精品解析：江苏靖江市靖城中学2025-2026学年度第二学期阶段质量监测调研 九年级数学试题

靖城中学2025～2026学年度第二学期阶段质量监测调研 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据特殊角的三角函数值，即可得解． 【详解】∵tan30°=, ∴A选项正确． 故选：A． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 2. “小明家买彩票将获得500万元大奖”记作事件M，则事件M是（ ）． A. 必然事件 B. 确定事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据各类事件的定义即可判断事件M的类型． 【详解】解：∵ 小明家买彩票获得500万元大奖，这件事可能发生也可能不发生． ∴ 事件M符合随机事件的定义，是随机事件． 3. 如图，在两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向北偏东．若两地同时开工，要使公路准确接通，则的度数应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查平行线的性质，方位角．根据两直线平行，同旁内角互补列式进行计算即可得解． 【详解】解：如图： 由题意得，， ∴， ∴ 故选：C． 4. 如图，含角的三角板的斜边与量角器的直径重合，点C和点D在量角器的半圆上，点D在量角器上的读数是，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，由题意可知，，由圆周角定理得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：连接，， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴． 5. 下列整数中，与最接近的是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由，可知，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴与4更接近， 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的大小估算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 6. 如图，在点处看建筑物处的仰角为，向建筑物走近了米到达点处，在点处看点处的仰角为，则可以表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的外角性质求出，从而证得为等腰三角形，得到，最后在中利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， 在中，，，  ， ． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．答案直接填写在答题卡相应位置．） 7. 已知一组数据8，10，12，9，11，这组数据的极差是______． 【答案】 4 【解析】 【分析】根据极差的定义，找出这组数据的最大值与最小值，作差即可求解． 【详解】解：根据题意，这组数据为，，，，，其中最大值为，最小值为， 因此极差为． 8. 《年中国卫星导航与位置服务产业发展白皮书》显示，年我国卫星导航与位置服务产业总产值达亿元；“亿”用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定与的值即可求解． 【详解】解：， 根据科学记数法的定义可得：． 9. 一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面积公式的运用，勾股定理，注意运用圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形这个知识点． 利用勾股定理易得圆锥的母线长，进而利用圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的底面半径，高， 圆锥的母线长为， 圆锥的侧面积为， 故答案为：． 10. 在实数范围内分解因式：＝______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式，得． 【详解】解：根据平方差公式，得 故答案为：． 【点睛】此题考核知识点：平方差公式，解题的关键在于将式子化为形式． 11. 在平面直角坐标系中，把点向左平移3个单位得到点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可得出答案． 【详解】∵把点向左平移3个单位得到点， ∴． ∴． ∴． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了坐标系中点的平移规律，平移中点的坐标规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，熟知点的坐标平移规律是解题的关键． 12. 方程的两个根分别记作，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，结合已知可得，即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根分别记作，，， ∴ ∵， ∴ ∴ 13. 如图，在中，，是的角平分线，，，则点D到的距离是______． 【答案】6 【解析】 【分析】过点作于点，求得，根据角平分线的性质可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ，是的角平分线，， ，即点D到的距离是． 14. 一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定，对称轴，，从而确定答案． 【详解】解：∵二次函数的对称轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向上，即， ∵二次函数的顶点在y轴正半轴上， ∴，即，， ∴二次函数的解析式可以是（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的关键． 15. 某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是_____________班． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决问题的关键．根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【详解】解：∵甲、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴设反比例函数表达式为， 则甲、乙、丙、丁， 过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示： 由图可知， ∴、乙、丙、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知合格人数，则： ①，即甲、丁两个班级合格人数相同； ②，即乙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数少； ③，即丙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数多； 综上所述：乙班级合格人数甲班级合格人数丁班级合格人数丙班级合格人数， ∴这四个班合格人数最多的是丙， 故答案为：丙． 16. 如图，是的外接圆，是的高，延长交于点，过点的切线交的延长线于点．若，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】作的直径，连接，，则，由题意可推出，在中，根据三角函数求出，，推出，根据勾股定理求出，根据圆周角定理可得，，根据三角函数求出，进而求出，即可求解． 【详解】解：如图，作的直径，连接，， ， 是的高， ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线， ， ， 故答案为：． 【点睛】正确作出辅助线，结合圆周角定理和三角函数求出圆的直径是解题的关键． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算与解不等式 （1）计算：； （2）解不等式：． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）分别根据零指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则计算每一项，再按照实数加减运算法则合并结果． （2）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤，求解不等式的解集． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 18. 某校有名女生和名男生参加学校青少年禁毒知识演讲决赛，采用抽签的方式决定出场顺序． （1）第一个出场为男生的概率是______． （2）用列表或画树状图求前两个出场都是女生的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率． 直接根据概率公式解答即可； 根据题意画出树状图得出所有等情况数和前两个出场的都是男生的情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：有名女生和名男生参加学校青少年禁毒知识演讲决赛， 第一个出场为男生的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 共有种等情况数，其中前两个出场都是女生的概率有种， 则前两个出场都是女生的概率是． 19. 为了解某校七~九年级学生的视力情况，该校数学兴趣小组收集有关数据，并进行整理分析． 【收集数据】 （1）数学兴趣小组设计了以下三种调查方案： 方案一：随机抽取300名女生进行调查； 方案二：分别从三个年级各随机抽取100名学生进行调查； 方案三：从初一年级随机抽取8个班级共300名学生进行调查． 其中抽取的样本具有代表性的方案是 ； 【整理数据】 （2）抽查了部分学生进行视力检测．根据检测结果，制成下面不完整的统计图表． 抽取的学生视力情况频数表 组别 视力段 频数 A 15 B 90 C m D 36 则 ； 【分析数据】 （3）兴趣小组在分析数据时发现，这次抽样调查的平均数和中位数是一样的．有同学就提出：在生活中知道一组数据的平均数，则这个平均数也就处于这组数据的中游水平．你认为他的说法对吗？请说明理由． 【答案】（1）方案二； （2）159； （3）解：他的说法不对，理由如下： 因为平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会引起平均数的变动，平均数容易受个别极端值影响；中位数不受个别偏大或数偏小数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，一般用中位数来描述数据的集中趋势， 所以他的说法不对． 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查、频数表、扇形统计图、平均数和中位数，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）根据题意和选取样本要具有代表性，可以判断哪个方案最合理； （2）根据频数表和扇形统计图中组的信息可求出调查的学生总人数，再乘以组所占的百分比即可得； （3）根据平均数和中位数的定义即可得． 【详解】解：（1）因为分别从三个年级各随机抽取100名学生进行调查具有代表性， 所以抽取的样本具有代表性的方案是方案二， 故答案为：方案二． （2）， 故答案为：159． （3）略 20. 如图，在中，，点D，E在上，． （1）求证：； （2）尺规作图：在上作一点F，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2） 如图，即为所求作． ∵ ∴ ∵是的平分线 ∴． 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定，尺规作图作一个角的平分线，熟练掌握全等三角形的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键． （1）先利用得出，再利用证明即可； （2）利用根据角平分线的作图方法作出的平分线，然后利用三线合一即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某校师生到离校处参加义务植树活动，部分师生骑自行车出发，后，其余师生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的3倍，全体师生同时到达，分别求自行车与汽车的平均速度． 【答案】自行车的平均速度为，汽车的平均速度为 【解析】 【分析】设自行车的平均速度为，依题意列出分式方程并求出x的值，再检验是否符合题意，即可解答． 【详解】解：设自行车的平均速度为，依题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴汽车的平均速度为． 答：自行车的平均速度为，汽车的平均速度为． 22. 如图，水坝的横截面是梯形，迎水坡的坡角为，背水坡的坡度为i为，坝顶，坝高．求坝底的长．（结果精确到，参考数据：） 【答案】15.7 【解析】 【分析】过点作于点，过点C作于点F，则四边形是矩形，则有米，米，根据，背水坡的坡度为，可得，米，结合图形可知，代入即可求解 【详解】解：如图，过点作于点，过点C作于点F， 四边形是矩形， 米，米， ，背水坡的坡度为， ，米， （米）． 23. 如图，在四边形中，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴为的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）只要证明，即可证明为的切线； （2）过点D作，垂足为F，在中，，，，求得，，在中，，，，求得，再根据圆内接四边形的性质结合等边对等角求得，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点D作，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，解直角三角形的应用．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 24. 一次函数的图象记作直线，与x轴、y轴分别交于点A，B． （1）将直线绕点逆时针旋转后得到的直线记作，求直线对应的函数表达式； （2）在平面直角坐标系中，画出直线，，结合图象填空：不等式的解集为______． 【答案】（1） （2） 作图如下： 【解析】 【分析】（1）找到两点的对应点，利用待定系数法即可解答； （2）利用一次函数的交点即可解答． 【小问1详解】 解：当时，可得， 解得， ， 当时，， ， 点绕点逆时针旋转后得到点， 点绕点逆时针旋转后得到点， 设直线的表达式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的表达式为； 【小问2详解】 解：根据上题可得直线经过，，直线经过，， 联立方程， 解得， 根据图象可得时，， ∴不等式的解集为． 25. 如图，在钝角三角形中，点在上方，是边上的高，是线段的中点，是延长线上一点，连接，． （1）从①是线段的中点；②；③这三个信息中，选择两个作为条件，剩余的一个作为结论构成一个命题．试写出你所构造的命题，判断命题是否正确，并说明理由； 你选择的条件是______，______；结论是______．（只要填写序号） （2）在（）的条件下，若，探究与之间的数量关系，并证明； （3）若，，连接，求的最小值． 【答案】（1）条件：①③，结论：②；条件①②，结论③；条件②③，结论①； （2） （3）2 【解析】 【分析】（）围绕“选择两个条件推导出一个结论”展开，通过连接，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半证明，从而构造出等腰；再结合是中点及的条件，利用等腰三角形三线合一性质，分别证明了“①②推③、①③推②、②③推①”这三种命题均成立； （）由及，推得，为等腰直角三角形；结合且是中点，利用等腰直角三角形性质，证得； （）根据，用正弦定理求出外接圆半径；再由勾股定理算得圆心到中点的距离；依据“点到圆上点的最小距离为半径减圆心距”，得最小值为． 【小问1详解】 解：条件：①③，结论：② 理由：连接， ∵是边上的高，， ∴， ∵是中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半， ∴，， 即， ∵是中点， ∴由等腰三角形三线合一，得，命题成立； 条件①②，结论③， ∵是中点且， ∴是的垂直平分线， 根据垂直平分线的性质，可得 ， 又∵是中点，， ∴(直角三角形斜边中线等于斜边的一半)， ∴， ∴以为圆心，为半径作圆，三点在圆上，且为直径， 根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角， ∴，即， 条件②③，结论①， 连接， ∵，是中点， ∴(直角三角形斜边中线等于斜边的一半) ， ∵，是中点， ∴(直角三角形斜边中线等于斜边的一半)， 则 ， 又∵， ∴根据等腰三角形三线合一的性质，可得是的中点； 【小问2详解】 解：数量关系：， 证明：由（）可知， ∵， ∴， 又， ，， ∴， ， ∴， 即是等腰直角三角形， ∵，是中点， ∴是斜边的中线，故； 【小问3详解】 证明：∵，，点在的外接圆弧上运动（定角对定边，轨迹为定圆弧）， 由正弦定理，设外接圆半径为，则， 即：， 解得外接圆半径：， 圆心在的垂直平分线上， 是中点， ， 由勾股定理得， 点在上，的最小值为， 即最小值为. 26. 已知二次函数（为常数，且）． （1）若点在该函数图象上，求的值； （2）判断该二次函数的图象与轴是否存在一固定的公共点？若存在，求出这个点的坐标；若不存在，说明理由； （3）已知一次函数． ①若对于任意的，都有，求的值； ②当时，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）存在， （3）①；②且 【解析】 【分析】（1）将代入计算即可； （2）令，解方程即可求解； （3）①根据得出，设，根据，抛物线开口向上，，得出，即可求解； ②根据，又为一次函数一次项系数，得出且，根据得出，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入， 得， 解得． 【小问2详解】 解：二次函数的图象与x轴存在一固定的公共点， 令 即 ∴ 解得：或 ∴当时，恒成立， 这个固定的公共点的坐标为 【小问3详解】 解：①∵， ∴ ∴ 设 ∵，抛物线开口向上，， ∴ ∴ ∴ ②∵，即， 由①可得当时， ∵，抛物线开口向上， 当时 即， ∴ 解得 要使当时，， 即， ∴ 解得： ∵，又为一次函数一次项系数， ∴且 ∴且 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 靖城中学2025～2026学年度第二学期阶段质量监测调研 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. “小明家买彩票将获得500万元大奖”记作事件M，则事件M是（ ）． A. 必然事件 B. 确定事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 3. 如图，在两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向北偏东．若两地同时开工，要使公路准确接通，则的度数应为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，含角的三角板的斜边与量角器的直径重合，点C和点D在量角器的半圆上，点D在量角器上的读数是，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 5. 下列整数中，与最接近的是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，在点处看建筑物处的仰角为，向建筑物走近了米到达点处，在点处看点处的仰角为，则可以表示为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．答案直接填写在答题卡相应位置．） 7. 已知一组数据8，10，12，9，11，这组数据的极差是______． 8. 《年中国卫星导航与位置服务产业发展白皮书》显示，年我国卫星导航与位置服务产业总产值达亿元；“亿”用科学记数法表示为______． 9. 一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积为________ 10. 在实数范围内分解因式：＝______． 11. 在平面直角坐标系中，把点向左平移3个单位得到点，则的值为______． 12. 方程的两个根分别记作，，若，则______． 13. 如图，在中，，是的角平分线，，，则点D到的距离是______． 14. 一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________． 15. 某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是_____________班． 16. 如图，是的外接圆，是的高，延长交于点，过点的切线交的延长线于点．若，，，则的长为______． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算与解不等式 （1）计算：； （2）解不等式：． 18. 某校有名女生和名男生参加学校青少年禁毒知识演讲决赛，采用抽签的方式决定出场顺序． （1）第一个出场为男生的概率是______． （2）用列表或画树状图求前两个出场都是女生的概率． 19. 为了解某校七~九年级学生的视力情况，该校数学兴趣小组收集有关数据，并进行整理分析． 【收集数据】 （1）数学兴趣小组设计了以下三种调查方案： 方案一：随机抽取300名女生进行调查； 方案二：分别从三个年级各随机抽取100名学生进行调查； 方案三：从初一年级随机抽取8个班级共300名学生进行调查． 其中抽取的样本具有代表性的方案是 ； 【整理数据】 （2）抽查了部分学生进行视力检测．根据检测结果，制成下面不完整的统计图表． 抽取的学生视力情况频数表 组别 视力段 频数 A 15 B 90 C m D 36 则 ； 【分析数据】 （3）兴趣小组在分析数据时发现，这次抽样调查的平均数和中位数是一样的．有同学就提出：在生活中知道一组数据的平均数，则这个平均数也就处于这组数据的中游水平．你认为他的说法对吗？请说明理由． 20. 如图，在中，，点D，E在上，． （1）求证：； （2）尺规作图：在上作一点F，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 21. 某校师生到离校处参加义务植树活动，部分师生骑自行车出发，后，其余师生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的3倍，全体师生同时到达，分别求自行车与汽车的平均速度． 22. 如图，水坝的横截面是梯形，迎水坡的坡角为，背水坡的坡度为i为，坝顶，坝高．求坝底的长．（结果精确到，参考数据：） 23. 如图，在四边形中，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长． 24. 一次函数的图象记作直线，与x轴、y轴分别交于点A，B． （1）将直线绕点逆时针旋转后得到的直线记作，求直线对应的函数表达式； （2）在平面直角坐标系中，画出直线，，结合图象填空：不等式的解集为______． 25. 如图，在钝角三角形中，点在上方，是边上的高，是线段的中点，是延长线上一点，连接，． （1）从①是线段的中点；②；③这三个信息中，选择两个作为条件，剩余的一个作为结论构成一个命题．试写出你所构造的命题，判断命题是否正确，并说明理由； 你选择的条件是______，______；结论是______．（只要填写序号） （2）在（）的条件下，若，探究与之间的数量关系，并证明； （3）若，，连接，求的最小值． 26. 已知二次函数（为常数，且）． （1）若点在该函数图象上，求的值； （2）判断该二次函数的图象与轴是否存在一固定的公共点？若存在，求出这个点的坐标；若不存在，说明理由； （3）已知一次函数． ①若对于任意的，都有，求的值； ②当时，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $