解． 【详解】解：为的中点，正方形的边长为， ，， 设，根据折叠的性质可知， 在中，， 可得， 解得，即． 题型02.正方形折叠问题 【典例】如图，四边形是边长为的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则AM的长是_______． 【答案】8 【分析】本题主要考查折叠问题及勾股定理，掌握折叠的性质和勾股定理是关键．设，连接，分别在和中利用勾股定理得出三边关系，然后利用得出，最后利用方程求解即可． 【详解】设， ∵正方形的边长为25，， ∴，， 连接， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， 即． 故答案为：8． 【跟踪专练1】如图，将正方形纸片沿线段折叠之后，使点落在正方形内部的点处，若比大，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，先由正方形的性质得到，再由折叠的性质可得，则可得，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得， ∵比大， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【跟踪专练2】边长为12的正方形中，是的中点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于，则的长是______．    【答案】 【分析】本题考查了折叠性质、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键；根据翻折的性质及正方形的性质可证明，得，分别表示出，，，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示，连接，   四边形是边长为的正方形， ，， 以为折痕将翻折得， ，，， ， ， ， ， 又， ， ， 设，， M是的中点， ， ， 在中，，即， 解得， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握折叠的性质，根据垂直模型证明是解题关键． 题型03.证明四边形是正方形 【典例】小明在学习完四边形后，整理成如图所示的知识结构图，发现通过添加边、角或对角线等元素的特殊条件，就能得到特殊的四边形．写出条件①中你认为合适的边、角或对角线的条件是______．（写出一个即可）    【答案】对角线互相垂直（答案不唯一） 【分析】根据正方形的判定方法可得答案． 【详解】解：∵对角线互相垂直的矩形是正方形，有一组邻边相等的矩形是正方形， ∴添加：对角线互相垂直或有一组邻边相等； 故答案为：对角线互相垂直（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是正方形的判定，熟记对角线互相垂直的矩形是正方形，有一组邻边相等的矩形是正方形是解本题的关键． 【跟踪专练1】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，给出四个条件：①AB=BC；②∠ABC=90°；③OA=OB；④AC⊥BD．从所给的四个条件中任意选择两个为一组，能判定平行四边形ABCD是正方形的有（    ）组 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据正方形的判定定理逐一验证即可求解． 【详解】解：选择①②：有一个是直角的平行四边形是矩形，邻边相等的矩形是正方形；故选择①②符合题意； 选择①③：∵平行四边形对角线互相平分，∴OA=OC，OB=OD ∵OA=OB， ∴AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AB=BC，∴邻边相等的矩形是正方形；故选择①③符合题意； 选择①④：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形也是菱形，故选择①④不符合题意； 选择②③：同理∵OA=OB，∴四边形ABCD是矩形，而有一个是直角的平行四边形也是矩形，故选择②③不符合题意； 选择②④：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形；故选择②④符合题意； 选择③④：同理∵OA=OB，∴四边形ABCD是矩形，对角线互相垂直的矩形是正方形；故选择③④符合题意； 能判定平行四边形ABCD是正方形的有①②、①③、②④、③④，共4组， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B落在AD上的点F处；点M是CD上一点，将△ADM沿AM折叠，点D与点E恰好重合；若AB＝1，则DM的长等于 _____． 【答案】/ 【分析】由折叠的性质得四边形ABEF是正方形，得，AD＝AE，AF＝AB＝1，得出，DM＝ME，CM＝1−ME，最后由勾股定理求出ME即可得到结论． 【详解】由折叠得，AB＝AF，∠BAF＝∠AFE＝∠ABE=90°， ∴四边形ABEF是正方形， ∴AF＝EF＝BE＝AB＝1， ∵AE是折痕， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE＝AB＝， 由折叠得，AD＝AE＝，ME＝DM， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝，CD＝AB＝1，∠C＝90°， ∴CE＝DF＝﹣1，CM＝CD﹣DM＝1﹣ME， 在Rt△CME中，CE2+CM2＝ME2， ∴+（1﹣ME）2＝ME2， 解得：ME＝2﹣， ∴DM＝2﹣， 故答案为：2﹣． 【点睛】此题主要考查了矩形的折叠，以及勾股定理的应用，解答此题的关键是掌握翻折后哪些对应线段是相等的． 【跟踪专练3】将一张正方形纸片对折两次，然后剪下一个角，如果要剪出一个正方形，那么剪口与折痕成（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可判断剪下的四边形必为菱形，再结合正方形的判定即可得出答案． 【详解】解：一张正方形纸片对折两次后，折痕互相垂直，则剪下一个角得到的四边形是菱形， 若要使菱形变为正方形， 则剪口线与折痕应成角． 题型04.由正方形的性质与判定证明 【典例】如图，在正方形中，E，F分别是的中点．若，则的长是____．    【答案】1 【分析】连接，则，根据三角形中位线定理，得． 【详解】连接，因为正方形，， 所以， 因为E，F分别是的中点， 所以． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握正方形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 【跟踪专练1】如图所示，在平行四边形中，对角线相交于点O，且，则下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形对边相等，对角相等，对角线互相平分，据此可判断A、B、D，根据矩形的判定方法可判断C． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形不一定是矩形， ∴不一定成立， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，是边上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交、于点、.给出以下结论：①；②；③；④；⑤当是的中点时，．上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的性质证明全等，可判断①结论；根据正方形的性质证明边形是矩形，可判断②结论；连接交于点，若，则是等边三角形，，可判断③结论；过点作交于点，分别证明四边形是平行四边形，四边形是正方形，可判断④结论；同④理可证，四边形、是正方形，可判断⑤结论． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， 又， ，①结论正确； 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ，②结论正确； 如图，连接交于点， 四边形是矩形， ， 若，则， 是等边三角形， ， ， 是边上一动点（不与、重合）， 不确定，③结论错误； 如图，过点作交于点， ，，， ， 四边形是平行四边形， ， 由①可知，， ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， 四边形是正方形， ， ，④结论正确； 设正方形的边长为，则， 是的中点， ， 同④理可证，四边形、是正方形， ， ， ，， ，⑤结论错误， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键． 【跟踪专练3】如图，已知四边形ABCD为正方形，，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，过作于点, 过作于点，根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，推出矩形为正方形；故正确；根据正方形的性质得到，，推出，得到，求得，故错误；当时，点与点重合，所以不一定等于，故错误；掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点, 过作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形，故正确； ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴平分，故正确； ∴，故错误； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故错误； 综上可得：正确； 故选：A． 题型05.由正方形的性质与判定求角度 【典例】如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°． 【答案】135 【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ACB＝∠BAC＝45° ∴∠2+∠BCP＝45° ∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠BCP＝45° ∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP ∴∠BPC＝135° 故答案为：135． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键． 【跟踪专练1】如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【答案】A 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解． 【详解】解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°， 在菱形BDFE中，BD=DF， 所以，∠DBF=∠AFB， 在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°， 解得∠AFB=22.5°． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键，先求出的度数，折叠，推出四边形是正方形，进而得到，根据三角形的外角的性质，折叠的性质和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：在矩形中，，． 沿折叠，点C恰好落在边上的点处，， 四边形是正方形， ． 由三角形的外角性质，得． 由翻折的性质，得，． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取的中点为，连接，利用中点四边形的性质可以推出，再根据，可以推导出四边形是正方形即可求解． 【详解】解：分别取的中点为，连接， 分别是的中点， ， 又， ， 四边形是正方形， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了中点四边形的性质、正方形的判定及性质，解题的关键是作出适当的辅助线，利用题意证明出四边形是正方形． 题型06.由正方形的性质与判定求线段长 【典例】如图，正方形的对角线、交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是5，则的长为______． 【答案】 【分析】如图，过作于，于，则四边形是正方形，证明，则，，即，解得，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过作于，于，则四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即，解得，（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【跟踪专练1】如图，在边长为的正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且于点F，连接DE，当时，（　　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，则，计算的长，得，证明是等腰直角三角形，可得的长． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是在正方形中学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型． 【跟踪专练2】如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点处，当三角形为直角三角形时，的长为______． 【答案】3或6 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，当为直角三角形，有两种情况：①当点落在矩形内部，即时，连接，结合矩形性质、勾股定理求得，再根据折叠性质得到点、、共线，，，求得，设，则，再根据勾股定理即可得解；②当点落在边上，即时，证明四边形是正方形即可得解． 【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况： ①当点落在矩形内部，即时，如下图，连接， 矩形中，，， 在中，，， ， 把沿着折叠，使点落在点处， ， ， 点、、共线， 根据折叠性质可得：，， ， 设，则， 中，， ， 解得， ； ②当点落在边上，即时，如下图： 由折叠性质得：，， 四边形是正方形， ， 此时符合题意． 故答案为：3或6． 【跟踪专练3】如图，在正方形中，已知边长，点是对角线上一点，，连接．过点作交于点，以，为邻边作矩形，连接．以下四个结论：；是等腰三角形；，两点间的距离为；矩形的面积为，正确的是（   ） A．仅有 B．仅有 C．仅有 D． 【答案】C 【分析】过作于点，延长交于点，过作于点，则，由正方形性质可得平分，，所以，，证明，即可判断；先得出，，则有，，由勾股定理得，然后通过面积即可判断；分别求出，，，即可判断；证明，则，，所以，然后连接，通过勾股定理即可判断． 【详解】解：如图，过作于点，延长交于点，过作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴平分，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为，故正确， ∵，，， ∴不是等腰三角形，故不正确； ∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 连接， ∴，故正确； 综上可知：正确， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形定义等知识掌握知识点的应用是解题的关键． 题型07.由正方形性质与判定求面积 【典例】如图，将边长为2cm的菱形沿边所在的直线翻折得到四边形．若，则四边形的面积为______．    【答案】4 【分析】直接利用翻折变换的性质再结合等边三角形的判定方法得出的长，再证明出四边形是正方形，进而求出答案． 【详解】解：∵将边长为2cm的菱形沿边所在的直线翻折得到四边形，   ∴，，， ， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得：， ∵四边形，是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积为． 故答案为：4． 【点睛】本题考查菱形的性质，翻折变换的性质等知识，准确判断四边形是正方形是解题关键． 【跟踪专练1】如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上上，且，，给出下列结论：①；②；③；④的面积为3．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求∠COD； ②根据正方形的性质可求OE，再根据线段的和差关系可求AE的长； ③作FG⊥CO交CO的延长线于G，过D作DH⊥AE于H，根据含45°的直角三角形的性质可求FG，根据正方形的性质可得DH=OH=1，根据勾股定理可求CF，AD，即可求解； ④根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：①∵四边形OABC和四边形ODEF是正方形，A，O，E共线， ∴∠AOC=90°，∠DOE=45°， ∴∠COD=180°-∠AOC-∠DOE=45°，故正确； ②∵EF=， ∴OE==2， ∵AO=AB=3， ∴AE=AO+OE=2+3=5，故正确； ③作FG⊥CO交CO的延长线于G，过D作DH⊥AE于H， 四边形DOFE为正方形 ， OH=DH=OE=1， ∠GOF=45°， 则FG=1， ∴CF===， AD===， 即CD=AD=，故错误； ④△COF的面积S△COF=×CO×GF=×3×1=，故错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，含45°的直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，平角的定义，综合性较强，有一定的难度． 【跟踪专练2】如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是______． 【答案】25 【分析】本题考查正方形的判定与性质． 根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利进而可得到四边形为正方形，即可求出其面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ，， ， ， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ，， ∴四边形为正方形， ． 故答案为：25 【跟踪专练3】如图，八边形的每个内角都为135°，它是一个旋转对称图形，最小旋转角为，其边长如图中数据所示．设阴影部分面积为，空白部分面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，等腰三角形的判定，图形的面积等知识，作辅助线利用图形的对称性是解题的关键． 过旋转对称中心向两边作垂线，垂足分别为点，延长交于，则可得四边形为正方形；易得，，则可求得的长，求得正方形的面积，正方形的面积，的面积，进一步可求得，从而求得的面积，最后可求得，从而求得其比值． 【详解】解：如图，过旋转对称中心向两边作垂线，垂足分别为点，延长交于点，则四边形为正方形， ， ， ，， ，， ，，， 故， ， ， ． 题型08.正方形性质与判定的实际应用 【典例】如图，有一块边长为1米的正方形木板，李师傅按图中尺寸锯掉一角，剩下木板的周长是_______． 【答案】 【分析】根据正方形求出，利用勾股定理求出，再计算周长即可． 【详解】解：如图， ，， 在中，， 剩下木板的周长为． 【跟踪专练1】如图，小浙同学用长度相等的四根木条制作了可活动的四边形学具，改变其内角度数，四边形可变为四边形，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正方形，菱形的判定与性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，分母有理化等知识，解题的关键是掌握以上知识点．首先证明出四边形是正方形，设正方形的边长为a，然后利用勾股定理求出，连接，过点作交的延长线于点E，得到，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：∵小浙同学用长度相等的四根木条制作了可活动的四边形学具， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴设正方形的边长为a ∴ ∴ 如图所示，连接，过点作交的延长线于点E ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，中国结内包含两个全等的正方形．若两个大正方形的面积均为，重叠部分的小正方形的面积为，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，二次根式的加减，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 由大正方形和小正方形的面积分别求出正方形的边长，即、的长度，最后根据线段的和差关系求出的长． 【详解】解：两个大正方形的面积均为， ． 小正方形的面积为， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】现有①②③三种不同的矩形木板（边长如图（1）所示），取①②③木板各一块，按如图（2）所示的方式摆放（木板②③无重叠，无缝隙），则木板①没有被覆盖的面积为________；在图（2）摆放的基础上再放置一块木板②，如图（3）所示，则此时的木板①没有被覆盖的面积为________． 【答案】 【分析】此题考查正方形的性质，整式的混合运算，掌握基本平面图形的面积计算方法是解决问题的关键． 图（2）木板①没有被覆盖的是长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式直接求解即可；图（3）木板①没有被覆盖的部分可以用长为，宽为的矩形面积减去长为，宽为的矩形，化简后合并同类项即可． 【详解】解：图（2）木板①没有被覆盖的面积为， 图（3）木板①没有被覆盖的面积为， 故答案为：，． 题型09.正方形与最值问题 【典例】如图所示，正方形的边长为，是上一点，且，是对角线上一动点，则的最小值是 _____ ． 【答案】/厘米 【分析】连接，交于点，连接，由正方形的性质可得关于对称，得到，进而得到，即得点和点重合时，最小，最小值等于的长，利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：连接，交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴关于对称， ∴， ∴， 即点和点重合时，最小，最小值等于的长， ∵正方形的边长为， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，四边形为正方形，，是直线上一动点，连接，作，垂足为，则的最小值为______，最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理，正方形的性质．先判断点的轨迹是以为直径的半圆（、除外），连接，当点在线段上时，最小，当点在延长线上时，最大，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴点的轨迹是以为直径的半圆（、除外）， 连接，如图， ∵四边形为正方形，， ∴， ∴， 当点在线段上时，最小，最小值为； 当点在延长线上时，最大，最大值为； 故答案为：；． 【跟踪专练2】如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接、、，则四边形周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C． D． 【答案】B 【分析】延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴四边形周长， 根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值． ∵E为边长是4的正方形的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长的最小值为． 【跟踪专练3】如图，在正方形中，点，分别在边、上，连接，．若，，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】延长到P使，连接，，，证明，推出，当点A、F、P在一条直线上时，取得最小值，利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，延长到P使，连接，，， 在正方形中，，， 在和中， ， ， ， ， ， ，当点A、F、P在一条直线上时，取得最小值， 的长为的最小值， ， ，， ，即的最小值为． 题型10.正方形规律探究问题 【典例】在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则_________． 【答案】4 【分析】根据正方形的性质求出，证明，可得，结合勾股定理求出，根据，，，可得，同理可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据题意可得，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得：， ∴． 【跟踪专练1】如图，以边长为1的正方形的边为对角线作第二个正方形，再以为对角线作第三个正方形，如此作下去，，则所作的第2022个正方形的面积_____． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律，正方形的性质，二次根式的计算，理解图示，找出规律是关键，根据题意，第n个正方形的面积为，由此即可求解． 【详解】解：边长为1的正方形的面积为， 根据题意，，， ∴， ∴正方形的边长，则面积为， 正方形的边长为，则面积为， ， ∴第n个正方形的面积为， ∴第2022个正方形的面积为 ． 【跟踪专练2】如图，正方形ABCD的面积为4，分别取AB，BC，CD，DA的中点得到正方形；再分别取，的中点得到正方形；…．以此类推，正方形．的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由勾股定理求得，即可求得正方形与正方形的面积，然后得规律：正方形的面积为． 【详解】解：正方形的面积为4， ． 又分别是AB，BC，CD，DA的中点， ． 同理可得，， ， 四边形是边长为的正方形，其面积为． 同理可得，的面积为， 四边形的面积为． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质以及勾股定理，属于规律性题目，得到规律求正方形的面积是解题的关键． 【跟踪专练3】将n个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质．设第一个正方形为，连接，第一个正方形与第二正方形的两边分别交于点E，F，则，证明，可得，从而得到第一个阴影部分的面积为，再由两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为阴影部分的和，即可求解． 【详解】解：如图，设第一个正方形为，连接，第一个正方形与第二正方形的两边分别交于点E，F，则，    ∵点是正方形的中心， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴第一个阴影部分的面积为， 同理其它的阴影部分的面积为， 根据题意得：两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为阴影部分的和， ∴n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为． 故选：C． 【跟踪专练4】如图，正方形中，，与直线的夹角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形依此规律，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得，可得，再根据直角三角形的性质求出然后根据规律得，则此题可解． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∴ 根据勾股定理，得 ∴ 同理 ∴． 题型11.正方形动点问题 【典例】如图，正方形的边长为，为上的一点，，为上的一点，，为上一个动点，则的最小值为______． . 【答案】 【分析】根据“将军饮马”模型，作点关于直线的对称点，连接，则的最小值为的长，再过点作于点，证出四边形为矩形，进一步得出和的长，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，，过点作于点， ，，， ． 在正方形中，，， 四边形为矩形， ，， ． 在中， , 即的最小值为． 【跟踪专练1】如图，四边形是正方形，点是线段延长线上的动点，点是线段延长线上的动点，连接，设． 给出下面三个结论： ①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系可判断①；根据勾股定理可知，结合完全平方公式，可判断②；根据完全平方公式，结合和，可判断③． 【详解】解：如图，连接，设， 则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴在中，，即， ①在中，由三角形三边关系可知， 即，故①正确； ②∵，即， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③∵， 由②知， ∴，即 综上所述，正确的结论是①②③． 【跟踪专练2】如图，在边长为的正方形中，是的中点，分别是边上的动点，且交于点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过作于点，将正方形沿翻折，得到正方形，连接，过点作交于点，由正方形性质可得，，，则有四边形是矩形，，，四边形是平行四边形，然后证明，，可得，由，要使有最小值，则有最小值，则当三点共线时，为线段的长，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，将正方形沿翻折，得到正方形，连接，过点作交于点， ∴， ∵四边形，四边形是正方形， ∴，，， ∴，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴要使有最小值，则有最小值，则当三点共线时，为线段的长，如图， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【跟踪专练3】如图所示，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等，连接，可得，即得，得到最小值等于最小值，作点关于的对称点，如图， 连接，与的交点为点，可知此时的值最小，即的值最小，最小值为线段的长，再利用勾股定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴最小值等于最小值， 作点关于的对称点，如图， 连接，与的交点为点， 根据对称性可知， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，即的值最小，最小值为线段的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 【跟踪专练4】如图，正方形中，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，连接、和，设运动时间为． (1)当时，如图①所示，则______； (2)若，则______； (3)连接，与和分别交于点，，如图②所示： ①若，求的长和此时的值； ②求证：点是的中点． 【答案】(1) (2) (3)①；；②见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，再根据勾股定理求解即可； （2）根据，得到，，再根据勾股定理即可求解； （3）①根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到，推出，得到，求得，最后根据勾股定理求出；②过作交于，根据平行线的性质和全等三角形的判定与性质即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ， ，， ； （2）解：， ，， ，， ，即， 解得（负值已舍去）； （3）①解：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； ②证明：过作交于， 则，， ∵， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 点是的中点． 【点睛】综合应用正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型12.正方形与平面直角坐标系综合 【典例】将正方形按如图方式放置在平面直角坐标系中，点，点． （1） ________________ ； （2）点B的坐标是 __________ ． 【答案】 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据正方形的性质得出； （2）过点B作轴于点E，证明，得出，，求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴在中，， ∵四边形为正方形， ∴． （2）过点B作轴于点E，如图所示， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵轴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，顶点A的坐标是，轴，点B、C在第一象限，则顶点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，写出坐标系中点的坐标，根据正方形的性质得到，从而得到点B的横坐标为，纵坐标为1，进而得出点C的横坐标为2，纵坐标为． 【详解】解：正方形的边长为3，顶点A的坐标是，轴，点B、C在第一象限， ，点B的横坐标为，纵坐标为1， 点C的横坐标为2，纵坐标为， ， 故选：C． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点，B分别在x，y轴的正半轴上，始终保持，以为边向右上方作正方形，，交于点，连接．下列结论正确的是________．（请填写序号）①直线的函数表达式为；②的取值范围是；③若，则B点的坐标为；④连接，则的最大值为． 【答案】①②④ 【分析】作轴，轴，易证，可得，进而可求得直线的函数解析式为；当时，，则，则，（当时同理可得：），当时，B点的坐标为或；取的中点，连接，，，，则，，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，，由三角形三边关系可得：，当，，在同一直线上时取等，由，，可得，（当时同理可得：），即可得；由三角形三边关系可得：，当，，在同一直线上时取等，即可求得的最大值． 【详解】解：作轴，轴，则四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是正方形，， ∴与互相垂直且平分，， 则，，， 则，， ∴， ∴， ∴，（当时同理） 由题意可知，点在第一象限，设，直线的函数解析式为：， 代入可得：，可得，即直线的函数表达式为，故①正确； ∵，轴，轴， ∴四边形是正方形，则， 当时，， 则， 则，（当时同理可得：） ∴当时，B点的坐标为或，故③错误； 取的中点，连接，，，， 则，， ∵，， ∴，， 由三角形三边关系可得：，当，，在同一直线上时取等， ∵， 又∵， ∴，（当时同理可得：） 则，故②正确； 由三角形三边关系可得：，当，，在同一直线上时取等， ∴的最大值为，故④正确； 综上：正确的有①②④，共3个； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的三边关系，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B是x轴上一个动点，连接，以为边作正方形，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】连接，过点作轴于点，则，在轴正半轴取点，使得，连接，延长至点，使得，连接，则，再证明，可求，则垂直平分，那么，则，当点三点共线时，取得最小值即为，由中点坐标公式可得，即可求解． 【详解】解：连接，过点作轴于点，则，在轴正半轴取点，使得，连接，延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 同理当点在点右侧，亦成立， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值即为， ∵，，且为中点， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，中点坐标，两点间距离公式等知识点，正确运用转化思想是解题的关键． 【跟踪专练4】如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N． (1)①直接写出点C的坐标；②求证：； (2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，求点P的坐标； (3)如图，连接交于F，连接，下列两个结论： ①的长为定值； ②平分，其中只有一个正确，选择并证明． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) (3)“平分”正确，证明见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质求解即可； ②在上取点P，使得，证明即可； （2）过点N分别作轴于点H，于点Q，连接，先证明，得到，然后证明，得到，再计算的长即可； （3）延长到点A，使得，连接，先证明，再证明，得到，进一步推得，然后过点M作于点P，即可逐步证明． 【详解】（1）①解：， ， 四边形是正方形， ， 点C的坐标是； ②证明：在上取点P，使得， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点N分别作轴于点H，于点Q，连接， 由（1）知， 又 四边形是正方形 ， ，， 四边形是平行四边形， ， 点P的坐标为； （3）解：平分成立． 证明如下：如图，延长到点A，使得，连接， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 过点M作于点P， ， ， ， ， 由（1）知， 又， ， 即平分． 【点睛】本题中，3个小题均运用了添加辅助线，构造全等三角形，这是本类题常用的解题方法． 题型13.正方形多结论判断题 【典例】如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：①；②；③；④的面积是6．其中正确的结论为（    ） A．①②④ B．①④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据正方形的性质和平角的定义可求即可判断①；首先证明，可得，利用勾股定理求解即可判断②③；根据三角形面积公式计算即可判断④． 【详解】解：①，， ，故①正确； ②四边形与四边形均为正方形， ，，， ， ， ， ， 连接交于,过作交于， 四边形为矩形， ，， ，, ， ， ，， ∴，故②正确； ， ∴，故③错误； ④的面积，故④正确； 其中正确的结论为①②④． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，，对角线，相交于点O，点E从点B出发，在边上由B向A移动，同时点F从点A出发，以相同的速度在边上由A向D移动，连接，．下列结论：①；②四边形的面积为1；③；④四边形周长的最小值为．其中正确的结论有________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．首先利用正方形的性质得到相关边和角的关系，证明三角形全等，得到，即可得到①；根据，得到，结合，计算即可得到②；连接，得到，求出，，得到，得到③；根据全等得到四边形周长为，根据垂线段最短可知，当时，四边形周长最小，得到，得到四边形周长最小值为，判断④即可． 【详解】解：由题意得， ∵四边形是正方形 ∴，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴四边形的面积为： ， 故②正确； 如图，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，， ∴四边形周长为， 根据垂线段最短可知，当时，四边形周长最小， ∵，， ∴， ∵， ∴， 四边形周长最小值为，故④不正确， 综上可知：①②③正确． 故答案为：①②③． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，点P在对角线上，，，E，F分别为垂足，连接，．下面是某个学习小组给出的结论： 小红：若，则； 明明：若，则； 笑笑：若正方形边长为8，则EF的最小值为4； 下列说法正确的是（    ） A．他们三个的结论都正确 B．他们的结论都不正确 C．只有明明的结论正确 D．只有笑笑的结论错误 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，根据正方形的性质，证明四边形为矩形，四边形为正方形，，从而得出小红的结论正确，明明的结论正确，当时，AP有最小值，此时P为的中点，利用勾股定理即可得出笑笑的结论错误，从而得出结果． 【详解】解：如图，延长交于Q， ∵四边形为正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴四边形为正方形． ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，若，则，则小红的结论正确； 若，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则明明的结论正确； 当时，AP有最小值，此时P为的中点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴EF的最小值为，则笑笑的结论错误． 故选D． 【跟踪专练3】如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况： ①若G为的中点，则四边形是正方形； ②若G为上任意一点，则； ③点G在运动过程中，的值为定值4； ④点G在运动过程中，线段的最小值为．    A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】先证明四边形是矩形，再证明，则四边形是正方形，即可判定①正确；连接，由四边形是矩形，得，再证明，得，则，即可判定②正确；证明，，从而得，即可判定③正确；根据，所以当最小时，最小，所以当时，最小， 利用求得，即得线段的最小值为，即可判定④正确． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 于点，于点， ， 四边形是矩形，，， ∴，， ∵G为的中点， ∴ ∴ ∴四边形是正方形，故①正确； 连接，    ∵四边形是矩形， ∴， 在与中， ， ， ， ，故②正确； ∵ ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， 即的值为定值4，故③正确； ∵， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小， 在 中，， ∵ ∴ ∴， ∴线段的最小值为，故④正确； ∴正确的有①②③④． 故选：A． 【点睛】此题考查正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短．解题关键是熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质． 题型14.三角形中位线综合 【典例】如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D、E，并且测出的长为16米，则A、B间的距离为______米． 【答案】32 【分析】根据中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵点D、E为，的中点， ∴为的中位线， ∴米， ∴则A、B间的距离为32米． 【跟踪专练1】如图，点是任意四边形中的中点，若四边形是矩形，则四边形需要满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的判定，根据三角形中位线定理，得到，，则可证明四边形是平行四边形，要使四边形是矩形，那么要满足，即要满足，据此可得答案． 【详解】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形中、、、的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 要使四边形是矩形，那么要满足，即要满足， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，，两点被池塘隔开，小林在池塘外选定一点，然后测量出，的中点，的距离，若，则，两点间的距离为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据三角形的中位线性质得出，再代入求出答案即可． 【详解】连接， ∵分别是的中点， ∴， ∵， ∴， 即两点间的距离是， 故选：C．      【点睛】本题考查了三角形的中位线性质，能根据三角形的中位线性质得出是解此题的关键，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【跟踪专练3】如图，在中，平分，D是的中点，，，，则的长度为（   ） A．1 B．1.5 C．3 D．5 【答案】B 【分析】延长，，相交于点F，证明，得出，，然后利用三角形中位线定理求解即可．本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，延长，，相交于点F是解题的关键． 【详解】解：延长，，相交于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵D是的中点，， ∴． 故选：B． 【跟踪专练4】如图，已知点在四边形的边上，且，平分，与交于点，分别与、交于点、．（1）；（2）；（3）；（4）四边形的周长最大值为10．以上说法正确的是个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等边对等角得，再根据角平分线的定义得，然后根据三角形外角的性质得，即可得，进而解答（1）；根据“边角边”解答（2）即可；结合已知条件不能得出该结论，判断（3）；先说明是的垂直平分线，再设则，根据勾股定理得，进而得出，然后根据中位线的性质得，接下来结合四边形的周长为，最后结合完全平方公式的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴，则（1）正确； ∵平分， ∴． ∵， ∴，则（2）正确； 只有都是等边三角形，可得，由已知条件不能得出该结论，所以（3）不正确； ∵， ∴． ∵，， ∴是的垂直平分线，即． 设则， ∵， 即， 解得， ∴． ∵， ∴， ∴四边形的周长为， 当时，四边形的周长最大值为10，则（4）正确． 所以正确的有3个，C符合题意． 【解答题】 1．如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，，，从而得到，，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）过点作，交于点．由含的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质，结合三角形的中位线即可求得结果． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， ，． ，分别是，的中点， ，， ，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，过点作，交于点． 在中，由，，得， ． 在中，由，，得， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，含角的直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记定理是解题的关键． 2．如图，正方形，是对角线上一动点，点不与点、点重合，，且，连接，，． (1)求证：； (2)请直接写出与之间的数量关系； (3)若，请直接写出长度的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)最小值为2 【分析】（）利用正方形的性质可得，利用余角性质可得，结合进而即可求证； （2）由（1）知，可得，，易证，由即可得出结论； （3）当时，有最小值，进而得到有最小值． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 由（1）知， ∴，， ∵，即， ∴，即， ∴； （3）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 当时，有最小值，进而得到有最小值， 此时，点为的中点，则， 由（2）知， ∴长度的最小值为． 3．综合与实践： 正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边作正方形，连接； (1)【初步探究】如图1，当点P在线段上时，与的数量关系是___________；与的位置关系为__________；三者的数量关系为_________； (2)【探索发现】当点P在线段延长线上运动时，如图2，探究线段和三者之间数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，连接，若，，则的长为_________． 【答案】(1) ， ， (2)，理由见解析 (3)3 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． （1）证明，得出，，求出，利用勾股定理求出，即可求解； （2）类似（1）探究即可； （3）利用勾股定理求出，，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形、都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， 故答案为：，； （2）解：． 理由：∵四边形都是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又，， ∴． （3）解：在正方形ABCD中，， ∴． 由（2）知：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 4．如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 【答案】(1)， (2)a的值为2或 【分析】（1）先根据点P运动的速度与时间，用t表示出，再根据，用t表示出； （2）分、两种情况讨论，分别求出a的值． 【详解】（1）解：点P在线段上以的速度由B点向点C运动，运动的时间为t秒， ， ， ， 故答案为：2t，； （2）当时， 此时，， 则有，， 此时，． 当时， 此时，， 则有，， 此时，． 综上所述，a的值为2或． 【点睛】本题考查了列代数式，全等三角形的性质，根据正方形的性质求线段长，（特殊）平行四边形的动点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 5．折纸飞机是我们儿时快乐的回忆，现有一张长为a、宽为b的白纸，如图，以下为某种折纸飞机的方法的前三个步骤： 说明：以上白纸为矩形，长为，宽为，所在直线为矩形的一条对称轴． 第一步：白纸沿着折叠，边的对应边与边平行，将它们的距离记为x． 第二步：将和分别沿着，折叠，使的对应边与的对应边完全重合，从而获得边与的距离也为x． 第三步：… (1)第三步中______°； (2)根据上述材料，求出x的值；（用含a，b的代数式表示） (3)若有一张白纸（长为、宽为），按上述方法折成一个纸飞机，求第三步中的的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题是四边形的综合题，考查翻折变换，正方形的判定与性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考创新题型． （1）由折叠的性质得到，得到正方形是正方形，求得，于是得到； （2）由题意得，求得，由折叠得到，求得，解方程得到结论； (3)当，时，由得，设的延长线与边相交于点T，则，在上截取，连接，设，则，求得，得到，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，由折叠的性质得，， ， 正方形是正方形，， ∴， 故答案为：； （2）由题意得， ， 由折叠得， ∵， ， ， 解得； （3）当时，由（2）得， ， 设的延长线与边相交于点T， 则， 在上截取，连接，设， 则， 由得，， ， ， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 6．如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)边形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握对称性，正方形的判定和性质，勾股定理，是解题的关键． （1）对称性得到，，，，，进而推出，得到四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）设，推出，在中，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形．理由如下： ∵于点D， ∴． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 又∵， ∴矩形是正方形． （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，． 设，则． ∴． ∵， ∴，． ∴． 在中，，即． 解得． ∴． ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06正方形与三角形中位线期中复习讲义 1.明确定义：邻边相等 + 直角的平行四边形 2.吃透性质：四边等、四角直、对角线垂直相等平分 3.掌握判定：矩形 + 邻边等 / 菱形 + 直角 / 定义直接判 4.理清关系：正方形 = 矩形 + 菱形 1.秒算：边长、对角线、面积、周长 2.会证：全等、垂直、相等、共线 3.善辨：不混矩形、菱形、正方形 4,能用：搞定折叠、旋转、几何综合 1.选择填空：快、准、不踩坑 2.证明题：步骤规范，逻辑满分 3.避易错：判定不缺条件、性质不记混 4.综合题：会转化、能建模，稳稳拿分 题型01.正方形的性质及应用 题型02.正方形折叠问题 题型03.证明四边形是正方形 题型04.由正方形的性质与判定证明 题型05.由正方形的性质与判定求角度 题型06.由正方形的性质与判定求线段长 题型07.由正方形性质与判定求面积 题型08.正方形性质与判定的实际应用 题型09.正方形与最值问题 题型10.正方形规律探究问题 题型11.正方形动点问题 题型12.正方形与平面直角坐标系综合 题型13.正方形多结论判断题 题型14.三角形中位线综合 解答题6题 知识点01.正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 本质：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形（邻边相等的矩形）、特殊的菱形（有一个直角的菱形），集合了矩形与菱形的所有特征。 知识点02.正方形的性质（核心） 正方形具备平行四边形、矩形、菱形的全部性质： 类别 性质描述 几何语言（以正方形 ABCD 为例，对角线交于 O） 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03.正方形的判定（核心） 知识点04.正方形与特殊平行四边形的关系 性质对比： 图形 对边平行 四边相等 四角直角 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 √ × × × × 矩形 √ × √ √ × 菱形 √ √ × × √ 正方形 √ √ √ √ √ 知识点05.三角形的中位线（重点掌握） 1.基本概念 三角形中位线：连接三角形两边中点的线段。. 一个三角形有 3 条中位线。 2.核心定理（必背、必考） 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，若 M、N 分别是 AB、AC 中点，则MN∥BC,MN=BC 题型01.正方形的性质及应用 【典例】如图，是正方形对角线上一点，且，连接并延长，交于点，则的度数是___________． 【跟踪专练1】如图，四边形是正方形，点在上，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【跟踪专练2】如图：矩形内有两个相邻的正方形，且左右两边的正方形面积分别为和，那么图中阴影部分的面积为_______． 【跟踪专练3】如图，四边形是正方形，，那么等于_______． 【跟踪专练4】如图，在正方形的外侧作等边，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练5】如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 题型02.正方形折叠问题 【典例】如图，四边形是边长为的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则AM的长是_______． 【跟踪专练1】如图，将正方形纸片沿线段折叠之后，使点落在正方形内部的点处，若比大，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】边长为12的正方形中，是的中点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于，则的长是______．    【跟踪专练3】如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 题型03.证明四边形是正方形 【典例】小明在学习完四边形后，整理成如图所示的知识结构图，发现通过添加边、角或对角线等元素的特殊条件，就能得到特殊的四边形．写出条件①中你认为合适的边、角或对角线的条件是______．（写出一个即可）    【跟踪专练1】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，给出四个条件：①AB=BC；②∠ABC=90°；③OA=OB；④AC⊥BD．从所给的四个条件中任意选择两个为一组，能判定平行四边形ABCD是正方形的有（    ）组 A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练2】如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B落在AD上的点F处；点M是CD上一点，将△ADM沿AM折叠，点D与点E恰好重合；若AB＝1，则DM的长等于 _____． 【跟踪专练3】将一张正方形纸片对折两次，然后剪下一个角，如果要剪出一个正方形，那么剪口与折痕成（   ） A． B． C． D． 题型04.由正方形的性质与判定证明 【典例】如图，在正方形中，E，F分别是的中点．若，则的长是____．    【跟踪专练1】如图所示，在平行四边形中，对角线相交于点O，且，则下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，是边上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交、于点、.给出以下结论：①；②；③；④；⑤当是的中点时，．上述结论中，正确结论的序号有_____． 【跟踪专练3】如图，已知四边形ABCD为正方形，，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 题型05.由正方形的性质与判定求角度 【典例】如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°． 【跟踪专练1】如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【跟踪专练2】如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 【跟踪专练3】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 题型06.由正方形的性质与判定求线段长 【典例】如图，正方形的对角线、交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是5，则的长为______． 【跟踪专练1】如图，在边长为的正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且于点F，连接DE，当时，（　　　） A．1 B． C． D． 【跟踪专练2】如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点处，当三角形为直角三角形时，的长为______． 【跟踪专练3】如图，在正方形中，已知边长，点是对角线上一点，，连接．过点作交于点，以，为邻边作矩形，连接．以下四个结论：；是等腰三角形；，两点间的距离为；矩形的面积为，正确的是（   ） A．仅有 B．仅有 C．仅有 D． 题型07.由正方形性质与判定求面积 【典例】如图，将边长为2cm的菱形沿边所在的直线翻折得到四边形．若，则四边形的面积为______．    【跟踪专练1】如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上上，且，，给出下列结论：①；②；③；④的面积为3．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是______． 【跟踪专练3】如图，八边形的每个内角都为135°，它是一个旋转对称图形，最小旋转角为，其边长如图中数据所示．设阴影部分面积为，空白部分面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型08.正方形性质与判定的实际应用 【典例】如图，有一块边长为1米的正方形木板，李师傅按图中尺寸锯掉一角，剩下木板的周长是_______． 【跟踪专练1】如图，小浙同学用长度相等的四根木条制作了可活动的四边形学具，改变其内角度数，四边形可变为四边形，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，中国结内包含两个全等的正方形．若两个大正方形的面积均为，重叠部分的小正方形的面积为，则的长为___________． 【跟踪专练3】现有①②③三种不同的矩形木板（边长如图（1）所示），取①②③木板各一块，按如图（2）所示的方式摆放（木板②③无重叠，无缝隙），则木板①没有被覆盖的面积为________；在图（2）摆放的基础上再放置一块木板②，如图（3）所示，则此时的木板①没有被覆盖的面积为________． 题型09.正方形与最值问题 【典例】如图所示，正方形的边长为，是上一点，且，是对角线上一动点，则的最小值是 _____ ． 【跟踪专练1】如图，四边形为正方形，，是直线上一动点，连接，作，垂足为，则的最小值为______，最大值为______． 【跟踪专练2】如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接、、，则四边形周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C． D． 【跟踪专练3】如图，在正方形中，点，分别在边、上，连接，．若，，则的最小值为____________． 题型10.正方形规律探究问题 【典例】在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则_________． 【跟踪专练1】如图，以边长为1的正方形的边为对角线作第二个正方形，再以为对角线作第三个正方形，如此作下去，，则所作的第2022个正方形的面积_____． 【跟踪专练2】如图，正方形ABCD的面积为4，分别取AB，BC，CD，DA的中点得到正方形；再分别取，的中点得到正方形；…．以此类推，正方形．的面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】将n个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（   ）    A． B． C． D． 【跟踪专练4】如图，正方形中，，与直线的夹角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形依此规律，则（   ） A． B． C． D． 题型11.正方形动点问题 【典例】如图，正方形的边长为，为上的一点，，为上的一点，，为上一个动点，则的最小值为______． . 【跟踪专练1】如图，四边形是正方形，点是线段延长线上的动点，点是线段延长线上的动点，连接，设． 给出下面三个结论： ①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【跟踪专练2】如图，在边长为的正方形中，是的中点，分别是边上的动点，且交于点，则的最小值为______． 【跟踪专练3】如图所示，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练4】如图，正方形中，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，连接、和，设运动时间为． (1)当时，如图①所示，则______； (2)若，则______； (3)连接，与和分别交于点，，如图②所示： ①若，求的长和此时的值； ②求证：点是的中点． 题型12.正方形与平面直角坐标系综合 【典例】将正方形按如图方式放置在平面直角坐标系中，点，点． （1） ________________ ； （2）点B的坐标是 __________ ． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，顶点A的坐标是，轴，点B、C在第一象限，则顶点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点，B分别在x，y轴的正半轴上，始终保持，以为边向右上方作正方形，，交于点，连接．下列结论正确的是________．（请填写序号）①直线的函数表达式为；②的取值范围是；③若，则B点的坐标为；④连接，则的最大值为． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B是x轴上一个动点，连接，以为边作正方形，连接，则的最小值为_______． 【跟踪专练4】如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N． (1)①直接写出点C的坐标；②求证：； (2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，求点P的坐标； (3)如图，连接交于F，连接，下列两个结论： ①的长为定值； ②平分，其中只有一个正确，选择并证明． 题型13.正方形多结论判断题 【典例】如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：①；②；③；④的面积是6．其中正确的结论为（    ） A．①②④ B．①④ C．①②③ D．①③④ 【跟踪专练1】如图，在正方形中，，对角线，相交于点O，点E从点B出发，在边上由B向A移动，同时点F从点A出发，以相同的速度在边上由A向D移动，连接，．下列结论：①；②四边形的面积为1；③；④四边形周长的最小值为．其中正确的结论有________（填序号）． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，点P在对角线上，，，E，F分别为垂足，连接，．下面是某个学习小组给出的结论： 小红：若，则； 明明：若，则； 笑笑：若正方形边长为8，则EF的最小值为4； 下列说法正确的是（    ） A．他们三个的结论都正确 B．他们的结论都不正确 C．只有明明的结论正确 D．只有笑笑的结论错误 【跟踪专练3】如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况： ①若G为的中点，则四边形是正方形； ②若G为上任意一点，则； ③点G在运动过程中，的值为定值4； ④点G在运动过程中，线段的最小值为．    A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 题型14.三角形中位线综合 【典例】如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D、E，并且测出的长为16米，则A、B间的距离为______米． 【跟踪专练1】如图，点是任意四边形中的中点，若四边形是矩形，则四边形需要满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，两点被池塘隔开，小林在池塘外选定一点，然后测量出，的中点，的距离，若，则，两点间的距离为（    ）      A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在中，平分，D是的中点，，，，则的长度为（   ） A．1 B．1.5 C．3 D．5 【跟踪专练4】如图，已知点在四边形的边上，且，平分，与交于点，分别与、交于点、．（1）；（2）；（3）；（4）四边形的周长最大值为10．以上说法正确的是个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答题】 1．如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 2．如图，正方形，是对角线上一动点，点不与点、点重合，，且，连接，，． (1)求证：； (2)请直接写出与之间的数量关系； (3)若，请直接写出长度的最小值． 3．综合与实践： 正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边作正方形，连接； (1)【初步探究】如图1，当点P在线段上时，与的数量关系是___________；与的位置关系为__________；三者的数量关系为_________； (2)【探索发现】当点P在线段延长线上运动时，如图2，探究线段和三者之间数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，连接，若，，则的长为_________． 4．如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 5．折纸飞机是我们儿时快乐的回忆，现有一张长为a、宽为b的白纸，如图，以下为某种折纸飞机的方法的前三个步骤： 说明：以上白纸为矩形，长为，宽为，所在直线为矩形的一条对称轴． 第一步：白纸沿着折叠，边的对应边与边平行，将它们的距离记为x． 第二步：将和分别沿着，折叠，使的对应边与的对应边完全重合，从而获得边与的距离也为x． 第三步：… (1)第三步中______°； (2)根据上述材料，求出x的值；（用含a，b的代数式表示） (3)若有一张白纸（长为、宽为），按上述方法折成一个纸飞机，求第三步中的的长． 6．如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $